数学建模学习笔记（七）——图论最短路问题
文章目錄
- 一、綜述
- 二、圖論最短路問題
- 三、幾個簡單的作圖方法
- 四、Dijkstra（迪杰斯特拉）算法
- 五、Bellman-Ford算法
- 六、總結
一、綜述
本文主要根據圖論的基本概念，介紹圖論中常見的建模問題——最短路問題。同時，介紹了解決圖論最短路問題的兩種算法：Dijkstra（迪杰斯特拉）算法和Bellman-Ford（貝爾曼-福特）算法。
在此之前，需要具備基本的圖論知識哦~~~
二、圖論最短路問題
圖論最短路問題指的是在帶權重的圖中，求出一條從一點節點到另一個節點的路徑，使這條路徑上的權重之和最小。
三、幾個簡單的作圖方法
1.CS Academy：
https://csacademy.com/app/graph_editor/
2. Matlab：
無向圖：graph()函數
有向圖：digraph()函數
四、Dijkstra（迪杰斯特拉）算法
DijkstraDijkstraDijkstra（迪杰斯特拉）算法描述
假設未選取的節點集合未V，已選取的節點集合為S。
-除起點外，其他節點初始距離為 ∞\infty∞，起點距離為0。
-更新節點之間的距離（相鄰接的節點距離即為權值，不相鄰接的節點距離仍為 ∞\infty∞）。
-選取另一個未被選取過且距離最小的節點作為中轉點，更新距離。（原距離 + 該節點和目標節點的權值 < 目標節點的原距離，則更新目標節點的距離為前者；否則不更新）。
-重復第三步，直到到達目標節點。
下面來看一個例子：
有一個旅行者想要從 v1v1v1 節點到 v8v8v8 ，求出最短旅行路線。
解決步驟
第一步：初始化表格
| 是否已被訪問（0/1） | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 距離 | inf?\infinf | inf?\infinf | inf?\infinf | inf?\infinf | inf?\infinf | inf?\infinf | inf?\infinf | inf?\infinf | inf?\infinf |
| 父親節點 | -1 | -1 | -1 | -1 | -1 | -1 | -1 | -1 | -1 |
第二步：從 v1 節點開始
| 是否已被訪問（0/1） | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 距離 | 0 | inf?\infinf | inf?\infinf | inf?\infinf | inf?\infinf | inf?\infinf | inf?\infinf | inf?\infinf | inf?\infinf |
| 父親節點 | v1 | -1 | -1 | -1 | -1 | -1 | -1 | -1 | -1 |
第三步：更新從 v1 可到達的節點的距離
| 是否已被訪問（0/1） | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 距離 | 0 | 6 | 3 | 1 | inf?\infinf | inf?\infinf | inf?\infinf | inf?\infinf | inf?\infinf |
| 父親節點 | v1 | v1 | v1 | v1 | -1 | -1 | -1 | -1 | -1 |
第四步：取距離最小的節點 v4 作為中轉點，更新從 v4 可到達的節點標號（注意比較與原距離的大小）
| 是否已被訪問（0/1） | 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 距離 | 0 | 6 | 3 | 1 | inf?\infinf | inf?\infinf | inf?\infinf | inf?\infinf | inf?\infinf |
| 父親節點 | v1 | v1 | v1 | v1 | -1 | -1 | -1 | -1 | -1 |
第五步：更新后的結果
| 是否已被訪問（0/1） | 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 距離 | 0 | 6 | 3 | 1 | inf?\infinf | 11 | inf?\infinf | inf?\infinf | inf?\infinf |
| 父親節點 | v1 | v1 | v1 | v1 | -1 | v4 | -1 | -1 | -1 |
第六步：再取距離最小的節點 v3 作為中轉點，更新從 v3 可到達的節點標號（注意比較與原距離的大小）
| 是否已被訪問（0/1） | 1 | 0 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 距離 | 0 | 6 | 3 | 1 | inf?\infinf | 11 | inf?\infinf | inf?\infinf | inf?\infinf |
| 父親節點 | v1 | v1 | v1 | v1 | -1 | v4 | -1 | -1 | -1 |
第七步：更新后的結果（由于3 + 2（v3 到 v2 的距離）= 5 < 6，因此更新 v2 列的距離）
| 是否已被訪問（0/1） | 1 | 0 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 距離 | 0 | 5 | 3 | 1 | inf?\infinf | 11 | inf?\infinf | inf?\infinf | inf?\infinf |
| 父親節點 | v1 | v3 | v1 | v1 | -1 | v4 | -1 | -1 | -1 |
第八步：再取距離最小的節點 v2 作為中轉點，更新從 v2 可到達的節點標號（注意比較與原距離的大小）
| 是否已被訪問（0/1） | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 距離 | 0 | 5 | 3 | 1 | 6 | 11 | inf?\infinf | inf?\infinf | inf?\infinf |
| 父親節點 | v1 | v3 | v1 | v1 | v2 | v4 | -1 | -1 | -1 |
第九步：再取距離最小的節點 v5 作為中轉點，更新從 v5 可到達的節點標號（注意比較與原距離的大小）
| 是否已被訪問（0/1） | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 距離 | 0 | 5 | 3 | 1 | 6 | 11 | inf?\infinf | inf?\infinf | inf?\infinf |
| 父親節點 | v1 | v3 | v1 | v1 | v2 | v4 | -1 | -1 | -1 |
第十步：更新后的結果
| 是否已被訪問（0/1） | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 距離 | 0 | 5 | 3 | 1 | 6 | 10 | 9 | 12 | inf?\infinf |
