• 今天終于抽空把這個綜（du）合（liu）知識點學了，心力交瘁……

多項式快速插值

• 給出 $n$ 個點 $(x_i,y_i)$ ，要求一個次數為 $n?1$ 的多項式 $F(x)$ 滿足：$F(x_i)=y_i$

• 顯然這個多項式是唯一確定的。

• 根據拉格朗日插值法，我們有：$$F(x)=\sum _{i=1}^n\frac{{\prod }_{j?=i}(x?x_j)}{{\prod }_{j?=i}(x_i?x_j)}{y}_i$$

• 這樣我們是可以 $O(n^2)$ 求的，考慮優化。

• 我們先考慮對于每個 $i$ ，如何快速得到 ${\prod }_{j?=i}(x_i?x_j)$ 。

• 設 $M(x)={\prod }_{i=1}^n(x?x_i)$ ，我們即需求：$$\frac{M(x)}{x?x_i}$$

• 根據洛必達法則，當 $x$ 取 $x_i$ 時，分子分母都等于0，一個0/0型，上下求導得：$$li{m}_{x\to x_i}\frac{M(x)}{x?x_i}=M^{\prime }(x)$$

• 于是我們先分治NTT求出 $M(x)$ ，再求導得到 $M^{\prime }(x)$ ，之后將 $x_{1?n}$ 代入多點求值即可！

• 這一部分的復雜度是 $O(nlo{g}^{2}n)$ 的。

• 求導、多點求值這些前置知識我的博客里都有講：

  多項式的求逆、取模和多點求值學習小記

  多項式的ln、exp和快速冪學習小記

• 又設 $V_i=\frac{y_i}{{\prod }_{j?=i}(x_i?x_j)}$ ，則此時 $V_i$ 已知，我們要求：$$F(x)=\sum _{i=1}^n{V}_i\prod _{j?=i}(x?x_j)$$

• 還是分治NTT，設 $L(x)={\sum }_{i=1}^{n/2}(x?x_i)$ ，$R(x)={\sum }_{i=n/2+1}^n(x?x_i)$ ，則有：$$F(x)=\sum _{i=1}^{n/2}{V}_i\prod _{j?=i,1\le j\le n/2}(x?x_j)R(x)+\sum _{i=n/2+1}^n{V}_i\prod _{j?=i,n/2+1\le j\le n}(x?x_j)L(x)$$

