Description

nodgd 要畫一個電路圖。
這是一個很簡單的電路圖，所有的元件都是串聯關系，從整體來看就是一個環狀的結構。畫電路圖有很多要求，nodgd 為了畫得好看就又添加了一些
額外的要求。所有要求歸結起來有以下幾點：
1、這個環狀電路上有n個雙端電路元件（即每個電路元件有兩個連接導線的接頭），其中只有一個直流電源；為了本題方便，其他n ? 1個元件都是一模一樣的電阻。
2、電流在電路圖中每經過一個元件，就必須拐一個90°的彎；沒有經過元件時不允許拐彎。參考右圖。

3、從電路圖整體上觀察，電流沿順時針方向流動，且電路不能自交。參考下圖。

4、如果一個符合題意的電路圖，可以通過整體旋轉一定的角度，再適當調整圖中導線的長度，得到另外一個符合題意的電路圖，則這兩個電路圖是相同的。參考下圖。

5、如果電路環路的內部存在一個點，使得它可以“看到”電路環路內部的所有位置，就認為這個圖是美觀的，反之是不美觀的。相同的電路圖不一定都美觀。參考下圖。

那么問題來了，nodgd 想知道有多少種不同的電路圖，以及有多少種不同的美觀電路圖。由于兩個問題的答案都可能很大，請mod 1,000,000,007輸出結果。

Input

輸入文件 A.in。
輸入文件第一行包含一個正整數n，表示包含電源在內的電路元件的總數量。

Output

輸出文件A.out。
輸出文件第一行包含一個整數，表示不同的電路圖數量mod 1,000,000,007的結果。第二行包含一個整數，表示不同的美觀電路圖數量mod 1,000,000,007的結果。

Sample Input

【樣例1】
6
【樣例2&3】見下發文件

Sample Output

【樣例1】
6
6

Data Constraint

對于 10%的數據，n = 12；
對于 30%的數據，n ≤ 24；
對于 60%的數據，n ≤ 5000；
對于 100%的數據，4 ≤ n ≤ 10^7，且n是個偶數。

Hint

【輸入輸出樣例 1 說明】
可以有如下幾種電路圖，電路圖數量是 6，所以輸出文件第一行輸出一個整數 6； 容易發現，這 6 個電路圖都是美觀的電路圖，所以第二行也輸出一個整數 6。

Solution

• 結論題。

• 有一個元件就會拐彎一次，我們發現 右拐次數就等于左拐次數+4 ，因為要順時針拐一圈回來。

• 所以第一問的答案即為 $C_n^{n/2?2}$ ，即從 $n$ 次拐彎中選 $n/2?2$ 次左拐。

• 第二問的話我們發現不能連續兩次逆時針拐彎，不然就會形成一個不美觀的凹型。

• 所以我們把路徑分成四段，可以發現每段的拐彎數都是奇數。

• 問題轉化為將 $n$ 拆分成 4 個奇數的方案數（$n$ 是偶數）。

• 我們先考慮將 $n$ 拆成 4 個偶數怎么做。將 $n/2?1$ 個偶數排在一起（都小于 $n$）。

• 選 3 個出來（相當于擋板），將間隔作為選擇的偶數（保證了和不會超過 $n$）。

• 于是我們就可以得出方案書為 $C_{n/2?1}^3$ 。

• 類比選 4 個奇數，我們將這四個奇數都加 1 ，則和為 $n+4$ 。

• 于是方案數為 $C_{(n+4)/2?1}^3=C_{n/2+1}^3$

• 由于電源放在哪兒都可以，所以要乘 $n$ ；

• 又因為整體旋轉后相同的電路圖都是一樣的，所以要除以 4 。

• 故第二問最終答案為 $C_{n/2+1}^3?n/4$ 。

Code

#include<cstdio> using namespace std; typedef long long LL; const int N=1e7+5,mo=1e9+7; int n; int f[N]; inline int ksm(int x,int y) {int s=1;while(y){if(y&1) s=(LL)s*x%mo;x=(LL)x*x%mo;y>>=1;}return s; } inline int C(int x,int y) {return (LL)f[x]*ksm(f[y],mo-2)%mo*ksm(f[x-y],mo-2)%mo; } int main() {freopen("a.in","r",stdin);freopen("a.out","w",stdout);scanf("%d",&n);for(int i=f[0]=1;i<=n;i++) f[i]=(LL)f[i-1]*i%mo;printf("%d\n",C(n,n/2-2));printf("%d",(LL)C(n/2+1,3)*n%mo*ksm(4,mo-2)%mo);return 0; }

總結

以上是生活随笔為你收集整理的JZOJ 5878. 【NOIP2018提高组模拟9.22】电路图 A的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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