Description

常數國與 Hack 國近年來戰火紛飛。
常數國共有 n 個城市，每兩個城市之間均有一條交通線聯通。如今常數國遭到 Hack 國的重創，岌岌可危。Hack 國國王小 K 決定轟炸常數國的交通線，對常數國發起最后的攻擊。
面對危難之時，常數國國王決定更換首都。在 Hack 國的轟炸結束之后，常數國的領土將會分成若干個聯通塊。常數國的首都，將會從聯通塊大小最大的聯通塊中，隨機選擇一個城市，作為首都。
小 K 得知了常數國的應對方案之后，他想知道，Hack 國有多少種不同的轟炸方案，使得常數首都所在的聯通塊大小恰好為 k。兩種轟炸方案是不同的，當且僅當一條交通線在一種方案中存在，在另一種方案中被轟炸。由于方案數可能很大，你需要輸出方案數對 998,244,353 取模的結果。

Input

從文件bomb.in中讀入數據。
共一行，兩個整數 n,k ，表示常數國城市的個數與首都所在聯通塊大小。

Output

輸出到文件bomb.out中。
共一行，表示 Hack 國的轟炸方案數對 998,244,353 取模后的結果。

Sample Input

?Sample Input 1

3 2

Sample Input 2

5 3

Sample 3

見選手目錄下的bomb/bomb3.in與bomb/bomb3.ans。
該組樣例的數據范圍同第 8 個測試點。

Sample Output

Sample Output1

3

Explanation

3 種方案分別為，僅保留 1 號城市與 2 號城市的交通線，僅保留 2 號城市與3 號城市的交通線，僅保留 1 號城市與 3 號城市的交通線。

Sample Output2

80

Data Constraint

對于 100% 的數據，滿足 1 ≤ k ≤ n ≤ 2 × 10 3 。除此之外，對于每個數據點，還滿足以下限制。

Solution

• 我們需要靈活地DP！

• 考慮設 $f[i]$ 表示大小為 $i$ 的連通圖的個數。

• 為了求出 $f[i]$ ，我們再設一個 $h[i]$ 表示大小為 $i$ 的圖的個數。

• 則有：$$h[0]=1,h[i]=h[i?1]?2^{i?1}$$

• 即：$$h[i]=2^{C_i^2}$$

• 那么 $f[i]$ 就很好求了：$$f[i]=h[i]?\sum _{j=1}^{i?1}{C}_{i?1}^{j?1}?f[j]?h[i?j]$$

• 注意這些點是有編號的，所以組合數應為 $C_{i?1}^{j?1}$ 而非 $C_i^j$ 。

• 求出了 $f[i]$ 我們就更容易求出答案了。

• 設 $g[i]$ 為大小為 $i$ 的圖的個數，其中這些圖中的連通塊大小不超過 $k$。

• 于是就有轉移：$$g[i]=\sum _{j=1}^{min(i,k)}{C}_{i?1}^{j?1}?f[j]?g[i?j]$$

• 由于 $g$ 表示的圖的連通塊大小 $\le k$ ，那么我們又設一個 $g1[i]$ 表示 $\le k?1$ 的。

• 轉移即把上面的 $k$ 換成 $k?1$。

• 那么答案就是 $g[n]?g1[n]$ 。

• 時間復雜度 $O(n^2)$ ，用FFT優化可達 $O(nlogn)$ 。

• 這題的DP方式比較套路，但是如果之前沒接觸過的話就不是特別好想，需要多積累。

Code

#include<cstdio> #include<cctype> using namespace std; typedef long long LL; const int N=2005,mo=998244353; int f[N],g[N],g1[N],h[N],c[N][N]; inline int read() {int X=0,w=0; char ch=0;while(!isdigit(ch)) w|=ch=='-',ch=getchar();while(isdigit(ch)) X=(X<<3)+(X<<1)+(ch^48),ch=getchar();return w?-X:X; } inline int ksm(int x,int y) {int s=1;while(y){if(y&1) s=(LL)s*x%mo;x=(LL)x*x%mo;y>>=1;}return s; } int main() {freopen("bomb.in","r",stdin);freopen("bomb.out","w",stdout);int n=read(),k=read();for(int i=0;i<=n;i++) c[i][0]=1;for(int i=1;i<=n;i++)for(int j=1;j<=i;j++)c[i][j]=(c[i-1][j-1]+c[i-1][j])%mo;f[0]=g[0]=g1[0]=h[0]=1;for(int i=1;i<=n;i++){h[i]=ksm(2,i*(i-1)/2);for(int j=1;j<i;j++)f[i]=(f[i]+(LL)c[i-1][j-1]*f[j]%mo*h[i-j])%mo;f[i]=(mo-f[i]+h[i])%mo;for(int j=1,up=i<k?i:k;j<=up;j++) g[i]=(g[i]+(LL)c[i-1][j-1]*f[j]%mo*g[i-j])%mo;for(int j=1,up=i<k-1?i:k-1;j<=up;j++) g1[i]=(g1[i]+(LL)c[i-1][j-1]*f[j]%mo*g1[i-j])%mo;}printf("%d",(g[n]-g1[n]+mo)%mo);return 0; }

總結

以上是生活随笔為你收集整理的JZOJ 5923. 【NOIP2018模拟10.23】Bomb的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

如果覺得生活随笔網站內容還不錯，歡迎將生活随笔推薦給好友。