目錄

6.1 因素分解理論

6.2因素分解模型

6.2.1因素分解模型的選擇

6.2.2趨勢效應的提取

????????簡單中心移動平均的良好屬性

????????R語言中，使用filter函數可以做簡單移動平均

6.2.3 季節效應的提取

6.2.4? X11季節調節模型

????????X11模型分析步驟：

??????????確定性因素分解函數：

小結

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6.1 因素分解理論

1919年英國統計學家W.M.Persons（沃倫.珀森斯）在他的論文“商業環境的指標(Indices ofBusiness Conditions)“中首次提出。

• 長期趨勢(Trend)
• 循環波動(Circle)
• 季節性變化(Season)
• 隨機波動(Immediate)

四種因素的相互作用模式

• 加法模型
• 乘法模型
• 混合模型模型結構不唯一

部分改進

• 如果觀察時期不夠長，循環波動因素可能不考慮
• 交易日有顯著影響，會增加交易日因素（ Day)

新的相互作用模式

• ：偽加法模型
• ,：對數加法模型

進行確定性時序分析的目的：
一是克服其它因素的影響，單純測度出某一個確定性因素對序列的影響。
二是推斷出各種確定性因素彼此之間的相互作用關系及它們對序列的綜合影響。

6.2因素分解模型

6.2.1因素分解模型的選擇

例6-1?澳大利亞政府1981——1990年每季度的消費支出序列?

a<-read.table('D:/桌面/6_1.csv',sep=',',header=T) x<-ts(b$sales,start=c(1981,1),frequency=4) plot(x)

返回：

隨著趨勢的遞增，振幅相對穩定，說明季節效應沒有受到趨勢的影響，通常選擇加法模型

例6-2??1993年——2000年的中國社會消費品零售總額序列進行定性時序分析

b<-read.table('D:/桌面/6_2.csv',sep=',',header=T) y<-ts(b$sales,start=c(1993,1),frequency=12) plot(y)

返回：

?隨著趨勢的遞增，振幅在增大，說明季節效應受到趨勢的影響,通常選擇乘法模型。

6.2.2趨勢效應的提取

• 趨勢效應的提取方法有很多，比如構建序列與時間t的線性回歸方程或曲線回歸方程，或者構建序列與歷史信息的自回歸方程，但在因素分解場合，最常用的趨勢效應提取方法是簡單中心移動平均方法。
• 移動平均方法最早于1870年由法國數學家De Forest提出。移動平均的計算公式如下

式中，稱為序列的k+f+1期移動平均函數；稱為移動平均系數或移動平均算子。

• 簡單中心移動平均

對移動平均函數增加三個約束條件——時期對稱，系數相等，系數和為1。

例如5期中心移動平均：

• 復合移動平均

如果移動平均的期數為偶數，那么通常需要進行兩次偶數期移動平均才能實現時期對稱。記作

例如：

簡單中心移動平均的良好屬性

• 簡單中心移動平均方法盡管很簡單，但是卻具有很多良好的屬性:

簡單中心移動平均能夠有效提取低階趨勢（一元一次線性趨勢或一元二次拋物線趨勢）。

簡單中心移動平均能夠實現擬合方差最小。

簡單中心移動平均能有效消除季節效應。對于有穩定季節周期的序列進行周期長度的簡單移動平均可以消除季節效應。

• 因為簡單中心移動平均具有這些良好的屬性，所以，只要選擇適當的移動平均期數就能有效消除季節效應和隨機波動的影響，有效提取序列的趨勢信息。

R語言中，使用filter函數可以做簡單移動平均

對上面例6_1做移動評價：

m4<-filter(x/4,rep(1,4)) #4期移動平均 m4_2<-filter(m4/2,rep(1,2),sides=1) #在做一個2期移動平均，賦值給最后一期 data.frame(x,m4,m4_2) #輸出結果plot(x,type='o') #繪制時序圖 lines(m4_2,col='red') #繪制4期再2期后的移動平均線，為紅色

返回：

消除趨勢：

x_t = x-m4_2 #消除季節效應趨勢 plot(x_t) #時序圖

返回：

?例6_2（續）移動評價

m12<-filter(y/12,rep(1,12)) #12期 m12_2<-filter(m12/2,rep(1,2),sides=1) #2期，賦值給最后一期 plot(y) #時序圖 lines(m12_2,col='red') #加線

返回：

例6-2續 對于乘法模型..原序列除以趨勢效應....就從原序列中剔除了趨勢效應,...剩下的就是季節效應和隨機波動

y_t = y/m12_2 #消除季節效應趨勢 plot(y_t) #時序圖

返回：

6.2.3 季節效應的提取

一、加法模型季節效應的提取步驟

例6_1（續）

x_t<-matrix(x_t,ncol=4,byrow=T) #構造矩陣 m<-mean(x_t,na.rm=T) #均值 ， na.rm=T 刪除空值再求均值 ms<-0 #定義一個空值 for(k in 1:4)ms[k]=mean(x_t[,k],na.rm=T) #for循環求值 s<-ms-m # 季節指數圖 q<-1:4 plot(q,s,type='o')I<-x-m4_2-s #隨機因素干擾 plot(I) #時序圖

