二階有源帶通濾波器設(shè)計(jì)

1、背景

對于微弱的信號的處理方式一般是：放大和濾波，這個過程中就涉及到放大電路的選取、濾波器的選擇以及偏置電路的設(shè)計(jì)。本例以實(shí)例的方式講解并附帶參數(shù)計(jì)算、仿真、實(shí)物測試三個環(huán)節(jié)。

假設(shè)需要處理一個20mV的正弦信號，該信號的頻率范圍是15~35Hz，經(jīng)過處理后幅值不超過3.3V，且需要經(jīng)過帶通濾波器濾除雜波。

2、濾波器定義

濾波電路又稱為濾波器，是一種選頻電路，能夠使特定頻率范圍的信號通過，而且其他頻率的信號大大衰減即阻止其通過。按濾波器工作頻率范圍的不同，可分為：

• 低通濾波器（Low-pass Filter，LPF）
• 高通濾波器（High-pass Filter，HPF）
• 帶通濾波器（Band-pass Filter，BPF）
• 帶阻濾波器（Band-rejection Filter，BRF）
• 全通濾波器（All-pass Filter，APF）

僅由電阻、電容、電感這些無源器件組成的濾波電路稱為無源濾波器。如果濾波電路中含有有源元件，如集成運(yùn)放等，則稱為有源濾波器。與無源濾波器相比，有源濾波器具有效率高、帶負(fù)載能力強(qiáng)、頻率特性好，而且在濾波的同時還可以將有用信號放大等一系列有點(diǎn)而得到廣泛應(yīng)用。

2.1、濾波器種類

2.1.1、低通濾波器

從f0～f2頻率之間，幅頻特性平直，它可以使信號中低于f2的頻率成分幾乎不受衰減地通過，而高于f2的頻率成分受到極大地衰減。

圖 1低通濾波器

2.1.2、高通濾波器

　　與低通濾波相反，從頻率f1～∞，其幅頻特性平直。它使信號中高于f1的頻率成分幾乎不受衰減地通過，而低于f1的頻率成分將受到極大地衰減。

圖 2高通濾波器

2.1.3、帶通濾波器

　　它的通頻帶在f1～f2之間。它使信號中高于f1而低于f2的頻率成分可以不受衰減地通過，而其它成分受到衰減。

圖 3帶通濾波器

實(shí)際上將低通濾波器和高通濾波器串聯(lián)，即可構(gòu)成帶通濾波器，此處需要注意高通濾波器的截止頻率一定要小于低通濾波器的截止頻率即fH<fL，否則新構(gòu)成的濾波器就會變成全頻濾波器。

圖 4低通濾波器與高通濾波器的串聯(lián)

2.1.4、帶阻濾波器

　　與帶通濾波相反，阻帶在頻率f1～f2之間。它使信號中高于f1而低于f2的頻率成分受到衰減，其余頻率成分的信號幾乎不受衰減地通過。

圖 5帶阻濾波器

實(shí)際上將低通濾波器和高通濾波器并聯(lián)，即可構(gòu)成帶通濾波器帶阻濾波器。此處需要注意高通濾波器的截止頻率一定要大于低通濾波器的截止頻率即fH>fL, 否則新構(gòu)成的濾波器就會變成全通濾波器。

圖 6低通濾波器與高通濾波器的并聯(lián)

2.2、濾波器的基本參數(shù)

理想濾波器是不存在的，在實(shí)際濾波器的幅頻特性圖中，通帶和阻帶之間應(yīng)沒有嚴(yán)格的界限。在通帶和阻帶之間存在一個過渡帶。在過渡帶內(nèi)的頻率成分不會被完全抑制，只會受到不同程度的衰減。當(dāng)然，希望過渡帶越窄越好，也就是希望對通帶外的頻率成分衰減得越快、越多越好。因此，在設(shè)計(jì)實(shí)際濾波器時，總是通過各種方法使其盡量逼近理想濾波器。

如圖所示為理想帶通（虛線）和實(shí)際帶通（實(shí)線）濾波器的幅頻特性。由圖中可見，理想濾波器的特性只需用截止頻率描述，而實(shí)際濾波器的特性曲線無明顯的轉(zhuǎn)折點(diǎn)，兩截止頻率之間的幅頻特性也非常數(shù)，故需用更多參數(shù)來描述。

