ACM競(jìng)賽學(xué)習(xí)整理開(kāi)篇之01背包問(wèn)題。

最近，偶然的一次機(jī)會(huì)讓我關(guān)注信息奧賽的一些內(nèi)容。發(fā)現(xiàn)其中的內(nèi)容很有趣，是學(xué)習(xí)編程的一條很好的路徑，又能很好地將數(shù)學(xué)和編程聯(lián)系到一起。在csdn里看到了不少同好也在學(xué)習(xí)ACM競(jìng)賽。于是，決定通過(guò)csdn這個(gè)平臺(tái)來(lái)記錄，我的ACM學(xué)習(xí)之路。

背包問(wèn)題：

背包問(wèn)題已經(jīng)研究了一個(gè)多世紀(jì)，早期的作品可追溯到1897年 [1] 數(shù)學(xué)家托比亞斯·丹齊格（Tobias Dantzig，1884-1956）的早期作品 [2] ，并指的是包裝你最有價(jià)值或有用的物品而不會(huì)超載你的行李的常見(jiàn)問(wèn)題。

背包問(wèn)題的應(yīng)用：

1998年的石溪布魯克大學(xué)算法庫(kù)的研究表明，在75個(gè)算法問(wèn)題中，背包問(wèn)題是第18個(gè)最受歡迎，第4個(gè)最需要解決的問(wèn)題（前三為后kd樹(shù)，后綴樹(shù)和bin包裝問(wèn)題）。
背包問(wèn)題出現(xiàn)在各種領(lǐng)域的現(xiàn)實(shí)世界的決策過(guò)程中，例如尋找最少浪費(fèi)的方式來(lái)削減原材料， [4] 選擇投資和投資組合， [5] 選擇資產(chǎn)支持資產(chǎn)證券化 [6] ，和生成密鑰為Merkle-Hellman [7] 和其他背包密碼系統(tǒng)。

在ACM競(jìng)賽中設(shè)計(jì)的背包問(wèn)題有：

先了解下3種簡(jiǎn)單的背包概念:

0-1背包 (ZeroOnePack): 有N件物品和一個(gè)容量為V的背包。每種物品均只有一件 第i件物品的費(fèi)用是c[i]，價(jià)值是w[i]。求解將哪些物品裝入背包可使價(jià)值總和最大。
完全背包(CompletePack): 有N種物品和一個(gè)容量為V的背包，每種物品都有無(wú)限件可用。第i種物品的費(fèi)用是c[i]，價(jià)值是w[i]。求解將哪些物品裝入背包可使這些物品的費(fèi)用總和不超過(guò)背包容量，且價(jià)值總和最大。
多重背包 (MultiplePack): 有N種物品和一個(gè)容量為V的背包。第i種物品最多有n[i]件可用， 每件費(fèi)用是c[i]，價(jià)值是w[i]。求解將哪些物品裝入背包可使這些物品的費(fèi)用總和不超過(guò)背包容量，且價(jià)值總和最大。*

比較三個(gè)題概念，會(huì)發(fā)現(xiàn)不同點(diǎn)在于每種背包的數(shù)量，01背包是每種只有一件，完全背包是每種無(wú)限件，而多重背包是每種有限件。

**

01 背包

1、OJ 例題
【例題】
有n個(gè)物品，編號(hào)為i的物品的重量為w[i]，價(jià)值為c[i]，現(xiàn)在要從這些物品中選一些物品裝到一個(gè)容量為m的背包中，使得背包內(nèi)物體在總重量不超過(guò)m的前提下價(jià)值盡量大。
【輸入】
第1行:兩個(gè)整數(shù)，n(物品數(shù)量，n≤3500)和m(背包容量,m≤12880)。
第2…n+1行：：每行二個(gè)整數(shù)w[i]，c[i]，表示每個(gè)物品的重量和價(jià)值。
【輸出】
僅一行，一個(gè)數(shù)，表示最大總價(jià)值。
【輸入樣例】
4 6
1 4
2 6
3 12
2 7
【輸出樣例】
23

