當前位置：首頁 > 编程资源 > 编程问答 >内容正文

编程问答

数学建模学习笔记（二）——Topsis优劣解距离法

發布時間：2025/3/15 编程问答 22 豆豆

生活随笔收集整理的這篇文章主要介紹了数学建模学习笔记（二）——Topsis优劣解距离法小編覺得挺不錯的,現在分享給大家,幫大家做個參考.

（續上篇文章）層次分析法的局限

上一篇文章中，層次分析法有這樣的局限

評價決策層不能太多；

數據是已知的的話，便無法使用層次分析法進行精確的分析評價；

因此，為對這些情況做出更為精準的分析，我們可以使用Topsis優劣解距離法。

Topsis優劣解距離法介紹

Topsis優劣解距離法是一種綜合評價方法，主要優點是能夠充分利用原始數據來進行分析。

主要步驟為：

將原始數據正向化

將正向化矩陣進行標準化（消除量綱的影響）

計算樣本數據與最大值、最小值的距離

根據公式，利用距離計算未歸一化的得分

最后進行排序即可

正向化簡介

指標名稱指標特點實例

極大型指標	數據越大越好	成績、水體氧氣含量……
極小型指標	數據越小越好	細菌含量、水體富營養化程度……
中間型指標	數據越靠近一個中間的值越好	PH值……
區間型指標	數據在一個區間中最好	人體體溫、水體植物量

在Topsis第一步中，我們需要將數據進行正向化處理，一般的處理模式都是將其他類型指標轉化為極大型指標。下面敘述轉化方法：

極小型指標

→\rightarrow

極大型指標

轉 化 公 式 為 ： m a x ? x

同時，如果所有數據都是正數（注意正數不包含0哦~~）也可以使用公式

1x\frac{1}{x}

，但主要推薦使用

m a x ? x

來轉化。
（正向化公式不唯一，如果有更好的公式，歡迎告訴我，我會持續更新hhh）

中間型指標

→\rightarrow

極大型指標
中間型指標一般會有一個最佳數值，記為

x_{best}

，設 {

x_i

} 是中間型指標序列，那么正向化公式為：

M=max∣xi?xbest∣xi^=1?∣xi?xbest∣MM = max{|x_i - x_{best}|} \\ \hat{x_i} = 1 - \frac{|x_i - x_{best}|}{M}

例如：對于PH值的正向化(

x_{best}=7, max=3

)

PHPH（正向化后）

1	$1?63=?11-\frac{6}{3}=-1$
6	$1?13=231-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}$
8	$1?13=231-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}$
10	$1?33=01-\frac{3}{3}=0$

區間型指標

→\rightarrow

極大型指標
區間型指標一般也會有一個最佳區間

[a, b]

，同樣設

{x_i\}

是區間型指標序列，那么正向化公式為：

M=max{a?min{xi},max{xi?b}}xi^={1?a?xiM,a<xi,1,a≤xi≤b,1?xi?bM,xi<bM = max\{a-min\{x_i\}, max\{x_i-b\}\} \\ \\ \hat{x_i}=\left\{ \begin{aligned} & 1-\frac{a-x_i}{M}, a<x_i, \\ \\ & 1, a \leq x_i \leq b, \\ \\ & 1-\frac{x_i-b}{M}, x_i<b \end{aligned} \right.

