網(wǎng)格自適應(yīng)的目標(biāo)是：修正網(wǎng)格以更有效地解決問題。通常，我們希望使用盡可能少的單元來獲得精確的解；并希望在不太重要的區(qū)域使用較粗糙的網(wǎng)格，而在感興趣的區(qū)域使用較精細(xì)的網(wǎng)格。有時(shí)，我們甚至可能會(huì)考慮各向異性單元。從 5.4 版本開始， COMSOL 軟件內(nèi)置了增強(qiáng)工具以適應(yīng)網(wǎng)格的變化。今天，讓我們來看看在 COMSOL 軟件中，如何使用網(wǎng)格自適應(yīng)方法實(shí)現(xiàn)更高效的計(jì)算。

確定所需網(wǎng)格單元的大小

為了調(diào)整網(wǎng)格，我們必須知道實(shí)際所需的網(wǎng)格單元大小。但是，在實(shí)際工作中，需要進(jìn)行大量的研究才能找到合適的尺寸。在 COMSOL Multiphysics 中，我們可以在研究中使用?自適應(yīng)和誤差估計(jì)?功能(用于穩(wěn)態(tài)和特征值問題)，基于內(nèi)置誤差估計(jì)自動(dòng)調(diào)整網(wǎng)格。在 COMSOL 軟件中可以靈活地進(jìn)行網(wǎng)格自適應(yīng)，而不只是局限于內(nèi)置誤差估計(jì)。比如，我們可以先在粗網(wǎng)格上求解一個(gè)較簡(jiǎn)單的問題，然后基于該解通過計(jì)算的表達(dá)式來控制一個(gè)較難問題的單元尺寸。另外，還可以使用導(dǎo)入的插值函數(shù)或任何函數(shù)。本文不涉及這方面內(nèi)容，而是假設(shè)我們已經(jīng)隱式或顯式地知道所需的單元大小是 x，y 和(在 3D 中)z 的函數(shù)。這意味著網(wǎng)格單元邊長(zhǎng)由該邊中點(diǎn)坐標(biāo)的函數(shù)表達(dá)式確定。通常，不可能完全滿足此要求，即使是一個(gè)三角形也需要滿足三角形不等式。但是，請(qǐng)記住：尺寸表達(dá)式表示空間中每個(gè)點(diǎn)上所需的單元邊長(zhǎng)。

根據(jù)尺寸大小函數(shù)適應(yīng)網(wǎng)格的 2 種方法

在 COMSOL Multiphysics 中，從?網(wǎng)格?節(jié)點(diǎn)開始工作時(shí)，有 2 種本質(zhì)上不同的方法來構(gòu)建適應(yīng)尺寸大小函數(shù)的網(wǎng)格。第一種方法，我們可以在網(wǎng)格劃分序列中使用大小表達(dá)式?屬性來改變生成網(wǎng)格的大小。如果我們使用研究里的網(wǎng)格自適應(yīng)，則相當(dāng)于選擇了?重建網(wǎng)格?選項(xiàng)，其中的自由網(wǎng)格生成器(自由三角形網(wǎng)格，自由四邊形網(wǎng)格和自由四面體網(wǎng)格)會(huì)考慮這個(gè)尺寸大小。另一方面，結(jié)構(gòu)化方法(例如映射?和掃掠，和某種程度上的邊界層)忽略了大小表達(dá)式屬性(根據(jù)定義，結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格不能遵循大小可變的字段)。簡(jiǎn)單來說，就是如果我們構(gòu)建的是結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格，則可能無法使用此方法。另一種方法是使用?自適應(yīng)?操作。此操作通過單元細(xì)化和粗化修改現(xiàn)有的網(wǎng)格。我們可以在具有任何單元類型的網(wǎng)格上以及在導(dǎo)入的網(wǎng)格上使用自適應(yīng)操作。這是一種更強(qiáng)大的方法，并且能夠更好地遵循指定的大小表達(dá)式。但是，結(jié)果通常不如從頭開始生成的網(wǎng)格平滑。下面，我們將詳細(xì)討論這兩種方法，看看結(jié)果有何不同。

