Description

在平面上找 n 個點, 要求這 n 個點離原點的距離分別為 r 1 ,r 2 ,…,r n . 最大化這 n 個點構成的
凸包面積, 凸包上的點的順序任意.不要求點全部在凸包上

Input

第一行一個整數 n.
接下來一行 n 個整數依次表示 r i

Output

輸出一個實數表示答案, 要求絕對誤差或相對誤差 ≤ 10^?6 .

Sample Input

4
5
8
58
85

Sample Output

2970

Data Constraint

對于前 20% 的數據, n ≤ 3;
對于前 40% 的數據, n ≤ 4;
對于另 20% 的數據, r 1 = r 2 = … = r n ;
對于 100% 的數據, 1 ≤ n ≤ 8, 1 ≤ r i ≤ 1000.

Solution

• 考慮先暴力枚舉 選幾個點 和 點的相對順序 。

• 之后我們要使 Ans=R1R2sin(θ1)+R2R3sin(θ2)+???+RnR1sin(θn) 最大。

• 其中 θ 滿足條件：θ1+θ2+???+θn=2π 。

• 運用 拉格朗日乘數法，我們可以得出拉格朗日乘子

  λ=R1R2cos(θ1)=R2R3cos(θ2)=???=RnR1cos(θn)

• 因為 θi∈(0,π) （超過了必然不會更優），又 cos(θ) 在 [0,π] 上單調遞減。

• 于是我們可以通過單調性二分出一個最小的 λ 滿足 θ1+θ2+???+θn=2π 。

• 接著由 θi=arccos(λRiRi+1) 就可以算出每個 θi 。

• 最后統計答案即可，時間復雜度 O(N!?N?logAns) 。

• 附：拉格朗日乘數法的一般步驟如下（以此題為例）：

• 設出目標函數 f(R1,???,Rn)=∑RiRi+1sin(θi)

• 設出條件函數 g(R1,???,Rn)=∑Ri?2π=0

• 再設出拉格朗日乘數函數 F(R1,???,Rn,λ)=f(R1,???,Rn)+λg(R1,???,Rn) 。

• 之后就可以求出關于每個元的偏導數（其它元看做常數），聯立即可求出各個元：

• F′θi=RiRi+1cos(θi)+λ=0，F′λ=∑Ri?2π=0

• 使各個偏導數都等于 0 ，解出的解就是最值的解了。

Code

#include<cstdio> #include<algorithm> #include<cmath> #include<cctype> using namespace std; const double Pi=acos(-1.0),eps=1e-7; int n,a[10]; double t[10],ans; inline int read() {int X=0,w=0; char ch=0;while(!isdigit(ch)) w|=ch=='-',ch=getchar();while(isdigit(ch)) X=(X<<3)+(X<<1)+(ch^48),ch=getchar();return w?-X:X; } inline double check(double x) {double sum=t[n]=acos(x/a[1]/a[n]);for(int i=1;i<n;i++) sum+=t[i]=acos(x/a[i]/a[i+1]);return sum; } int main() {n=read();for(int i=1;i<=n;i++) a[i]=read();sort(a+1,a+1+n);while(n>=3){do{double l=-1.0*a[1]*a[2],r=-l;while(l+eps<r){double mid=(l+r)/2.0;if(check(mid)>=2*Pi) l=mid+eps; else r=mid-eps;}if(fabs(check(l)-2*Pi)<=eps){double num=sin(t[n])*a[1]*a[n];for(int i=1;i<n;i++) num+=sin(t[i])*a[i]*a[i+1];if(num>ans) ans=num;}}while(next_permutation(a+1,a+1+n));n--;for(int i=1;i<=n;i++) a[i]=a[i+1];}printf("%.7lf",ans/2.0);return 0; }

總結

以上是生活随笔為你收集整理的JZOJ 5606. 【NOI2018模拟3.27】Yja的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

如果覺得生活随笔網站內容還不錯，歡迎將生活随笔推薦給好友。