返回：

季節指數圖：

隨機因素干擾圖：

二、乘法季節效應的提取

乘法模型季節效應的提取步驟：

y_t<-matrix(y_t,ncol=12,byrow=T) #構造矩陣 ym<-mean(y_t,na.rm=T) for(k in 1:12)ms[k]=mean(y_t[,k],na.rm=T) ys<-yms/ym month<-1:12 plot(month,ys,type='o') #季節指數圖yI<-y/m12_2/ys #隨機因素干擾 plot(yI) #時序圖

返回：

季節指數圖：

隨機因素干擾圖：

6.2.4? X11季節調節模型

背景介紹：

• X11模型也稱為X11季節調節模型。它是第二次世界大戰之后，美國人口普查局委托統計學家進行的基于計算機自動進行的時間序列因素分解方法。構造它的目的是因為很多序列通常具有明顯的季節效應，季節性會掩蓋序列發展的真正趨勢，妨礙人們做出正確判斷。因此在進行國情監控研究時，首先需要對序列進行因素分解，分別監控季節性波動和趨勢效應。
• 1954年，第一個基于計算機自動完成的因素分解程序測試版本面世，隨后經過10多年的發展，計算方法不斷完善，陸續推出了新的測試版本X-1，X-2，-----，X10。
• 1965年，出統計學家Shiskin，Young和Musgrave共同研發推出了新的測試版本X11。X11在傳統的簡單移動平均方法的基礎上，又創造性地引入兩種移動平均方法以補足簡單移動平均方法的不足。它通過三種移動平均方法，進行三階段的因素分解。大量的實踐應用證明，對各種特征的序列，X11模型都能進行精度很高的、計算機程序化操作的因素分解。自此，X11模型成為全球統訂機構和商業機構進行因素分解時最常使用模型。
• 1975年，加拿大統計局將ARIMA模型引入X11模型。借助ARIMA模型可以對序列進行向后預測擴允數據，以保證擬合數據的完整性，彌補了中心移動平均方法的缺陷。
• 1998年，美國人口普查局開發了X12-ARIMA模型。這次是將干預分析（我們將在第八章介紹干預分析）引入X11模型。它是在進行X11分析之前，將一些特殊因素作為干預變量引入研究。這些干預變量包括:特殊節假日、固定季節因素、工作日因素、交易門因素、閏年因素，以及研究人員自行定義的任意白變量。
• 2006年美國人П普查局再次推出更新版本X13-ARIMA-Seats，它是在X12的基礎上，增加了seats季節調整方法。
• 由這個改進過程我們可以看到，盡管現在有很多因素分解模型的最新版本，但最重要的理論基礎依然是X11模型。所以我們主要介紹X11模型的理論基礎和操作流程。

一、Henderson加權移動平均

• 簡單移動平均具有很多優良的屬性，這使得它成為實務中應用最廣的一種移動平均方法，但它也有不足之處。在提取趨勢信息的時候，它能很好地提取一次函數（線性趨勢）和二次函數（拋物線趨勢）的信息，但是對于二次以上曲線，它對趨勢信息的提取就不夠充分了。
• 這說明簡單移動平均對高階多項式函數的擬合是不夠精確的。為了解決這個問題，X11模型引入了Henderson加權移動平均。?
• 在，且的約束下，是的下式達到最小的系數即為Henderson加權移動平均系數

其中S等于移動平均系數的三階差分的平方和，這等價于把某個三次多項式作為光滑度的一個指標，要求達到最小，就是力求修勻值接近一條三次曲線。理論上也可以要求逼近更高次數的多項式曲線，比如四次或五次，這時只需要調整函數中的差分階數。但階數越高，計算越復雜，所以使用最多的還是3階差分光滑度要求。

二、Musgrave非對稱移動平均

• 前面兩種移動平均方法可以很好地消除趨勢，提取線性或非線性趨勢信息，但是它們都有一個明顯的缺點:因為是中心移動平均，假如移動平均期數為2k+1，那么序列最前面的k期和最后面的k期經過移動平均擬合后，信息就缺失了。
• 這是嚴重的信息損失，尤其是最后幾期的信息可能正是我們最關心的信息。
• 1964年，統計學家Musgrave針對這個問題構造了Musgrave非對稱移動平均方法，專門對最后k期數據進行補充平滑擬合。
• Musgrave非對稱移動平均的構造思想是:已知一組中心移動平均系數，滿足系數和為1、方差最小、光滑度最優等前提約束。現在需要另外尋找一組非中心移動平均系數，也滿足系數和為1且.它的擬合值能無限接近中心移動平均的擬合值，即對中心移動平均現有估計值做出的修正最小

?

式中，d為補充平滑的項數。

X11模型分析步驟：

第一階段迭代：

第二階段：

?確定性因素分解函數：

例6_1（續）

xfit<-decompose(x,type='additive') plot(xfit)

?返回：

觀察值序列圖，趨勢圖，季節指數圖，隨機因素干擾圖

例6_2（續）

yfit<-decompose(y,type='multiplicative') plot(yfit)

返回：

觀察值序列圖，趨勢圖，季節指數圖，隨機因素干擾圖

小結

1.因素分解

• 長期趨勢(Trend)
• 加法模型
• 循環波動(Circle)
• 乘法模型
• 季節性變化(Season)
• 隨機波動(Immediate)

2.趨勢效應提取

• 季節效應提取
• R語言確定性因素分解decompose?

總結

以上是生活随笔為你收集整理的有季节效应的非平稳序列分析之因素分解的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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