使用大小表達(dá)式屬性

如前所述，使用大小表達(dá)式屬性方法通常能獲得高質(zhì)量的網(wǎng)格。但是，如果它產(chǎn)生的單元質(zhì)量較差，則可能不遵守所需的大小(例如，進(jìn)行快速大小轉(zhuǎn)換時(shí))。有關(guān)網(wǎng)格質(zhì)量的討論，請(qǐng)閱讀 COMSOL 官網(wǎng)的博客文章：如何檢查 COMSOL Multiphysics? 中的網(wǎng)格。由于網(wǎng)格在每一次適應(yīng)時(shí)是從零開始構(gòu)建的，因此對(duì)于復(fù)雜的幾何形狀而言，此過程可能很耗時(shí)。使用大小表達(dá)式屬性對(duì)圓形幾何的三角形網(wǎng)格應(yīng)用一個(gè)表達(dá)式，結(jié)果具有高質(zhì)量的網(wǎng)格單元和平滑的尺寸過渡。如果我們具有已知的大小表達(dá)式(例如，全局插值函數(shù))，則在背景柵格上進(jìn)行計(jì)算通常會(huì)很方便(在上圖中的柵格基礎(chǔ)上計(jì)算)。我們需要確保柵格分辨率足夠高以捕獲大小表達(dá)式描述的所有特征。當(dāng)大小表達(dá)式取決于已知的空間變化量(例如材料)時(shí)，我們可以使用初始表達(dá)式計(jì)算選項(xiàng)。之后，可以使用模型中的任何表達(dá)式。軟件將會(huì)在求解前計(jì)算表達(dá)式(對(duì)應(yīng)于獲取求解步驟的初始值命令，可用于研究步驟)。我們還可以指定某個(gè)研究步，因?yàn)橐恍┍磉_(dá)式的值取決于研究。最后，我們還可以在現(xiàn)有解上計(jì)算。表達(dá)式類型為錯(cuò)誤指示器?用于內(nèi)置錯(cuò)誤估計(jì)，但我們也可以使用任何大小表達(dá)式——這可能依賴于現(xiàn)有的解。例如，我們可能想在應(yīng)力較大的地方細(xì)化網(wǎng)格。

使用自適應(yīng)操作

另一種方法是基于現(xiàn)有的網(wǎng)格，對(duì)其進(jìn)行修改以匹配所需的大小。這就是自適應(yīng)?操作的作用。它適用于所有尺寸，也可作用于導(dǎo)入的網(wǎng)格。它的許多選項(xiàng)和輸入字段與大小表達(dá)式?屬性相同。該操作有三種適應(yīng)方法：最長(zhǎng)邊細(xì)化，常規(guī)細(xì)化?和通用修改。兩種細(xì)化方法是基于單元邊的二等分法，由于這些單元邊太長(zhǎng)，保留了所有現(xiàn)有的網(wǎng)格頂點(diǎn)，因此這些方法無法粗化網(wǎng)格。自 5.4 版本開始，COMSOL Multiphysics 軟件內(nèi)置了通用修改?方法。顧名思義，即是以非常通用的方式修改網(wǎng)格：

• 單元可以細(xì)化
• 如果網(wǎng)格太細(xì)，可以刪除頂點(diǎn)以粗化網(wǎng)格
• 單元可以修改，網(wǎng)格頂點(diǎn)可以移動(dòng)，以提高網(wǎng)格質(zhì)量

使用自適應(yīng)操作的通用修改方法，對(duì) 大小表達(dá)式屬性應(yīng)用同一表達(dá)式。雖然對(duì)于大多數(shù)應(yīng)用而言，網(wǎng)格單元質(zhì)量足夠高，但是大小過渡不如從頭開始生成的網(wǎng)格平滑。如果將適應(yīng)方法更改為最長(zhǎng)邊細(xì)化，則結(jié)果如下所示。將太長(zhǎng)的邊一分為二，直到網(wǎng)格被充分細(xì)化。此網(wǎng)格操作非常快，但是即使輸入網(wǎng)格的質(zhì)量很高，該方法通常會(huì)產(chǎn)生低質(zhì)量網(wǎng)格單元。與上述模型相同，但是將自適應(yīng)方法設(shè)置為?最長(zhǎng)邊細(xì)化。這里，我們可以看到原始三角形形狀產(chǎn)生的圖案。