圖 7實(shí)際濾波器

2.2.1、紋波幅度d

在一定頻率范圍內(nèi)，實(shí)際濾波器的幅頻特性可能呈波紋變化，其波動幅度d與幅頻特性的平均值A(chǔ)0相比，越小越好，一般應(yīng)遠(yuǎn)小于-3dB。

2.2.2、截止頻率fc

截止頻率(Cutoff Frequency)：指低通濾波器的通帶右邊頻點(diǎn)或高通濾波器的通帶左邊頻點(diǎn)。通常以1dB或3dB相對損耗點(diǎn)的標(biāo)準(zhǔn)定義。相對損耗的參考基準(zhǔn)為：低通以DC處插入損耗為基準(zhǔn)，高通則以未出現(xiàn)寄生阻帶足夠高的通帶頻率處插入損為基準(zhǔn)。

2.2.3、中心頻率(Center Frequency)：

濾波器通帶的中心頻率f0，一般取f0=(f1+f2)/2，f1、f2為帶通或帶阻濾波器左、右相對下降1dB或3dB邊頻點(diǎn)。窄帶濾波器常以插入損耗最小點(diǎn)為中心頻率計(jì)算通帶帶寬。

2.2.4、帶寬B和品質(zhì)因數(shù)Q值

上下兩截止頻率之間的頻率范圍稱為濾波器帶寬，或-3dB帶寬，單位為Hz。帶寬決定著濾波器分離信號中相鄰頻率成分的能力——頻率分辨力。在電工學(xué)中，通常用Q代表諧振回路的品質(zhì)因數(shù)。在二階振蕩環(huán)節(jié)中，Q值相當(dāng)于諧振點(diǎn)的幅值增益系數(shù)， Q=1/2ξ（ξ——阻尼率）。對于帶通濾波器，通常把中心頻率f0和帶寬 B之比稱為濾波器的品質(zhì)因數(shù)Q。例如一個中心頻率為500Hz的濾波器，若其中-3dB帶寬為10Hz，則稱其Q值為50。Q值越大，表明濾波器頻率分辨力越高。

2.2.5、倍頻程選擇性W

在兩截止頻率外側(cè)，實(shí)際濾波器有一個過渡帶，這個過渡帶幅頻曲線的傾斜程度表明了幅頻特性衰減的快慢，它決定著濾波器對帶寬外頻率成分衰阻的能力。通常用倍頻程選擇性來表征。所謂倍頻程選擇性，是指在上截止頻率fc2與 2fc2之間，或者在下截止頻率fc1與fc1/2之間幅頻特性的衰減值，即頻率變化一個倍頻程時的衰減量或倍頻程衰減量以dB/oct表示（octave，倍頻程）。顯然，衰減越快（即W值越大），濾波器的選擇性越好。對于遠(yuǎn)離截止頻率的衰減率也可用10倍頻程衰減數(shù)表示之。即［dB／10oct］。

2.2.6、濾波器因數(shù)（或矩形系數(shù)）

濾波器因數(shù)是濾波器選擇性的另一種表示方式 ，它是利用濾波器幅頻特性的 -60dB帶寬與-3dB帶寬的比值來衡量濾波器選擇性.即理想濾波器 =1，常用濾波器 =1~5，顯然， 越接近于1，濾波器選擇性越好。

