Description

已知N，求phi(N)

Input

正整數N。N<=10^18

Output

輸出phi(N)

Sample Input

8

Sample Output

4

Solution

• 我們知道 $$\phi (n)=n(1?\frac{1}{p_1})(1?\frac{1}{p_2})???(1?\frac{1}{p_k})$$

• 其中 $n=\prod p_i^{k_i}$ ，$p_i$ 為互不相同的質數。

• 很自然，我們需要將 $n$ 分解質因數，但是 $n\le 10^{18}$ ，很大。

• 于是我們可以使用 Pollard_rho 算法。

• 其主要思想是找到兩個數 $p,q$ ，使得 $n=p?q$ ，在不斷繼續分解。

• 設遞歸過程 $proc(x)$ ，若 $x$ 是質數（用 Miller_Rabin 算法判斷），則 $x$ 是 $n$ 的一個質因數，并退出過程。

• 否則找到一個數 $y$ ，使 $gcd(x,y)>1$ ，繼續遞歸 $proc(y)$ 、$proc(\frac{x}{y})$ 。

• 那么怎樣找到這個數呢？

• 我們用到了隨機化的思想和生日悖論，即找到兩個數 $x1,x2$ 使得 $gcd(|x1?x2|,x)>1$ ，這樣概率就會大得多。

• 設變換函數 $f(x)=(x^2+c)\%m$ ，其中 $c$ 是一個隨機變量，那么令 $x1,x2$ 沿著該函數一直走。

• 可這樣走是會成環走回原點的，如下圖：

• 它的形狀形似希臘字母 $\rho$ ，該算法名即得于此。

• 判環的話可以用 Floyd 判圈算法：$$x1=f(x1)$$$$x2=f(f(x2))$$

• 即 $x2$ 以兩倍速度跑，當 $x1=x2$ 時重構即可。

• 可證單 Pollard_rho 算法的期望時間復雜度為 $O(n^{\frac{1}{4}})$ 。

• 然而其中還有一個算法 Miller_Rabin （素數測試算法）還沒介紹。

• 我們當然可以 $O(n)$ 線篩出素數，但是在這種時間空間都不允許的情況下，如何快速判定單個素數呢？

• 根據費馬小定理，當 $n$ 為素數時，有： $$a^{n?1}\equiv 1(modn)$$

• 但是當正整數 $n$ 滿足 $a^{n?1}\equiv 1(modn)$ 時不一定 $n$ 就是素數（即逆定理不成立）。

• 但是我們想如果對于很多個 $a$ 都滿足上式，是否就能說明 $n$ 就是素數了呢？

• 我們發現這樣錯誤率依然很高，這時二次探測定理就派上用場了。

• 若一個數 $x$ 滿足： $x^2\equiv 1(modp)$ ，則合法的解就只有 $x=1$ 或 $x=p?1$ 。

• 證明很簡單，就是因為 $x^2?1=(x+1)(x?1)$ ，合法解顯然。

• 那么 $a^{n?1}$ 就可以拆成 $a^{d?2^t}$ ，其中 $d$ 是奇數。

• 那么我們先用 $a^d$ 檢測，之后每次平方，若 ${(a^x)}^2\equiv 1$ 則 $a^x\equiv 1或p?1(modp)$ 。

• 如此一來，檢測的成功率就大了不少，更容易檢測出是否為質數了。

• 我們只需隨機幾個 $a$ （或拿幾個質數）來判斷即可，復雜度約為 $lo{g}_2^3(n)$。

• 至此，我們就成功地實現了算法 Miller_Rabin 和 Pollard_rho 。

Code

#include<cstdio> #include<algorithm> #include<iostream> #include<ctime> #include<cstdlib> using namespace std; typedef long long LL; typedef long double LD; const int N=65,P=5,prime[P]={2,3,7,61,24251}; LL n,pn; LL f[N]; inline LL mul(LL a,LL b,LL p) {a%=p,b%=p;LL c=(LD)a*b/p;c=a*b-c*p;if(c<0) c+=p; elseif(c>p) c-=p;return c; } inline LL ksm(LL x,LL y,LL p) {LL s=1;while(y){if(y&1) s=mul(s,x,p);x=mul(x,x,p);y>>=1;}return s; } inline LL twice(LL a,LL p) {LL d=p-1;int t=0;while(!(d&1)) d>>=1,t++;//p-1=d*2^tLL x,y;x=y=ksm(a,d,p);while(t--){y=mul(x,x,p);if(y==1 && x^1 && x^p-1) return 0;x=y;}return y; } inline LL random(LL up) {return (LL)rand()*rand()%up; } LL gcd(LL x,LL y) {return !y?x:gcd(y,x%y); } inline LL abs(LL x,LL y) {return x<y?y-x:x-y; } inline bool Miller_Rabin(LL x) {for(int i=0;i<P;i++){if(x==prime[i]) return true;if(twice(prime[i],x)^1) return false;}return true; } inline LL trans(LL x,LL y,LL z) {return (mul(x,x,z)+y)%z; } void Pollard_rho(LL m) {if(Miller_Rabin(m)){f[++f[0]]=m;return;}LL x1=0,x2=0,c=0,p=1;while(p==1 || p==m){x1=trans(x1,c,m);x2=trans(trans(x2,c,m),c,m);while(x1==x2){c=random(m);x1=x2=random(m);x2=trans(x2,c,m);}p=gcd(abs(x1-x2),m);}Pollard_rho(p);Pollard_rho(m/p); } inline LL getphi(LL m) {sort(f+1,f+1+f[0]);f[0]=unique(f+1,f+1+f[0])-(f+1);LL sum=m;for(int i=1;i<=f[0];i++)sum=sum/f[i]*(f[i]-1);return sum; } int main() {scanf("%lld",&n);if(n==1) return 0&puts("1");srand(time(NULL));Pollard_rho(n);pn=getphi(n);printf("%lld",pn);return 0; }

總結

以上是生活随笔為你收集整理的BZOJ 4802: 欧拉函数（大数因数分解算法 Pollard_rho 和素数测试算法 Miller_Rabin）的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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