支持所有單元類型

自適應(yīng)?操作可用于所有單元類型的網(wǎng)格，也可以作用于結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格域(雖然，網(wǎng)格自適應(yīng)后通常不再是結(jié)構(gòu)化)。但是，當(dāng)在復(fù)雜單元(二維中的四邊形，三維中的六面體、棱柱、錐形)中使用此方法時(shí)，我們必須要小心，因?yàn)榻Y(jié)果可能很差。下面，我們來看看在這種情況下單元尺寸大小是如何過渡的。在二維模型中，三角形插入到四邊形網(wǎng)格中。上：圓形幾何中默認(rèn)的自由四邊形網(wǎng)格。以最大角度質(zhì)量對(duì)單元進(jìn)行著色。下：網(wǎng)格適應(yīng)為與上面相同的大小表達(dá)式后的結(jié)果。請(qǐng)注意在尺寸過渡區(qū)域中三角形是如何使用的。在三維結(jié)構(gòu)中，通常將四面體和錐體用于尺寸過渡區(qū)域，在合適時(shí)也可以插入其他單元類型。下圖顯示了具有粗糙六面體網(wǎng)格的圓柱體，該圓柱體使用?0.02 + z*z 表達(dá)式進(jìn)行適應(yīng)。適應(yīng)前后的圓柱體網(wǎng)格。

邊界層網(wǎng)格的網(wǎng)格自適應(yīng)

在以上所有示例中，指定的尺寸大小函數(shù)代表各向同性單元的大小；也就是說，一個(gè)理想形狀單元的所有邊都具有(大約)相同的長(zhǎng)度。如果我們需要適應(yīng)的網(wǎng)格是各向異性的(例如，沿邊界伸展的邊界層網(wǎng)格)，則自適應(yīng)會(huì)朝著各向同性方向修改網(wǎng)格。邊界層單元甚至可能被完全刪除！這不是我們想要的結(jié)果。一種解決方法是禁止粗化，則邊界層會(huì)被保留。上：以原點(diǎn)為中心的矩形，含邊界層網(wǎng)格。中：適應(yīng)方法為通用修改， 大小表達(dá)式?0.04 + x*x。由于粗化操作，邊界層被刪除。下：禁用粗化操作的適應(yīng)結(jié)果，邊界層被保留。

構(gòu)建各向異性網(wǎng)格

自適應(yīng)?操作也可用于各向異性適應(yīng)。各向異性網(wǎng)格單元是理想單元沿某個(gè)方向拉伸的單元。這種網(wǎng)格在 CFD 計(jì)算中很常見，一個(gè)典型的例子就是邊界層網(wǎng)格。如果要進(jìn)行各向異性適應(yīng)，首先，選擇?各向異性度量?作為表達(dá)式類型。然后，我們需要指定 2×2(二維)或 3×3(三維)對(duì)稱矩陣。此操作意味著：代表單元邊的向量在該點(diǎn)被矩陣轉(zhuǎn)換，并測(cè)量了轉(zhuǎn)換向量的長(zhǎng)度。如果長(zhǎng)度小于 1.0，則認(rèn)為它太短。如果長(zhǎng)度大于 1.0，則認(rèn)為它太長(zhǎng)。該措施用于控制適應(yīng)。下圖顯示了如何使用此方法。使用三角形單元剖分網(wǎng)格控制域。應(yīng)用各向異性適應(yīng)方法。此時(shí)，度量由常數(shù)矩陣?指定。通過自由三角形網(wǎng)格對(duì)周圍的區(qū)域進(jìn)行網(wǎng)格剖分將網(wǎng)格控制域合并到較大的域中。

結(jié)語

綜上，我們展示了如何使用 COMSOL Multiphysics 中的網(wǎng)格自適應(yīng)工具來創(chuàng)建適合特定目的的網(wǎng)格。一種方法是選擇網(wǎng)格?節(jié)點(diǎn)中的大小表達(dá)式?屬性，用于控制生成三角形和四面體網(wǎng)格的大小，通常可以得到平滑且質(zhì)量較高的網(wǎng)格。另一個(gè)方法是使用自適應(yīng)操作，該操作會(huì)修改現(xiàn)有的網(wǎng)格。網(wǎng)格自適應(yīng)是一個(gè)功能強(qiáng)大的工具，可以修改任何類型的網(wǎng)格也能生成各向異性網(wǎng)格單元。

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總結(jié)

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