2.2.7、插入損耗(Insertion Loss)：

濾波器插入電路之前傳播送到負(fù)載阻抗的功率與濾波器插入之后傳送到負(fù)載阻抗的比值的對數(shù)，稱為濾波器插入損耗。常以中心或截止頻率處損耗表征。

3、計(jì)算過程

3.1、1.65V偏置電路計(jì)算

抬升電路本質(zhì)上是一個加法器，其原理是在輸入信號的基礎(chǔ)加一個偏置量。此處需要將被測信號抬升至0~3.3V范圍內(nèi)，假設(shè)信號為正弦信號，且在0V上下波動，因此需要將信號抬升1.65V。整個計(jì)算過程使用虛短、虛斷的假設(shè)，列出如下兩個方程，將②式化簡并帶入①式，可以求得③式。從化簡后的③式可以看出：u0=ku2+gu1，其中k、g僅與電阻的大小有關(guān)，k為加法電路偏置，g為輸入信號增益，此處僅實(shí)現(xiàn)1.65V偏置，因此k=2，g=1。如需在偏置的基礎(chǔ)上增加對輸入信號的放大，可以適當(dāng)調(diào)節(jié)電阻阻值，此處不再贅述。為簡化電阻選值，假設(shè)R1=R3，則、R2=2R1=2R3。該結(jié)論適用于同類的抬升電路。

圖 8偏置電路圖

圖 9偏置電路

根據(jù)虛短、虛斷列出下面兩個方程：

推導(dǎo)出下式：

則是偏置電壓的偏置常數(shù)，是閉環(huán)增益，此處希望，，帶入可得：。即偏置電路中的二等分偏置電阻是反饋電阻的兩倍，反饋端對地電阻和反饋電阻相等。對于有電容的電路，上式電阻(R)可以用阻抗(z)的形式表示。

此處選擇輸入電阻為100KΩ，則偏置電路電阻為200KΩ。

3.2、濾波器計(jì)算

3.2.1、一階有源濾波器

圖 10一階LPF

3.2.2、二階低通濾波器

　　為改善濾波效果，使時，信號衰減的更快，一般在上圖所示的一階低通濾波器的基礎(chǔ)上再增加一級RC電路就構(gòu)成二階有源低通濾波器，如下圖所示。

圖 11二階LPF

3.2.3、二階壓控型低通濾波器

二階壓控型低通有源濾波器中的一個電容器C1原來是接地的，現(xiàn)在改接到輸出端。顯然C1的改接不影響通帶增益。

圖 12二階壓控型LPF

二階LPF傳遞函數(shù)：

通帶增益：

上式表明，該濾波器的通帶增益應(yīng)小于3，才能保障電路穩(wěn)定工作。

3.2.4、二階高通濾波器

高通濾波器電路與低通濾波器在電路上具備對偶性，通過把低通濾波器電路中的R、C互換位置即可得到高通濾波器，并且相應(yīng)的截止頻率也具備這種特性。

圖 13二階HPF

二階HPF傳遞函數(shù)：

通帶增益：

3.2、二階濾波器計(jì)算

當(dāng)

時，幅頻特性曲線最平坦稱為Butterworth濾波器；當(dāng)Q=1時，稱為Chebyshev濾波器；當(dāng)Q>0.707時后，特性曲線將出現(xiàn)峰值，Q值越大，峰值越高

