Dijkstra算法是由荷蘭計算機科學(xué)家狄克斯特拉（Dijkstra）于1959 年提出的，因此又叫狄克斯特拉算法。是從一個頂點到其余各頂點的最短路徑算法，解決的是有向圖中最短路徑問題。

其基本原理是：每次新擴展一個距離最短的點，更新與其相鄰的點的距離。當(dāng)所有邊權(quán)都為正時，由于不會存在一個距離更短的沒擴展過的點，所以這個點的距離永遠(yuǎn)不會再被改變，因而保證了算法的正確性。不過根據(jù)這個原理，用Dijkstra求最短路的圖不能有負(fù)權(quán)邊，因為擴展到負(fù)權(quán)邊的時候會產(chǎn)生更短的距離，有可能就破壞了已經(jīng)更新的點距離不會改變的性質(zhì)。

舉例來說，如果圖中的頂點表示城市，而邊上的權(quán)重表示著城市間開車行經(jīng)的距離。 Dijkstra算法可以用來找到兩個城市之間的最短路徑。

圖是由節(jié)點和連接節(jié)點的邊構(gòu)成的。節(jié)點之間可以由路徑，即邊的序列。根據(jù)路徑，可以從一點到達(dá)另一點。在一個復(fù)雜的圖中，圖中兩點可以存在許多路徑。最短路徑討論了一個非常簡單的圖論問題，圖中從A點到B點 ，那條路徑耗費最短？ 這個問題又異常復(fù)雜，因為網(wǎng)絡(luò)的構(gòu)成狀況可能很復(fù)雜。

一個最簡單的思路，是找出所有可能的從A到B的路徑，再通過比較，來尋找最短路徑。然而，這并沒有將問題簡化多少。因為搜索從A到B的路徑，這本身就是很復(fù)雜的事情。而我們在搜索所有路徑的過程中，有許多路徑已經(jīng)繞了很遠(yuǎn)，完全沒有搜索的必要。比如從上海到紐約的路線，完全沒有必要先從上海飛到南極，再從南極飛到紐約，盡管這一路徑也是一條可行的路徑。

所以，我們需要這樣一個算法：它可以搜索路徑，并當(dāng)已知路徑包括最短路徑時，即停止搜索。我們先以無權(quán)網(wǎng)絡(luò)為例，看一個可行的最短路徑算法。

無權(quán)網(wǎng)絡(luò)

無權(quán)網(wǎng)絡(luò)(unweighted network)是相對于加權(quán)網(wǎng)絡(luò)的，這里的“權(quán)”是權(quán)重。每條邊的耗費相同，都為1。路徑的總耗費即為路徑上邊的總數(shù)。

我們用“甩鞭子”的方式，來尋找最短路徑。鞭子的長度代表路徑的距離。

手拿一個特定長度的鞭子，站在A點。甩出鞭子，能打到一些點。比如C和D。

將鞭子的長度增加1。再甩出鞭子。此時，從C或D出發(fā)，尋找距離為1的鄰接點，即E和F。這些點到A點的距離，為此時鞭子的長度。

記錄點E和F，并記錄它們的上游節(jié)點。比如E(C)，?F(D)。我們同樣可以記錄此時該點到A的距離，比如5。

如果要記錄節(jié)點E時，發(fā)現(xiàn)它已經(jīng)出現(xiàn)在之前的記錄中，這說明曾經(jīng)有更短的距離到E。此時，不將E放入記錄中。畢竟，我們感興趣的是最短路徑。如下圖中的E：

黃色的E不被記錄

最初的鞭子長度為0，站在A點，只能打到A點自身。當(dāng)我們不斷增加鞭子長度，第一次可以打到B時，那么此時鞭子的長度，就是從A到B的最短距離。循著我們的記錄，倒推上游的節(jié)點，就可以找出整個最短路徑。我們的記錄本是個很有意思的東西。某個點放入記錄時，此時的距離，都是A點到該點的最短路徑。根據(jù)記錄，我們可以反推出記錄中任何一點的最短路徑。這就好像真誠對待每個人。這能保證，當(dāng)你遇到真愛時，你已經(jīng)是在真誠相待了。實際上，記錄將所有節(jié)點分割成兩個世界：記錄內(nèi)的，已知最短距離的；記錄外的，未知的。

加權(quán)網(wǎng)絡(luò)

在加權(quán)網(wǎng)絡(luò)中(weighted network)，每條邊有各自的權(quán)重。當(dāng)我們選擇某個路徑時，總耗費為路徑上所有邊的權(quán)重之和。

加權(quán)網(wǎng)絡(luò)在生活中很常見，比如從北京到上海，可以坐火車，也可以坐飛機。但兩種選擇耗費的時間并不同。再比如，我們打出租車和坐公交車，都可以到市區(qū)，但車資也有所不同。在計算機網(wǎng)絡(luò)中，由于硬件性能不同，連接的傳輸速度也有所差異。加權(quán)網(wǎng)絡(luò)正適用于以上場景。無權(quán)網(wǎng)絡(luò)是加權(quán)網(wǎng)絡(luò)的一個特例。

這個問題看起來和無權(quán)網(wǎng)絡(luò)頗為類似。但如果套用上面的方法，我們會發(fā)現(xiàn)，記錄中的節(jié)點并不一定是最短距離。我們看下面的例子：

很明顯，最短路徑是A->C->D->B，因為它的總耗費只有4。按照上面的方法，我們先將A放入記錄。從A出發(fā)，有B和C兩個如果將B和C同時放入記錄，那么記錄中的B并不符合最短距離的要求。