例如對于人體體溫的轉化：

a=36, b=37, M = max\{36-35.2, 38.4-37\}=1.4

體溫提問（正向化后）

35.2	0.4286
35.8	0.8571
36.6	1
37.1	0.9286
37.8	0.4286
38.4	0

下面來看一個具體的例子

原始數據為：

姓名成績過失次數競賽次數總和

小明	89	2	2	50
小剛	60	0	4	60
小張	74	1	6	70
小李	99	3	8	80

由原始數據可知，成績指標為極大型指標，過失次數為極小型指標，競賽次數為區間型指標，總和為中間型指標。

根據上面描述的方法可以得到正向化矩陣為： $\begin{bmatrix} 89 & 1 & 0 & 0.5 \\ 60 & 3 & 1 & 1 \\ 74 & 2 & 1 & 0.5 \\ 99 & 0 & 0 & 0\\ \end{bmatrix}$ 2. 將正向化的矩陣進行標準化去除量綱的影響
$標準化公式為：zij=xij∑i=1nx02(每一個元素/其所在列的元素的平方和)標準化公式為：z_{ij} = \frac{x_{ij}}{\sqrt{\sum_{i=1}^n x_0^2}}(每一個元素 / \sqrt{\text{其所在列的元素的平方和}})$ $S=[0.54370.267300.40820.36650.80180.70710.81650.45200.53450.70710.40820.6048000]S=\begin{bmatrix} 0.5437 & 0.2673 & 0 & 0.4082 \\ 0.3665 & 0.8018 & 0.7071 & 0.8165 \\ 0.4520 & 0.5345 & 0.7071 & 0.4082 \\ 0.6048 & 0 & 0 & 0\\ \end{bmatrix}$
3. 將標準化矩陣進行歸一化

求解樣本數據與最大值和最小值的距離

定義最大值 $Z+=(max{z11,z21,?,zn1},max{z12,z22,?,zn2},?,max{z1m,z2m,?,znm})Z^+ = (max\{z_{11}, z_{21}, \cdots, z_{n1}\}, max\{z_{12}, z_{22}, \cdots, z_{n2}\}, \cdots, max\{z_{1m}, z_{2m}, \cdots, z_{nm}\})$
定義最小值 $Z?=(min{z11,z21},?,zn1},min{z12,z22,?,zn2},?,min{z1m,z2m,?,znm})Z^- = (min\{z_{11}, z_{21}\}, \cdots, z_{n1}\}, min\{z_{12}, z_{22}, \cdots, z_{n2}\}, \cdots, min\{z_{1m}, z_{2m}, \cdots, z_{nm}\})$

因此，第 $\cdots, n)$ 個評價對象與最大值的距離 $Di+=∑j=1m(Zj+?zij)2D_i^+ = \sqrt{\sum_{j=1}^{m}(Z_j^+-z_{ij})^2}$
第 $\cdots, n)$ 個評價對象與最小值的距離 $Di?=∑j=1m(Zj??zij)2D_i^- = \sqrt{\sum_{j=1}^{m}(Z_j^- - z_{ij})^2}$
那么，我們可以計算出第 $\cdots, n)$ 個評價對象未歸一化的得分： $Si=Di?Di++Di?S_i = \frac{D_i^-}{D_i^+ + D_i^-}$ ，即： $Stand_X=[0.17310.42400.32790.0751]Stand\_X=\begin{bmatrix} 0.1731\\ 0.4240\\ 0.3279\\ 0.0751\\ \end{bmatrix}$
因此可以得到最終排序結果為：

姓名排序

小剛	1
小張	2
小明	3
小李	4

總結：

Topsis優劣距離法的核心在于計算距離

z與最小值的距離z與最大值的距離+z與最小值的距離\frac{\text{z與最小值的距離}}{\text{z與最大值的距離+z與最小值的距離}}

要區別歸一化和標準化，前者是對計算結果計算比例，后者是去除量綱的影響。

模型拓展

Topsis模型還可以加入權重，因此可以將上一篇文章中的層次分析法應用于該模型中。只需要在計算距離時乘以權重即可。具體公式為： $Di+=∑j=1mωj(Zj+?zij)2Di?=∑j=1mωj(Zj??zij)2D_i^+ = \sqrt{\sum_{j=1}^{m}\omega_j(Z_j^+-z_{ij})^2} \\ D_i^- = \sqrt{\sum_{j=1}^{m}\omega_j(Z_j^--z_{ij})^2}$ ( $ωj\omega_j$ 為權重)

這就是Topsis優劣距離法的步驟。其中的數據處理可以使用 $M a t l a b$ 編程計算。如果有什么錯誤的話，煩請告知~~~

有什么建議也請告訴我哦~~~

總結

以上是生活随笔為你收集整理的数学建模学习笔记（二）——Topsis优劣解距离法的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

如果覺得生活随笔網站內容還不錯，歡迎將生活随笔推薦給好友。

上一篇：镜像安装linux选择内核版本,在Cen
下一篇：两个html页面之间通讯,面试官：前端跨