多元统计分析1
第一章 多元正態(tài)分布
文章目錄
§1.1 ?多元分布的基本概念
§1.1.1 ?隨機(jī)向量
§1.1.2 ?分布函數(shù)與密度函數(shù)
聯(lián)合分布函數(shù)：
聯(lián)合密度函數(shù)：
條件密度函數(shù)：
分量的獨(dú)立性：
§1.1.3? 隨機(jī)向量的數(shù)字特征
1.隨機(jī)向量的均值
2、隨機(jī)向量 的協(xié)方差陣
3、隨機(jī)向量X 和Y 的協(xié)差陣
?例題：?
4、隨機(jī)向量X 的相關(guān)陣
5.標(biāo)準(zhǔn)化
§1.1 ?多元分布的基本概念
§1.1.1 ?隨機(jī)向量
| 樣品 \?變量 | X1 | X2 | … | XP |
| 1 2 n | x11 x21 xn1 | x21 x22 xn2 | … … … | xP1 xP2 xPn |
如圖數(shù)據(jù)是同時(shí)觀測 p個(gè)指標(biāo)（即變量），又進(jìn)行了 n次觀測得到的
則樣本矩陣可用矩陣語言表示為:
?若無特別說明，所稱向量均指列向量
并且把這p個(gè)指標(biāo)表示為常用向量組成的
?稱為隨機(jī)向量。
§1.1.2 ?分布函數(shù)與密度函數(shù)
聯(lián)合分布函數(shù)：
設(shè)X=（X1,X2,?,Xp)'是一個(gè) p維隨機(jī)向量，定義 p 元函數(shù)
聯(lián)合密度函數(shù)：
如果存在一個(gè)p元非負(fù)函數(shù)F(X)=f(x1,x2,x3,?,xp),使得對一切(x1,x2,x3,?,xp)都有
則稱 f (x1,x2,?,xp) 為X的聯(lián)合密度函數(shù)。
邊際密度函數(shù)：
設(shè)??為 r?維隨機(jī)向量，為?p?r隨維機(jī)向量，且?和都是隨機(jī)向量X的部分分量，滿足
?定義 的邊際密度函數(shù)為
??定義 的邊際密度函數(shù)為
條件密度函數(shù)：
當(dāng)?X 的密度函數(shù)可以寫為?f (,) 時(shí)，定義給定?時(shí)的條件密度函數(shù)為
分量的獨(dú)立性：
設(shè)?X1,X2,? ,Xp是p個(gè)隨機(jī)變量，則?X1,X2,? ,Xp相互獨(dú)立當(dāng)且僅當(dāng)
?若?X = (X1,X2,? ,Xp)'?的聯(lián)合密度函數(shù)及其各個(gè)分量的密度函數(shù)均存在，則?X1,X2,? ,Xp相互獨(dú)立當(dāng)且僅當(dāng)
§1.1.3? 隨機(jī)向量的數(shù)字特征
1.隨機(jī)向量的均值
設(shè)有 p個(gè)分量。若存在， 定義隨機(jī)向量 ?的均值為
?是一個(gè)p維向量，稱為均值向量.
?當(dāng)A,B,C為常數(shù)矩陣時(shí)，由定義可立即推出如下性質(zhì)：
2、隨機(jī)向量 的協(xié)方差陣
?稱它為P維隨機(jī)向量X的協(xié)方差陣，簡稱為X的協(xié)方差陣。稱為X的廣義方差，它是協(xié)差陣的行列式之值。
3、隨機(jī)向量X 和Y 的協(xié)差陣
設(shè) 分別為p維和q維隨機(jī)向量，它們之間的協(xié)方差陣定義為一個(gè)p*q矩陣，其元素是，即
?例題：?
證明 ： 因?yàn)?X'AX不能直接求，所以需要如下
?將X-u看作一個(gè)整體，將u看作一個(gè)整體，并進(jìn)行計(jì)算
將上式乘出來得：
?然后再對上式進(jìn)行求期望
因?yàn)?X-u)'是1*p矩陣，A是p*p的常數(shù)矩陣，u是p*1均值向量矩陣，所以可以將Au看成一個(gè)整體=常數(shù)，再通過期望的性質(zhì)E(ax) = aE(x)可知:aE(X-u)=a[E(x)-E(u)]=a(E(x)-u)=0，所以
?所以等于求解
?然后分開求前半部分為：
?因?yàn)榈钠谕?= 它的跡
所以
?又因?yàn)檑E的性質(zhì)：tr(AB) = tr(BA)
所以
?又因?yàn)槠谕嫩E = 跡的期望
所以
?又因?yàn)槌?shù)矩陣A的期望就是它本身，
所以
?而
所以
綜上，結(jié)果證得
4、隨機(jī)向量X 的相關(guān)陣
?若隨機(jī)向量的協(xié)差陣存在,且每個(gè)分量的方差大于零，則X的相關(guān)陣定義為:
5.標(biāo)準(zhǔn)化
在數(shù)據(jù)處理時(shí)，為了克服由于指標(biāo)的量綱不同對統(tǒng)計(jì)分析結(jié)果帶來的影響，往往在使用某種統(tǒng)計(jì)分析方法之前，常需將每個(gè)指標(biāo)“標(biāo)準(zhǔn)化”，即做如下變換
總結(jié)
- 上一篇： activity 变成后台进程后被杀死_
- 下一篇： java char 空字符串_java判