2、 解題思路：

用動(dòng)態(tài)規(guī)劃的思路，階段就是“物品的件數(shù)”，狀態(tài)就是“背包剩下的容量”，那么很顯然f [ i , v ] 就設(shè)為從前 i 件物品中選擇放入容量為 v 的背包最大的價(jià)值。那么狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程為：

f[i][v]=max{ f[i-1][v],f[i-1][v-w[i]]+val[i] }。

把這個(gè)過(guò)程理解下：在前i件物品放進(jìn)容量v的背包時(shí)，

它有兩種情況：

第一種是第i件不放進(jìn)去，這時(shí)所得價(jià)值為:f[i-1][v]

第二種是第i件放進(jìn)去，這時(shí)所得價(jià)值為：f[i-1][v-w[i]]+val[i]

（第二種是什么意思？就是如果第i件放進(jìn)去，那么在容量v-w[i]里就要放進(jìn)前i-1件物品）

最后比較第一種與第二種所得價(jià)值的大小，哪種相對(duì)大，f[i][v]的值就是哪種。

（這是基礎(chǔ)，要理解！）

3、 代碼求解：

#include<iostream> #include<cstdio> #include<cstring> #include<cmath> #include<algorithm> #include<string> #include<cstdlib> #include<queue> #include<vector> #define INF 0x3f3f3f3f #define PI acos(-1.0) #define N 1001 #define MOD 2520 #define E 1e-12 using namespace std; int m,n; int w[N],c[N],f[N];void ZeroOnePack(int cost,int weight) {for(int v=m;v>=weight;v--){f[v]=max(f[v],f[v-weight]+cost);cout<<"f["<<v<<"]"<<"="<<f[v]<<" ";}cout<<endl; }int main() {cin>>m>>n;for(int i=1;i<=n;i++)cin>>w[i]>>c[i];cout<<endl;for(int i=1;i<=n;i++)ZeroOnePack(c[i],w[i]);cout<<"max="<<f[m]<<endl;return 0; }

4、結(jié)果輸出

5、反思總結(jié)

背包問(wèn)題是貪心算法的實(shí)例，可以根據(jù)動(dòng)態(tài)規(guī)劃解題步驟來(lái)實(shí)現(xiàn)

（問(wèn)題抽象化、建立模型、尋找約束條件、判斷是否滿足最優(yōu)性原理、找大問(wèn)題與小問(wèn)題的遞推關(guān)系式、填表、尋找解組成）找出01背包問(wèn)題的最優(yōu)解以及解組成，然后編寫(xiě)代碼實(shí)現(xiàn)。

回顧01背包的定義：

PS：學(xué)習(xí)的心得比較難寫(xiě)，我將代碼放到了C-free開(kāi)發(fā)環(huán)境中試驗(yàn)了下，然后把計(jì)算的結(jié)果打印在了屏幕上，然后草稿紙上將其步驟再簡(jiǎn)單畫(huà)了畫(huà)，最后在網(wǎng)上查找了相關(guān)的內(nèi)容來(lái)幫助理解，以上內(nèi)容，基本上還是復(fù)制粘貼，等后續(xù)實(shí)際問(wèn)題再操練吧。
這里有杭電OJ上的一道例題供大家參考：

題目：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=2602

代碼：http://www.wutianqi.com/?p=533

參考文檔：

1、https://blog.csdn.net/weixin_41162823/article/details/87878853背包問(wèn)題-筆記整理

2、https://blog.csdn.net/qq_37767455/article/details/9908667801背包問(wèn)題 圖解+詳細(xì)解析

3、http://www.wutianqi.com/blog/539.html背包之01背包、完全背包、多重背包詳解

4、https://blog.csdn.net/chanmufeng/article/details/82955730徹底理解0-1背包問(wèn)題

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的ACM竞赛学习整理开篇之01背包问题的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問(wèn)題。

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