LPF：假設(shè)待計(jì)算濾波器Q=0.7（讀者可以根據(jù)實(shí)際情況取值，此處僅以0.7為例設(shè)計(jì)）、f0=35Hz。

根據(jù)RC濾波器求解RC值：

電容值一般取1uF以下，此處以1uF為例計(jì)算。

則

求得R=4.549kΩ，實(shí)際取值R=4.3 kΩ。

根據(jù)Ｑ值求解R1和R2 ，當(dāng)f=f0時，

則：

解得：R1=25.06kΩ，R2=14.29kΩ

實(shí)際取值：R1=24kΩ，R2=15kΩ（實(shí)際電阻值是離散數(shù)據(jù)，選取相近阻值即可）。

HPF：由于同類型LPF和HPF具有對偶性，實(shí)際計(jì)算按照LPF計(jì)算，電路中替換RC位置即可。

假設(shè)待計(jì)算濾波器Q=0.7（讀者可以根據(jù)實(shí)際情況取值，此處僅以0.7為例設(shè)計(jì)）、。

根據(jù)RC濾波器求解RC值：

電容值一般取1uF以下，此處以1uF為例計(jì)算。

則

求得R=10.615kΩ，實(shí)際取值R=10 kΩ。

根據(jù)Ｑ值求解R1和R2 ，當(dāng)f=f0時，

則：

解得：R1=58.479kΩ，R2=33.333kΩ

實(shí)際取值：R1=56kΩ，R2=33kΩ（實(shí)際電阻值是離散數(shù)據(jù)，選取相近阻值即可）。

同理可以計(jì)算出Q=1時

LPF：R1=R2=18.19kΩ，實(shí)際取值R1=R2=18kΩ

HPF：R1=R2=42.46 kΩ，R1=R2=43kΩ

同理可以計(jì)算出Q=2.5時

LPF：R1=14.784kΩ，R2= 23.6548? kΩ，實(shí)際取值R1=15 kΩ、R2=24kΩ

HPF：R1= 34.499 kΩ，R2= 55.198 kΩ，實(shí)際取值R1=33 kΩ、R2=56kΩ

3.3、Matlab頻譜相應(yīng)仿真

取Q=0.1~3，步長取0.2，繪制濾波器的波特圖，其結(jié)果如下圖所示，matlab繪圖程序詳見附錄。

圖 14帶通濾波器不同Q值下的波特圖

4、Multisim仿真

4.1、搭建仿真電路圖

圖 15仿真電路圖

4.2、仿真結(jié)果

4.2.1、Q=0.7時

波特圖：

圖 16 Q=0.7時幅頻特性圖

圖 17 Q=0.7時相頻特性圖

各點(diǎn)波形輸出：（注：紫色：LPF濾波后波形，藍(lán)色：HPF濾波后波形，黃色：1.65V抬升后波形）

圖 18仿真波形圖

4.2.2、Q=1時

仿真圖：

圖 19仿真電路圖

波特圖：

圖 20 Q=1時幅頻特性圖

圖 21 Q=1時相頻特性圖

各點(diǎn)波形輸出：（注：紫色：LPF濾波后波形，藍(lán)色：HPF濾波后波形，黃色：1.65V抬升后波形）

圖 22仿真波形圖

4.2.3、Q=2.5時

仿真圖：

圖 23仿真圖

波特圖：（注意：此處F=50dB）

圖 24 Q=2.5幅頻特性圖

圖 25 Q=2.5時相頻特性圖

各點(diǎn)波形輸出：（（注：紫色：LPF濾波后波形，藍(lán)色：HPF濾波后波形，黃色：1.65V抬升后波形）

圖 26仿真波形圖

從上面Q值的對比可以發(fā)現(xiàn)：Q 因子的值越低，濾波器的帶寬越寬，因此 Q 因子越高，濾波器越窄，“選擇性”越強(qiáng)。由于有源帶通濾波器（二階系統(tǒng)）的品質(zhì)因數(shù)與濾波器響應(yīng)在其中心諧振頻率（ fr ） 附近的“銳度”有關(guān)，因此它也可以被認(rèn)為是“阻尼系數(shù)”。因?yàn)闉V波器的阻尼越大，其響應(yīng)越平坦，同樣，濾波器的阻尼越小，其響應(yīng)越敏銳。

5、硬件設(shè)計(jì)

此處使用Atium Designer軟件設(shè)計(jì)原理圖和PCB，該部分硬件源文件均開源，可以直接下載附件。

5.1、原理圖設(shè)計(jì)：

由于LM358D不是軌到軌運(yùn)放，用于1.65偏置電路時無法提供0~3.3V的動態(tài)范圍，抬升電路部分先擇LMV358。此處應(yīng)當(dāng)注意兩款芯片的電壓范圍不同。從理論計(jì)算可知，修改輸入端RC可以改變?yōu)V波器的截止頻率，修改反饋端電阻會影響濾波器品質(zhì)因數(shù)Q。該部分電路結(jié)構(gòu)相同，僅需修改電路中電阻、電容參數(shù)，便可以實(shí)現(xiàn)不同的帶通效果，另外修改高通和低通的截止頻率還可以實(shí)現(xiàn)帶阻。讀者可以直接根據(jù)生產(chǎn)文件，打樣、測試，在實(shí)際的測試中探索其中的奧妙。