那么，為什么無權(quán)網(wǎng)絡(luò)可行呢？假設(shè)某次記錄時，鞭子長度為5，那么這次記錄點的鄰接點，必然是距離為6的點。如果這些鄰接點沒有出現(xiàn)過，那么6就是它們的最短距離。所有第一次出現(xiàn)的鄰接點，都將加入到下次的記錄中。比如下面的例子，C/D/E是到達(dá)A的鄰接點，它們到A的最短距離必然都是1。

對于加權(quán)網(wǎng)絡(luò)來說，即使知道了鄰接點，也無法判斷它們是否符合最短距離。在記錄C/D/E時，我們無法判斷未來是否存在如下圖虛線的連接，導(dǎo)致A的鄰接點E并不是下一步的最短距離點：

?

但情況并沒有我們想的那么糟糕。仔細(xì)觀察，我們發(fā)現(xiàn)，雖然無法一次判定所有的鄰接點為下一步的最短距離點，但我們可以確定點C已經(jīng)處在從A出發(fā)的最短距離狀態(tài)。A到C的其它可能性，比如途徑D和E，必然導(dǎo)致更大的成本。

也就是說，鄰接點中，有一個達(dá)到了最短距離點，即鄰接點中，到達(dá)A距離最短的點，比如上面的C。我們可以安全的把C改為已知點。A和C都是已知點，點P成為新的鄰接點。P到A得距離為4。

出于上面的觀察，我們可以將節(jié)點分為三種：

·?已知點：已知到達(dá)A最短距離的點。“我是成功人士。”

·?鄰接點：有從記錄點出發(fā)的邊，直接相鄰的點。“和成功人士接觸，也有成功的機會哦。”

·?未知點：“還早得很。”?

最初的已知點只有A。已知點的直接下游節(jié)點為鄰接點。對于鄰接點，我們需要獨立的記錄它們。我們要記錄的有：

·?當(dāng)前情況下，從A點出發(fā)到達(dá)該鄰接點的最短距離。比如對于上面的點D，為6。

·?此最短距離下的上游節(jié)點。對于上面的點D來說，為A。

每次，我們將鄰接點中最短距離最小的點X轉(zhuǎn)為已知點，并將該點的直接下游節(jié)點，改為鄰接點。我們需要計算從A出發(fā)，經(jīng)由X，到達(dá)這些新增鄰接點的距離：新距離 = X最短距離 + QX邊的權(quán)重。此時有兩種情況，

·?如果下游節(jié)點Q還不是鄰接點，那么直接加入，Q最短距離 = 新距離，Q上游節(jié)點為X。

·?如果下游節(jié)點Q已經(jīng)是鄰接點，記錄在冊的上游節(jié)點為Y，最短距離為y。如果新距離小于y，那么最小距離改為新距離，上游節(jié)點也改為X。否則保持原記錄不變。

我們還用上面的圖，探索A到E的路徑：

第一步

?	狀態(tài)	已知距離	上游
A	已知	0	A
C?	鄰接	1	A
D	鄰接	6?	A?
E	鄰接	9?	A?
P	未知?	無窮	?

第二步

?	狀態(tài)	已知距離	上游
A	已知	0	A
C?	已知	1	A
D	鄰接	6?	A?
E	鄰接	9?	A?
P	鄰接	4	C

第二步

?	狀態(tài)	已知距離	上游
A	已知	0	A
C?	已知	1	A
D	鄰接	6?	A?
E	鄰接	7	P
P	已知?	4	C

第三步

?	狀態(tài)	已知距離	上游
A	已知	0	A
C?	已知	1	A
D	已知	6?	A?
E	鄰接	7	P
P	已知?	4	C

最后，E成為已知。倒退，可以知道路徑為E, P, C, A。正過來，就是從A到E的最短路徑了。?

上面的算法是經(jīng)典的Dijkstra算法。本質(zhì)上，每個鄰接點記錄的，是基于已知點的情況下，最好的選擇，也就是所謂的“貪婪算法”(greedy algorithm)。當(dāng)我們貪婪時，我們的決定是臨時的，并沒有做出最終的決定。轉(zhuǎn)換某個點成為已知點后，我們增加了新的可能性，貪婪再次起作用。根據(jù)對比。隨后，某個鄰接點成為新的“貪無可貪”的點，即經(jīng)由其它任意鄰接點，到達(dá)該點都只會造成更高的成本； 經(jīng)由未知點到達(dá)該點更不可能，因為未知點還沒有開放，必然需要經(jīng)過現(xiàn)有的鄰接點到達(dá)，只會更加繞遠(yuǎn)。好吧，該點再也沒有貪婪的動力，就被扔到“成功人士”里，成為已知點。成功學(xué)不斷傳染，最后感染到目標(biāo)節(jié)點B，我們就找到了B的最短路徑。

總結(jié)：?這個算法只能計算單元最短路，而且不能計算負(fù)權(quán)值，這個算法是貪心的思想， dis數(shù)組用來儲存起始點到其他點的最短路，但開始時卻是存的起始點到其他點的初始路程。通過n-1遍的遍歷找最短。每次在剩余節(jié)點中找dist數(shù)組中的值最小的，加入到s數(shù)組中，并且把剩余節(jié)點的dist數(shù)組更新。

程序待續(xù)。。。。。。

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的最短路径算法（一） Dijkstra算法（贪心算法）的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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