（續上篇文章）層次分析法的局限

上一篇文章中，層次分析法有這樣的局限

評價決策層不能太多；

數據是已知的的話，便無法使用層次分析法進行精確的分析評價；

因此，為對這些情況做出更為精準的分析，我們可以使用Topsis優劣解距離法。

Topsis優劣解距離法介紹

Topsis優劣解距離法是一種綜合評價方法，主要優點是能夠充分利用原始數據來進行分析。

主要步驟為：

將原始數據正向化

將正向化矩陣進行標準化（消除量綱的影響）

計算樣本數據與最大值、最小值的距離

根據公式，利用距離計算未歸一化的得分

最后進行排序即可

正向化簡介

指標名稱指標特點實例

極大型指標	數據越大越好	成績、水體氧氣含量……
極小型指標	數據越小越好	細菌含量、水體富營養化程度……
中間型指標	數據越靠近一個中間的值越好	PH值……
區間型指標	數據在一個區間中最好	人體體溫、水體植物量

在Topsis第一步中，我們需要將數據進行正向化處理，一般的處理模式都是將其他類型指標轉化為極大型指標。下面敘述轉化方法：

極小型指標 $\to$ 極大型指標
$$轉化公式為：max?x$$同時，如果所有數據都是正數（注意正數不包含0哦~~）也可以使用公式 $\frac{1}{x}$，但主要推薦使用 $max?x$ 來轉化。
（正向化公式不唯一，如果有更好的公式，歡迎告訴我，我會持續更新hhh）

中間型指標 $\to$ 極大型指標
中間型指標一般會有一個最佳數值，記為 $x_{best}$ ，設 {$x_i$} 是中間型指標序列，那么正向化公式為：$$\begin{gathered} M=max|x_i?x_{best}| \\ \widehat{x_i}=1?\frac{|x_i?x_{best}|}{M} \end{gathered}$$例如：對于PH值的正向化($x_{best}=7,max=3$)

PHPH（正向化后）

1	$1?\frac{6}{3}=?1$
6	$1?\frac{1}{3}=\frac{2}{3}$
8	$1?\frac{1}{3}=\frac{2}{3}$
10	$1?\frac{3}{3}=0$

區間型指標 $\to$ 極大型指標
區間型指標一般也會有一個最佳區間 $[a,b]$ ，同樣設 $\{x_i\}$ 是區間型指標序列，那么正向化公式為：$$\begin{gathered} M=max\{a?min\{x_i\},max\{x_i?b\}\} \\ \widehat{x_i}=?\begin{array}{rl}& 1?\frac{a?x_i}{M},a<x_i,\\ & \\ & 1,a\le x_i\le b,\\ & \\ & 1?\frac{x_i?b}{M},x_i<b\end{array} \end{gathered}$$例如對于人體體溫的轉化：
$a=36,b=37,M=max\{36?35.2,38.4?37\}=1.4$

體溫提問（正向化后）

35.2	0.4286
35.8	0.8571
36.6	1
37.1	0.9286
37.8	0.4286
38.4	0

下面來看一個具體的例子

原始數據為：

姓名成績過失次數競賽次數總和

小明	89	2	2	50
小剛	60	0	4	60
小張	74	1	6	70
小李	99	3	8	80

由原始數據可知，成績指標為極大型指標，過失次數為極小型指標，競賽次數為區間型指標，總和為中間型指標。

根據上面描述的方法可以得到正向化矩陣為：$$X=?\begin{array}{cccc}89& 1& 0& 0.5\\ 60& 3& 1& 1\\ 74& 2& 1& 0.5\\ 99& 0& 0& 0\end{array}?$$2. 將正向化的矩陣進行標準化去除量綱的影響
$$標準化公式為：z_{ij}=\frac{x_{ij}}{\sqrt{{\sum }_{i=1}^n{x}_0^2}}(每一個元素/\sqrt{\text{其所在列的元素的平方和}})$$ $$S=?\begin{array}{cccc}0.5437& 0.2673& 0& 0.4082\\ 0.3665& 0.8018& 0.7071& 0.8165\\ 0.4520& 0.5345& 0.7071& 0.4082\\ 0.6048& 0& 0& 0\end{array}?$$
3. 將標準化矩陣進行歸一化

• 求解樣本數據與最大值和最小值的距離

定義最大值 $Z^{+}=(max\{z_{11},z_{21},?,z_{n1}\},max\{z_{12},z_{22},?,z_{n2}\},?,max\{z_{1m},z_{2m},?,z_{nm}\})$
定義最小值 $Z^{?}=(min\{z_{11},z_{21}\},?,z_{n1}\},min\{z_{12},z_{22},?,z_{n2}\},?,min\{z_{1m},z_{2m},?,z_{nm}\})$

因此，第$i(i=1,2,?,n)$個評價對象與最大值的距離$D_i^{+}=\sqrt{{\sum }_{j=1}^m(Z_j^{+}?z_{ij}{)}^2}$
第$i(i=1,2,?,n)$個評價對象與最小值的距離$D_i^{?}=\sqrt{{\sum }_{j=1}^m(Z_j^{?}?z_{ij}{)}^2}$
那么，我們可以計算出第 $i(i=1,2,?,n)$ 個評價對象未歸一化的得分：$S_i=\frac{D_i^{?}}{D_i^{+}+D_i^{?}}$，即：$$Stand\_X=?\begin{array}{c}0.1731\\ 0.4240\\ 0.3279\\ 0.0751\end{array}?$$
因此可以得到最終排序結果為：

姓名排序

小剛	1
小張	2
小明	3
小李	4

總結：

Topsis優劣距離法的核心在于計算距離$\frac{\text{z與最小值的距離}}{\text{z與最大值的距離+z與最小值的距離}}$

要區別歸一化和標準化，前者是對計算結果計算比例，后者是去除量綱的影響。

模型拓展

Topsis模型還可以加入權重，因此可以將上一篇文章中的層次分析法應用于該模型中。只需要在計算距離時乘以權重即可。具體公式為：$$\begin{gathered} D_i^{+}=\sqrt{\sum _{j=1}^m{\omega }_j(Z_j^{+}?z_{ij}{)}^2} \\ {D}_i^{?}=\sqrt{\sum _{j=1}^m{\omega }_j(Z_j^{?}?z_{ij}{)}^2} \end{gathered}$$(${\omega }_j$為權重)

這就是Topsis優劣距離法的步驟。其中的數據處理可以使用$Matlab$編程計算。如果有什么錯誤的話，煩請告知~~~

有什么建議也請告訴我哦~~~

總結

以上是生活随笔為你收集整理的数学建模学习笔记（二）——Topsis优劣解距离法的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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