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復習定積分（單變量）

二重積分

今日小結

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復習定積分（單變量）

在之前，先復習一下之前學習的內容。使用matlab求解定積分的步驟大概如下：

定義符號變量（syms關鍵字）

定義內聯函數（inline函數）

使用matlab內置函數進行計算定積分或者不定積分（使用int函數，具體求解定積分還是不定積分，根據參數的數量決定）

我們都知道：定積分是求解一個圖形與坐標軸圍成的面積。而今天我們需要深入理解一下：定積分是求解兩條曲線之間圍成的面積，如果只有一個公式，比如x，我們可以理解成 x-0，y=x 這個函數減去了 y=0這個常數函數，或者說，上面函數與x軸圍成的面積減去了下面函數與x軸圍成的面積（并且這個面積在x軸上方是正的，下方是負的），這樣我們就可以推廣，假設我們現在有兩條曲線，一個是sinx，一個是?,我們求在0-pi的范圍內，兩個圖形圍成的面積，容易知道，兩個圖形大概是這樣圍起來的：

PS: 上圖的代碼和講解如下

%% 目標圖像clc;clear all; % 清除原先的東西x = 0:0.01:pi; % x的范圍是0-pi，以0.01為一個小分割點細分出一個范圍y1 = sin(x); % sinxy2 = exp(x); % e^xfigure; % 弄一個figure的框體hold on; % 保持這個窗體，保證后面的內容都畫在了上面，hold off解除subplot(221); % 開辟子窗體，221:共2行2列，里面的第一個fill(x,y1,'r'); % 畫圖并填充顏色，變量是x，函數是y1，顏色是r，紅色title('y=sinx');% 設置標題，必需先fill，才能添加標題，否則會失敗subplot(222); % 開辟子窗體，222，共2行2列，里面第二個fill(x,y2,'b'); % b 藍色title('y=e^x');subplot(223); % 開辟子窗體，223，共2行2列，里面第三個fill([x, fliplr(x)],[y1,fliplr(y2)],'g');% 兩個函數直接填充顏色，每一個方括號代表一個函數的內容title('兩個函數中間的部分');hold off;

OK，那么我們就可以很容易的使用int()函數算出這樣一個定積分，代碼如下：

%% 對上面的函數進行計算定積分syms x;f = 'exp(x) - sin(x)';res_int = int(f, x, 0, pi);disp(res_int);

上面左邊是我手算結果，右邊是matlab計算結果，可見我算的還是很準的哈哈哈哈哈哈哈。

二重積分

上面復習了定積分的計算和一般概念，下面我們看二重積分，先了解下二重積分是什么吧：

二重積分的一個概念是求體積（還有其他的，比如薄片質量等，在這里先不談，先說體積的問題），那么明確概念其實就不難了，定積分求面積、二重積分求體積，那么這個體積是哪里的體積呢？

如圖，粉紅色的是z=f(x,y)的函數圖像，下面是地面的陰影部分，紅色的是邊界，這個體積就是粉色的頂部與底面陰影之間的一個曲頂柱體的體積，那這個體積怎么求呢？

在定積分中，我們把整個面積分成了無數個小面積，計算后累加，同樣的，在二重積分中，我們也采取同樣的方法，我們把這個柱體切成一個一個的小柱體，就像圖中的那個黃色柱體一樣，假設我們把整個底面分成了無數份，每一份的底面積都無限接近于0，假設這個底面積是d?，那么這個地方的高就是f(x,y)，所以這個小柱體的體積就是 f(x,y)d?，我們只需要將這些小體積全部加起來，就能得到整個曲頂柱體的體積公式了：

??

并且我們很容易發現，積分的區間其實就是底面，被積函數是曲面的公式。公式中各個符號在下圖中體現：

現在，計算一個例子給大家看，假設底面如圖所示（灰色陰影部分）：

先積分x(Y型)時區域可表示為：Dx = {(x,y)|0<=y<=1, y<=x<=1}。

先積分y(X型)時區域可表示為：Dy =?{(x,y)|0<=y<=x, 0<=x<=1}。

下面我們以X型為例，使用matlab計算曲面為 f(x,y) = xcos(y)的曲頂柱體的體積：

詳細的代碼以及注釋見下方：

%% 計算二重積分clear all;f = @(x,y)x.*cos(y); % 定義一個函數句柄，兩個變量分別是x,y% 這樣定義函數句柄時，需要在所有的運算前加一個.（表示對應元素各自計算，不按照矩陣的規則）ymax = @(x) x; % 根據0<=y<=x處，右方的y=x反解出y，res = integral2(f,0,1,0,ymax);% 計算二重積分的函數% integral2(fun, xmin, xmax, ymin, ymax)disp(res);

最后，讓我們欣賞一下這個曲面的形狀吧：

代碼如下：

%% 看一看這個曲面吧[x,y] = meshgrid(0:0.001:1, 0:0.001:1);% 設置x和y的區間，以及細分程度z = (x.*cos(y)); % 使用一個z來代表這個函數mesh(x,y,z) % 畫出二維曲面圖像title('x*cos(y)')

那么，今天就先到這里吧，三重積分留到下次在講解，謝謝觀看！

今日小結

今天我們學到了如下的知識：

復習了之前學習的定積分、不定積分的內容

學習了二重積分的概念，以及應用的大概場景：求曲頂柱體體積，平面薄片質量（底面換位薄片，被積函數即薄片面密度的函數）等。

學會了如何在一個figure里面繪制多個圖像

學會了如何在matlab中繪制圖像、對目標區域填充顏色并命名標題

學會了怎么使用matlab的integral2計算二重積分

學會了怎么在matlab中聲明（定義）一個函數句柄，或者說創建一個多元函數，以及怎么反解一個函數中某個變量（y = @(x) x? ，此處函數是y=x），其實說白了，反解函數就是定義函數句柄。

學會了怎么在matlab中繪制二維曲面的圖像。

總結

以上是生活随笔為你收集整理的MATLAB基础教程（9）——高级积分运算、二重积分的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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