| 父親節點 | v1 | v3 | v1 | v1 | v2 | v5 | v5 | v5 | -1 |
第十一步：再取距離最小的節點 v7 作為中轉點，更新從 v7 可到達的節點標號（注意比較與原距離的大小）
| 是否已被訪問（0/1） | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 | 0 | 0 |
| 距離 | 0 | 5 | 3 | 1 | 6 | 10 | 9 | 12 | inf?\infinf |
| 父親節點 | v1 | v3 | v1 | v1 | v2 | v5 | v5 | v5 | -1 |
第十二步：再取距離最小的節點 v6 作為中轉點，更新從 v6 可到達的節點標號（注意比較與原距離的大小）
| 是否已被訪問（0/1） | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 0 |
| 距離 | 0 | 5 | 3 | 1 | 6 | 10 | 9 | 12 | inf?\infinf |
| 父親節點 | v1 | v3 | v1 | v1 | v2 | v5 | v5 | v5 | -1 |
第十三步：再取距離最小的節點 v8 作為中轉點，更新從 v8 可到達的節點標號（注意比較與原距離的大小）
| 是否已被訪問（0/1） | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 |
| 距離 | 0 | 5 | 3 | 1 | 6 | 10 | 9 | 12 | 15 |
| 父親節點 | v1 | v3 | v1 | v1 | v2 | v5 | v5 | v5 | v8 |
第十四步：最終結果
| 是否已被訪問（0/1） | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 距離 | 0 | 5 | 3 | 1 | 6 | 10 | 9 | 12 | 15 |
| 父親節點 | v1 | v3 | v1 | v1 | v2 | v5 | v5 | v5 | v8 |
可以從終點v8倒推：v8?v5?v2?v3?v1v_8 \Leftarrow v_5 \Leftarrow v_2 \Leftarrow v_3 \Leftarrow v_1v8??v5??v2??v3??v1?，這就是最短路徑。將路徑上的權值相加可以得出，最短路徑的長度為：12（可以直接有 v8 那一列的距離得出），結果如圖：
若只考慮路徑長度，而不考慮具體路徑，還可以這樣列表：
| 0 | ∞\infty∞ | ∞\infty∞ | ∞\infty∞ | ∞\infty∞ | ∞\infty∞ | ∞\infty∞ | ∞\infty∞ | ∞\infty∞ |
| $ | 6 | 3 | 1 | ∞\infty∞ | ∞\infty∞ | ∞\infty∞ | ∞\infty∞ | ∞\infty∞ |
| $ | 6 | 3 | ∞\infty∞ | 11 | ∞\infty∞ | ∞\infty∞ | ∞\infty∞ | |
| $ | 5 | ∞\infty∞ | 11 | ∞\infty∞ | ∞\infty∞ | ∞\infty∞ | ||
| $ | 6 | 11 | ∞\infty∞ | ∞\infty∞ | ∞\infty∞ | |||
| $ | 10 | 9 | 12 | ∞\infty∞ | ||||
| $ | 10 | 9 | 12 | ∞\infty∞ | ||||
| $ | 12 | ∞\infty∞ | ||||||
| $ | 15 |
加粗的數字即為從起點到各節點的最短路徑長度。
Dijkstra（迪杰斯特拉）算法的局限
DijkstraDijkstraDijkstra（迪杰斯特拉）算法可以用于解決無向帶權圖和有向帶權圖的最短路徑問題。但是要求權重全是正數，不能使負數。為了解決帶負權重的最短路徑問題，我們可以采用 Bellman?FordBellman-FordBellman?Ford（貝爾曼-福特）算法來解決。
五、Bellman-Ford算法
貝爾曼-福特算法實際上處理的是具有負權重的有向圖（且該有向圖不能含有負權回路，因此函數負權回路的圖可以在權重的回路中不斷循環，路徑長無窮小）
貝爾曼-福特算法簡介
更新規則：如果（A與B的距離 + A列表中的距離）< （B列表中的距離），那么我們就將B列表中的距離更新為較小的距離，并將B的父親節點更新為A。
在 Matlab 中使用貝爾曼-福特算法
在 MatlabMatlabMatlab 中調用命令：[P, d] = shortestpath(G, start, end [, 'Method', algorithm])
輸入參數：{G:輸入圖對象start:起始的節點end:目標的節點[,′Method′,algorithm]:可選參數，表示計算路徑所使用的算法。默認為‘auto’輸入參數：\left\{ \begin{aligned} &G:\text{輸入圖對象} \\ &start:\text{起始的節點} \\ &end:\text{目標的節點} \\&[, 'Method', algorithm]:\text{可選參數，表示計算路徑所使用的算法。默認為‘auto’} \end{aligned}\right.輸入參數：?????????????G:輸入圖對象start:起始的節點end:目標的節點[,′Method′,algorithm]:可選參數，表示計算路徑所使用的算法。默認為‘auto’?
輸出參數：{P:最短路徑經過的節點d:最短距離輸出參數：\left\{ \begin{aligned} &P:\text{最短路徑經過的節點} \\ &d:\text{最短距離} \end{aligned} \right.輸出參數：{?P:最短路徑經過的節點d:最短距離?
可選的算法：{auto:自動選擇算法unweighted:廣度優先計算，將所有便權重視為1positive:Dijkstra算法mixed:Bellman-Ford算法可選的算法：\left\{ \begin{aligned} &auto:\text{自動選擇算法} \\ &unweighted:\text{廣度優先計算，將所有便權重視為1} \\ &positive:\text{Dijkstra算法} \\ &mixed:\text{Bellman-Ford算法} \end{aligned}\right.可選的算法：?????????????auto:自動選擇算法unweighted:廣度優先計算，將所有便權重視為1positive:Dijkstra算法mixed:Bellman-Ford算法?
六、總結
如果有什么錯誤，請一定提出哦~~~
總結
以上是生活随笔為你收集整理的数学建模学习笔记（七）——图论最短路问题的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。
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