多元统计分析1
第一章 多元正態分布
文章目錄
§1.1 ?多元分布的基本概念
§1.1.1 ?隨機向量
§1.1.2 ?分布函數與密度函數
聯合分布函數：
聯合密度函數：
條件密度函數：
分量的獨立性：
§1.1.3? 隨機向量的數字特征
1.隨機向量的均值
2、隨機向量 的協方差陣
3、隨機向量X 和Y 的協差陣
?例題：?
4、隨機向量X 的相關陣
5.標準化
§1.1 ?多元分布的基本概念
§1.1.1 ?隨機向量
| 樣品 \?變量 | X1 | X2 | … | XP |
| 1 2 n | x11 x21 xn1 | x21 x22 xn2 | … … … | xP1 xP2 xPn |
如圖數據是同時觀測 p個指標（即變量），又進行了 n次觀測得到的
則樣本矩陣可用矩陣語言表示為:
?若無特別說明，所稱向量均指列向量
并且把這p個指標表示為常用向量組成的
?稱為隨機向量。
§1.1.2 ?分布函數與密度函數
聯合分布函數：
設X=（X1,X2,?,Xp)'是一個 p維隨機向量，定義 p 元函數
聯合密度函數：
如果存在一個p元非負函數F(X)=f(x1,x2,x3,?,xp),使得對一切(x1,x2,x3,?,xp)都有
則稱 f (x1,x2,?,xp) 為X的聯合密度函數。
邊際密度函數：
設??為 r?維隨機向量，為?p?r隨維機向量，且?和都是隨機向量X的部分分量，滿足
?定義 的邊際密度函數為
??定義 的邊際密度函數為
條件密度函數：
當?X 的密度函數可以寫為?f (,) 時，定義給定?時的條件密度函數為
分量的獨立性：
設?X1,X2,? ,Xp是p個隨機變量，則?X1,X2,? ,Xp相互獨立當且僅當
?若?X = (X1,X2,? ,Xp)'?的聯合密度函數及其各個分量的密度函數均存在，則?X1,X2,? ,Xp相互獨立當且僅當
§1.1.3? 隨機向量的數字特征
1.隨機向量的均值
設有 p個分量。若存在， 定義隨機向量 ?的均值為
?是一個p維向量，稱為均值向量.
?當A,B,C為常數矩陣時，由定義可立即推出如下性質：
2、隨機向量 的協方差陣
?稱它為P維隨機向量X的協方差陣，簡稱為X的協方差陣。稱為X的廣義方差，它是協差陣的行列式之值。
3、隨機向量X 和Y 的協差陣
設 分別為p維和q維隨機向量，它們之間的協方差陣定義為一個p*q矩陣，其元素是，即
?例題：?
證明 ： 因為 X'AX不能直接求，所以需要如下
?將X-u看作一個整體，將u看作一個整體，并進行計算
將上式乘出來得：
?然后再對上式進行求期望
因為(X-u)'是1*p矩陣，A是p*p的常數矩陣，u是p*1均值向量矩陣，所以可以將Au看成一個整體=常數，再通過期望的性質E(ax) = aE(x)可知:aE(X-u)=a[E(x)-E(u)]=a(E(x)-u)=0，所以
?所以等于求解
?然后分開求前半部分為：
?因為的期望 = 它的跡
所以
?又因為跡的性質：tr(AB) = tr(BA)
所以
?又因為期望的跡 = 跡的期望
所以
?又因為常數矩陣A的期望就是它本身，
所以
?而
所以
綜上，結果證得
4、隨機向量X 的相關陣
?若隨機向量的協差陣存在,且每個分量的方差大于零，則X的相關陣定義為:
5.標準化
在數據處理時，為了克服由于指標的量綱不同對統計分析結果帶來的影響，往往在使用某種統計分析方法之前，常需將每個指標“標準化”，即做如下變換
總結
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