圖 27硬件原理圖

5.2、PCB設(shè)計(jì)：

PCB部分根據(jù)實(shí)際生產(chǎn)的需求制作了兩種拼版文件：V-cut和郵票孔，此部分可以直接使用，讀者也可以實(shí)際動手操作一遍，此處使用到高級粘貼功能，具體操作此處不再贅述沒有興趣的讀者可以自行了解，另外在做V-cut拼版時需要注意各家板廠V-cut使用鉆頭的直徑，實(shí)際拼板中需要根據(jù)V-cut鉆頭的直徑預(yù)留兩個相鄰板間的間距，此處按照默認(rèn)0.4mm設(shè)計(jì)。

5.2.1、3D效果

圖 28PCBA渲染圖

5.2.2、

郵票孔拼版效果圖：

圖 29郵票孔拼版圖

5.2.3、V-cut拼版效果圖

圖 30V-Cut拼版圖

5.3、實(shí)際測試

前一級AD620放大和濾波運(yùn)放LM358耐壓范圍較高，測試時可以使用5V正負(fù)電源供電，后一級LMV358默認(rèn)不與正5V電源相連，讀者可以將P2與正5V相連，如果使用大于正負(fù)5V的電源供電，此處可以使用另一路5V電源單獨(dú)供電。

圖 31實(shí)物圖

5.3.1、測試結(jié)果

示波器中藍(lán)色為原始輸入信號，第一級放大倍數(shù)G=20，黃色為濾波并偏置1.65V的信號。注意觀察兩個通道的刻度不同。

f=12Hz時：

圖 32 f=12Hz時的波形對比

f=20Hz時

圖 33 f=20Hz時的波形對比

f=60Hz時：

圖 34 f=60Hz時波形對比圖

注：此部分測試結(jié)果可以參見附件視頻。

至此整個論計(jì)算、設(shè)計(jì)、測試過程結(jié)束。

附錄

Matlab 繪制bode圖代碼

%有源二階模擬帶通濾波器

%LPF 傳遞函數(shù)計(jì)算 f0=35Hz C = 1uF，R = R=4.549kΩ g1=k3/(s2+k1*s1+k2)

c1 = 1e-6;

r1 = 4549;

%HPF 傳遞函數(shù)計(jì)算 f0=15Hz C = 1uF，R = R=4.549kΩ g2=k6*s2/(s2+k4*s1+k5)

c2 = 1e-6;

r2 = 10615;

for q=0.1:0.2:3

%LPF

Avp1 = 3-(1/q);

%R1 = 2*r1*Avp1/(Avp1-1);

%R2 = 2*r1*Avp1;

k1 = (3-Avp1)/(c1*r1);

k2 = 1/(c1*c1*r1*r1);

k3 = Avp1/(c1*c1*r1*r1);

num1=[k3]; %傳遞函數(shù)分子

den1=[1 k1 k2]; %傳遞函數(shù)分母式為：s2+k1s+k2

G1=tf(num1,den1);

%HPF

Avp2 = 3-(1/q);

%R1 = 2*r2*Avp2/(Avp2-1);

%R2 = 2*r2*Avp2;

k4 = (3-Avp2)/(c2*r2);

k5 = 1/(c2*c2*r2*r2);

k6 = Avp2;

num2=[k6 0 0]; %傳遞函數(shù)分子，此處為s2需要特別注意

den2=[1 k4 k5]; %傳遞函數(shù)分母格，式為：s2+k4s+k5

G2=tf(num2,den2);

p=bodeoptions;

p.FreqUnits='Hz';

p.Grid= 'on';

[num,den] = series(num1,den1,num2,den2); %計(jì)算串聯(lián)傳遞函數(shù)，串聯(lián)傳遞函數(shù)需要相乘

printsys(num,den) %顯示串聯(lián)后的總傳遞函數(shù)

hold on;

bode(num,den,p); %繪制波特圖

% hold on;

% bode(G1,p);

% hold on;

% bode(G2,p);

End

legend('0.1','0.3','0.5','0.7','0.9','1.1','1.3','1.5','1.7','1.9','2.1','2.3','2.5','2.7','2.9');

title('有源二階模擬帶通濾波器相頻特性'); %標(biāo)題

測試視頻：

https://www.zhihu.com/video/1188012220288667648https://www.zhihu.com/video/1188012458559549440

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總結(jié)

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