• 遞歸即可求得，遞歸底層的 $F(x)$ 就是 $V_i$ 。

• 還有就是這里的 $L(x)、R(x)$ 在多點求值中已經算過了，不用再算一遍啦。

• 這一部分的復雜度也是 $O(nlo{g}^{2}n)$ 。

• 故總時間復雜度即為 $O(nlo{g}^{2}n)$ ，常數很大很大。

• 模板題：洛谷 P5158 【模板】多項式快速插值

Code

#include<cstdio> #include<algorithm> #include<cctype> using namespace std; typedef long long LL; const int N=1e5+5,M=18,G=3,mo=998244353; int tot; int xx[N],yy[N],val[N]; int a[N],b[N],c[N],rr[N];//a=b*c+rr int ra[N],rb[N<<2],irb[N<<2]; int f[N*M<<1],stf[N<<2],enf[N<<2]; int g[N*M<<1],stg[N<<2],eng[N<<2]; int h[N],sth[N],enh[N],f3[N]; int f1[N<<2],f2[N<<2],wn[N<<2],rev[N<<2]; inline int read() {int X=0,w=0; char ch=0;while(!isdigit(ch)) w|=ch=='-',ch=getchar();while(isdigit(ch)) X=(X<<3)+(X<<1)+(ch^48),ch=getchar();return w?-X:X; } void write(int x) {if(x>9) write(x/10);putchar(x%10+'0'); } inline int ksm(int x,int y) {int s=1;while(y){if(y&1) s=(LL)s*x%mo;x=(LL)x*x%mo;y>>=1;}return s; } inline void NTT(int *y,int len,int ff) {for(int i=0;i<len;i++)if(i<rev[i]) swap(y[i],y[rev[i]]);for(int h=2,d=len>>1;h<=len;h<<=1,d>>=1)for(int i=0,k=h>>1;i<len;i+=h)for(int j=0,cnt=0;j<k;j++,cnt+=d){int u=y[i+j],t=(LL)wn[cnt]*y[i+j+k]%mo;y[i+j]=u+t>=mo?u+t-mo:u+t;y[i+j+k]=u-t<0?u-t+mo:u-t;}if(ff==-1){reverse(y+1,y+len);int inv=ksm(len,mo-2);for(int i=0;i<len;i++) y[i]=(LL)y[i]*inv%mo;} } void make(int v,int l,int r) {if(l==r){g[stg[v]=++tot]=mo-xx[l];g[eng[v]=++tot]=1;return;}int mid=l+r>>1,ls=v<<1,rs=ls|1;make(ls,l,mid),make(rs,mid+1,r);int na=eng[ls]-stg[ls]+1,nb=eng[rs]-stg[rs]+1;int len=1,ll=0;while(len<na+nb) len<<=1,ll++;for(int i=0;i<len;i++) rev[i]=rev[i>>1]>>1|(i&1)<<ll-1;int w0=ksm(G,(mo-1)/len);for(int i=wn[0]=1;i<=len;i++) wn[i]=(LL)wn[i-1]*w0%mo;for(int i=0;i<na;i++) f1[i]=g[stg[ls]+i];for(int i=na;i<len;i++) f1[i]=0;for(int i=0;i<nb;i++) f2[i]=g[stg[rs]+i];for(int i=nb;i<len;i++) f2[i]=0;NTT(f1,len,1),NTT(f2,len,1);for(int i=0;i<len;i++) f1[i]=(LL)f1[i]*f2[i]%mo;NTT(f1,len,-1);stg[v]=tot+1;na+=nb-1;for(int i=0;i<na;i++) g[++tot]=f1[i];eng[v]=tot; } void getinv(int len,int ll) {if(len==1){irb[0]=ksm(rb[0],mo-2);return;}getinv(len>>1,ll-1);for(int i=0;i<len;i++) rev[i]=rev[i>>1]>>1|(i&1)<<ll-1;int w0=ksm(G,(mo-1)/len);for(int i=wn[0]=1;i<=len;i++) wn[i]=(LL)wn[i-1]*w0%mo;for(int i=0;i<len>>1;i++) f1[i]=rb[i];for(int i=len>>1;i<len;i++) f1[i]=0;NTT(f1,len,1),NTT(irb,len,1);for(int i=0;i<len;i++) irb[i]=(2-(LL)f1[i]*irb[i]%mo+mo)*irb[i]%mo;NTT(irb,len,-1);for(int i=len>>1;i<len;i++) irb[i]=0; } void solve(int v,int l,int r,int fa) {int na=enf[fa]-stf[fa],nb=eng[v]-stg[v];if(na>=nb){int nc=na-nb;for(int i=0;i<=na;i++) a[i]=f[stf[fa]+i];for(int i=0;i<=nb;i++) b[i]=g[stg[v]+i];for(int i=0;i<=nc;i++) ra[i]=a[na-i];for(int i=0;i<=nb;i++) rb[i]=b[nb-i];for(int