整理一下矩陣論學習中的相關概念。從正交矩陣開始

正交矩陣

定義1 稱n階方陣A是正交矩陣，若

正交矩陣有幾個重要性質：

A的逆等于A的轉置，即

A的行列式為±1，即

A的行（列）向量組為n維單位正交向量組

上述3個性質可以看做是正交矩陣的判定準則，我們可以通過上述準則簡單地判斷一個矩陣是否是正交矩陣。下面，我們將從線性變換的角度，來看正交矩陣還有哪些獨特的性質。首先給出正交變換的定義：

定義2 歐氏空間V的線性變換T稱為正交變換，若

，有 。

注意，正交變換在任意標準正交基下的矩陣是正交陣，這也是我們通過正交矩陣研究正交變換的理論基礎。

我們知道，線性變換在不同基下的矩陣一般是不同的，但滿足相似條件。因此，我們可以通過矩陣的相似不變量來對正交變換進行分類。正交變換有兩種特殊的類型，分別是旋轉變換和鏡像變換，它們的區別也正好可以對應于兩類不同的正交矩陣，它們具有不同的行列式取值。

旋轉矩陣

首先我們來看旋轉矩陣。旋轉矩陣（Rotation matrix）是在乘以一個向量的時候，改變向量的方向但不改變向量長度的矩陣。對于旋轉矩陣，我們有：

性質1 一個矩陣是旋轉矩陣，當且僅當它是正交矩陣并且它的行列式是1。

旋轉矩陣的行列式為1，那么它的特征值等于多少呢？我們知道矩陣的行列式等于特征值的乘積，即

那么旋轉矩陣的特征值可以有以下多種情況：

全為1，即恒等變換，它也看成是一個旋轉變換，只不過旋轉的角度是零。

1和-1，且-1的個數必須為偶數。

除了包含實數特征值1或-1，還包含非實數的特征值。這種情況下，可以證明，非實數的特征值總是成對出現的，即如果 是一個特征值，那么它的共軛 也是特征值，且滿足 。

這里引用維基百科中關于旋轉矩陣的一個表述：“旋轉矩陣不包括反演，反演可以把右手坐標系改變成左手坐標系或反之。所有旋轉加上反演形成了正交矩陣的集合。”這里的反演，就是我們所說的鏡像。也就是說，偶數個-1的特征值保證了旋轉矩陣不會將右手坐標系變為左手坐標系（或反之），這是旋轉變換與鏡像變換的根本區別。

根據上面的分析，下面兩個關于正交矩陣的性質就非常容易理解了：

性質2 若

是正交矩陣A的一個特征值，則 也是A的一個特征值，且有

性質3 若奇數階正交矩陣的行列式

，則1是A的一個特征值。

鏡像變換矩陣

接下來，我們來看第二類正交矩陣，鏡像變換矩陣（Reflection matrix），或Householder矩陣。Householder矩陣對應的正交變換稱為鏡像變換，它是一類在n維空間中沿n-1維平面做的一種線性變換。這個n-1維平面通常記為

，將其單位法向量記為 。如果 已知（一般來說這是問題的出發點），我們可以通過 來構造鏡像矩陣，計算公式為：

注意，這里的單位法向量

是一個列向量。

Householder矩陣有n-1個特征值為1，余下一個特征值為-1。下面給出證明：設矩陣

的特征值為 ，則Householder矩陣 的特征值必為 又 是秩為1的冪等矩陣，可知它的特征值是 ，所以， 的特征值是

Householder矩陣同時是對稱矩陣。既正交又對稱的矩陣有一個特殊性質是它的冪為I，即

.

根據上面的分析，下面關于正交矩陣的性質就非常容易理解了：

性質4 若正交矩陣的行列式

，則-1是A的一個特征值。

正交矩陣的幾個一般性質

了解了兩種特殊的正交矩陣，我們來看一下正交矩陣幾個更一般的性質。

性質5 若A為正交矩陣，

是矩陣A的特征值，則 也是A的一個特征值。

證明：由

，因為正交矩陣為實矩陣， ，又因為 ，因此 ，即 也是A的一個特征值。

性質6 若正交矩陣A的特征值為實數，則A一定為對稱矩陣。

這個性質的證明需要用到Schur定理，即任意方陣A都可以酉相似于上三角陣R，且這個上三角陣R的對角元素為矩陣A的特征值

.

證明：由Schur定理，A的特征值為實數，A可正交相似于上三角陣R，即

，對其轉置，兩式相乘得 ，注意到 ，于是得到 ，可知R為對角陣，因此

也可以通過正規矩陣來證明：A是正交矩陣

A是正規矩陣 A可酉對角化，又特征值為實數 A為Hermite矩陣 A為實對稱矩陣。

總結

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