GM(1, 1) 原理介紹
設(shè) $x^{(0)}=(x^{(0)}(1),x^{(0)}(2),?,x^{(0)}(n))$ 是最初的非負(fù)數(shù)據(jù)序列 （灰色預(yù)測(cè)模型處理的數(shù)據(jù)一定要是非負(fù)的），對(duì)其進(jìn)行一次累加得到新的生成數(shù)據(jù)列 $x^{(1)}$ ：$$x^{(1)}=(x^{(1)}(1),x^{(1)}(2),?,x^{(1)}(n))$$ 其中，$x^{(1)}(m)={\sum }_{i=1}^m{x}^{(0)}(i),m=1,2,?,n$

令 $z^{(1)}$ 為數(shù)列 $x^{(1)}$ 的緊鄰均值生成數(shù)列，即

$z^{(1)}=(z^{(1)}(2),z^{(1)}(3),?,z^{(1)}(n))$ ，

其中 $z^{(1)}(m)=\delta x^{(1)}(m)+(1?\delta )x^{(1)}(m?1),m=2,3,?,n$，并且 $\delta =0.5$

稱方程 $x^{(0)}(k)+a{z}^{(1)}(k)=b$ 為 GM(1, 1) 模型的基本形式 $(k=2,3,?,n)$。其中，$b$ 表示灰作用量，$?a$ 表示發(fā)展系數(shù)

可以將其看作 $y=kx+b$ ，從而利用多元回歸中的 OLS 方法可以得到 $\hat{a}$ 和 $\hat{b}$ ，因此 $x^{(0)}(k)=?\hat{a}{z}^{(1)}(k)+\hat{b},(k=2,3,?,n)$ $$x^{(0)}(k)=?\hat{a}{z}^{(1)}(k)+\hat{b}?x^{(1)}(k)?x^{(1)}(k?1)=?\hat{a}{z}^{(1)}(k)+\hat{b}$$ 又因?yàn)?span id="ozvdkddzhkzd" class="katex--display">$$x^{(1)}(k)?x^{(1)}(k?1)={\int }_{k?1}^k\frac{d{x}^{(1)}(t)}{dt}dt$$ $$z^{(1)}(k)=\frac{x^{(1)}(k)+x^{(1)}(k?1)}{2}\approx {\int }_{k?1}^k{x}^{(1)}dt$$ 因此，$$\begin{gathered} {\int }_{k?1}^k\frac{d{x}^{(1)}(t)}{dt}dt\approx ?\hat{a}{\int }_{k?1}^k{x}^{(1)}(t)dt+{\int }_{k?1}^k\hat{b}dt \\ ={\int }_{k?1}^k[?\hat{a}{x}^{(1)}(t)+\hat{b}] \end{gathered}$$，便可以的帶微分方程：$\frac{d{x}^{(1)}(t)}{dt}=?\hat{a}{x}^{(1)}(t)+\hat{b}$，這就是 GM(1, 1) 模型的白化方程

取初始值 ${\hat{x}}^{(1)}{|}_{t=1}=x^{(0)}(1)$，于時(shí)可以求出其對(duì)應(yīng)的解為：$${\hat{x}}^{(1)}(m+1)=[x^{(0)}(1)?\frac{\hat{b}}{\hat{a}}]e^{?\hat{a}m}+\frac{\hat{b}}{\hat{a}},m=1,2,?,n?1$$ 由于 $x^{(1)}(m)={\sum }_{i=1}m{x}^{(0)}(i),m=1,2,?,n$，因此：$$\begin{gathered} {\hat{x}}^{(0)}(m+1)={\hat{x}}^{(1)}(m+1)?{\hat{x}}^{(1)}(m) \\ =(1?e^{\hat{a}})[x^{(0)}(1)?\frac{\hat{b}}{\hat{a}}]e^{?\hat{a}m},m=1,2,?,n?1 \end{gathered}$$

殘差檢驗(yàn)
絕對(duì)殘差：$\epsilon (k)=x^{(0)}(k)?{\hat{x}}^{(0)}(k),k=2,3,?,n$

相對(duì)殘差：${\epsilon }_r(k)=\frac{|x^{(0)}(k)?{\hat{x}}^{(0)}(k)|}{x^{(0)}(k)}\times 100\%,k=2,3,?,n$

平均相對(duì)殘差：${\bar{\epsilon }}_r=\frac{1}{n?1}{\sum }_{k=2}^n|{\epsilon }_r(k)|$

如果 ${\bar{\epsilon }}_r<20\%$ ，則認(rèn)為 GM(1, 1) 對(duì)原數(shù)據(jù)的擬合達(dá)到一般要求。
如果 ${\bar{\epsilon }}_r<10\%$ ，則認(rèn)為 GM(1, 1) 對(duì)原數(shù)據(jù)的擬合效果非常不錯(cuò)。

級(jí)比偏差檢驗(yàn)
首先由 $x^{(0)}(k?1)$ 和 $x^{(0)}(k)$ 計(jì)算出原始數(shù)據(jù)的級(jí)比 $\sigma (k)$：$$\sigma (k)=\frac{x^{(0)}(k)}{x^{(0)}(k?1)}(k=2,3,?,n)$$ 再根據(jù)預(yù)測(cè)出來的發(fā)展系數(shù) $?\hat{a}$ 計(jì)算出相應(yīng)的級(jí)比偏差和平均級(jí)比偏差：$$\eta (k)=|1?\frac{1?0.5\hat{a}}{1+0.5\hat{a}}\frac{1}{\sigma (k)}|,\bar{\eta }=\sum _{k=2}^n\frac{\eta (k)}{(n?1)}$$ 如果 $\bar{\eta }<0.2$，則認(rèn)為GM(1, 1) 對(duì)原數(shù)據(jù)的擬合達(dá)到一般要求。
如果 $\bar{\eta }<0.1$，則認(rèn)為 GM(1, 1) 對(duì)原數(shù)據(jù)的擬合效果非常不錯(cuò)。

新信息GM(1, 1)模型
設(shè) $x^{(0)}(n+1)$ 為最新信息，將 $x^{(0)}(n+1)$ 置入 X^{(0)}，稱用 $X^{(0)}=(x^{(0)}(1),x^{(0)}(2),?,x^{(0)}(n+1))$ 建立的模型為新信息GM(1, 1)模型。

簡(jiǎn)單來說，新信息GM(1, 1)模型就是將預(yù)測(cè)后的數(shù)據(jù)加入到原始數(shù)據(jù)序列中構(gòu)成一個(gè)新的數(shù)據(jù)序列，然后利用這個(gè)新的數(shù)據(jù)序列來對(duì)后面的期數(shù)進(jìn)行預(yù)測(cè)。

新陳代謝GM(1, 1)模型
置入最新信息 $x^{(0)}(n+1)$，去掉最老信息 $x^{(0)}(1)$，稱用 $X^{(0)}=(x^{(0)}(2),?,x^{(0)}(n),x^{(0)}(n+1))$ 建立的模型為新陳代謝GM(1, 1)模型

同樣，新陳代謝GM(1, 1)模型就是將預(yù)測(cè)后的新數(shù)據(jù)加入到原始數(shù)據(jù)序列中，然后刪除最原始的哪個(gè)數(shù)據(jù)，從而構(gòu)成一個(gè)新的數(shù)據(jù)序列。再利用這個(gè)新的數(shù)據(jù)序列對(duì)后面的期數(shù)進(jìn)行預(yù)測(cè)。