i=nc+1;i<=nb;i++) rb[i]=0;int len=1,ll=0;while(len<=nc*2+1) len<<=1,ll++;for(int i=nb+1;i<len;i++) rb[i]=0;for(int i=0;i<len;i++) irb[i]=0,f1[i]=0;getinv(len,ll);for(int i=0;i<=nc;i++) f1[i]=ra[i],f2[i]=irb[i];for(int i=nc+1;i<len;i++) f1[i]=f2[i]=0;NTT(f1,len,1),NTT(f2,len,1);for(int i=0;i<len;i++) f1[i]=(LL)f1[i]*f2[i]%mo;NTT(f1,len,-1);for(int i=0;i<=nc;i++) c[nc-i]=f1[i];for(int i=nc+1;i<nb;i++) c[i]=0;len=1,ll=0;while(len<nb<<1) len<<=1,ll++;for(int i=0;i<len;i++) rev[i]=rev[i>>1]>>1|(i&1)<<ll-1;int w0=ksm(G,(mo-1)/len);for(int i=wn[0]=1;i<=len;i++) wn[i]=(LL)wn[i-1]*w0%mo;for(int i=0;i<nb;i++) f1[i]=b[i],f2[i]=c[i];for(int i=nb;i<len;i++) f1[i]=0,f2[i]=0;NTT(f1,len,1),NTT(f2,len,1);for(int i=0;i<len;i++) f1[i]=(LL)f1[i]*f2[i]%mo;NTT(f1,len,-1);for(int i=0;i<nb;i++) rr[i]=(a[i]-f1[i]+mo)%mo;while(nb>1 && !rr[nb-1]) nb--;stf[v]=tot+1;for(int i=0;i<nb;i++) f[++tot]=rr[i];enf[v]=tot;}else{stf[v]=tot+1;for(int i=stf[fa];i<=enf[fa];i++) f[++tot]=f[i];enf[v]=tot;}if(l==r){val[l]=f[stf[v]];return;}int mid=l+r>>1;solve(v<<1,l,mid,v);solve(v<<1|1,mid+1,r,v); } void work(int v,int l,int r) {if(l==r) return;int mid=l+r>>1,ls=v<<1,rs=ls|1;work(ls,l,mid);work(rs,mid+1,r);int na=enh[l]-sth[l]+1,nb=eng[rs]-stg[rs]+1;int len=1,ll=0;while(len<na+nb) len<<=1,ll++;for(int i=0;i<len;i++) rev[i]=rev[i>>1]>>1|(i&1)<<ll-1;int w0=ksm(G,(mo-1)/len);for(int i=wn[0]=1;i<=len;i++) wn[i]=(LL)wn[i-1]*w0%mo;for(int i=0;i<na;i++) f1[i]=h[sth[l]+i];for(int i=na;i<len;i++) f1[i]=0;for(int i=0;i<nb;i++) f2[i]=g[stg[rs]+i];for(int i=nb;i<len;i++) f2[i]=0;NTT(f1,len,1),NTT(f2,len,1);for(int i=0;i<len;i++) f1[i]=(LL)f1[i]*f2[i]%mo;NTT(f1,len,-1);na+=nb-1;for(int i=0;i<na;i++) f3[i]=f1[i];for(int i=na;i<len;i++) f3[i]=0;na=enh[mid+1]-sth[mid+1]+1,nb=eng[ls]-stg[ls]+1;for(int i=0;i<na;i++) f1[i]=h[sth[mid+1]+i];for(int i=na;i<len;i++) f1[i]=0;for(int i=0;i<nb;i++) f2[i]=g[stg[ls]+i];for(int i=nb;i<len;i++) f2[i]=0;NTT(f1,len,1),NTT(f2,len,1);for(int i=0;i<len;i++) f1[i]=(LL)f1[i]*f2[i]%mo;NTT(f1,len,-1);na+=nb-1;for(int i=0;i<na;i++) h[sth[l]+i]=f3[i]+f1[i]>=mo?f3[i]+f1[i]-mo:f3[i]+f1[i];enh[l]=sth[l]+na-1; } int main() {int n=read();for(int i=1;i<=n;i++) xx[i]=read(),yy[i]=read();make(1,1,n);int m=eng[1]-stg[1];for(int i=0;i<=m;i++) f1[i]=g[stg[1]+i];for(int i=0;i<m;i++) f1[i]=(LL)f1[i+1]*(i+1)%mo;f1[m--]=0;stf[tot=0]=1;for(int i=0;i<=m;i++) f[enf[0]=++tot]=f1[i];solve(1,1,n,0);for(int i=1;i<=n;i++) val[i]=(LL)yy[i]*ksm(val[i],mo-2)%mo;tot=0;for(int i=1;i<=n;i++){sth[i]=enh[i]=++tot;h[tot]=val[i];}work(1,1,n);for(int i=0;i<n;i++) write(h[sth[1]+i]),putchar(' ');return 0; } 與50位技術專家面對面20年技術見證，附贈技術全景圖

總結

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