第一章 多元正態(tài)分布

文章目錄

§1.1 ?多元分布的基本概念

§1.1.1 ?隨機向量

§1.1.2 ?分布函數(shù)與密度函數(shù)

聯(lián)合分布函數(shù)：

聯(lián)合密度函數(shù)：

條件密度函數(shù)：

分量的獨立性：

§1.1.3? 隨機向量的數(shù)字特征

1.隨機向量的均值

2、隨機向量 的協(xié)方差陣

3、隨機向量X 和Y 的協(xié)差陣

?例題：?

4、隨機向量X 的相關(guān)陣

5.標(biāo)準(zhǔn)化

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§1.1 ?多元分布的基本概念

§1.1.1 ?隨機向量

樣品 \?變量	X1	X2	…	XP
1 2 n	x11 x21 xn1	x21 x22 xn2	… … …	xP1 xP2 xPn

如圖數(shù)據(jù)是同時觀測 p個指標(biāo)（即變量），又進行了 n次觀測得到的

則樣本矩陣可用矩陣語言表示為:

?若無特別說明，所稱向量均指列向量

并且把這p個指標(biāo)表示為常用向量組成的

?稱為隨機向量。

§1.1.2 ?分布函數(shù)與密度函數(shù)

聯(lián)合分布函數(shù)：

設(shè)X=（X1,X2,?,Xp)'是一個 p維隨機向量，定義 p 元函數(shù)

聯(lián)合密度函數(shù)：

如果存在一個p元非負(fù)函數(shù)F(X)=f(x1,x2,x3,?,xp),使得對一切(x1,x2,x3,?,xp)都有

則稱 f (x1,x2,?,xp) 為X的聯(lián)合密度函數(shù)。

邊際密度函數(shù)：

設(shè)??為 r?維隨機向量，為?p?r隨維機向量，且?和都是隨機向量X的部分分量，滿足

?定義 的邊際密度函數(shù)為

??定義 的邊際密度函數(shù)為

條件密度函數(shù)：

當(dāng)?X 的密度函數(shù)可以寫為?f (,) 時，定義給定?時的條件密度函數(shù)為

分量的獨立性：

設(shè)?X1,X2,? ,Xp是p個隨機變量，則?X1,X2,? ,Xp相互獨立當(dāng)且僅當(dāng)

?若?X = (X1,X2,? ,Xp)'?的聯(lián)合密度函數(shù)及其各個分量的密度函數(shù)均存在，則?X1,X2,? ,Xp相互獨立當(dāng)且僅當(dāng)

§1.1.3? 隨機向量的數(shù)字特征

1.隨機向量的均值

設(shè)有 p個分量。若存在， 定義隨機向量 ?的均值為

?是一個p維向量，稱為均值向量.

?當(dāng)A,B,C為常數(shù)矩陣時，由定義可立即推出如下性質(zhì)：

2、隨機向量 的協(xié)方差陣

?稱它為P維隨機向量X的協(xié)方差陣，簡稱為X的協(xié)方差陣。稱為X的廣義方差，它是協(xié)差陣的行列式之值。

3、隨機向量X 和Y 的協(xié)差陣

設(shè) 分別為p維和q維隨機向量，它們之間的協(xié)方差陣定義為一個p*q矩陣，其元素是，即

?例題：?

證明 ： 因為 X'AX不能直接求，所以需要如下

?將X-u看作一個整體，將u看作一個整體，并進行計算

將上式乘出來得：

?然后再對上式進行求期望

因為(X-u)'是1*p矩陣，A是p*p的常數(shù)矩陣，u是p*1均值向量矩陣，所以可以將Au看成一個整體=常數(shù)，再通過期望的性質(zhì)E(ax) = aE(x)可知:aE(X-u)=a[E(x)-E(u)]=a(E(x)-u)=0，所以

?所以等于求解

?然后分開求前半部分為：

?因為的期望 = 它的跡

所以

?又因為跡的性質(zhì)：tr(AB) = tr(BA)

所以

?又因為期望的跡 = 跡的期望

所以

?又因為常數(shù)矩陣A的期望就是它本身，

所以

?而

所以

綜上，結(jié)果證得

4、隨機向量X 的相關(guān)陣

?若隨機向量的協(xié)差陣存在,且每個分量的方差大于零，則X的相關(guān)陣定義為:

5.標(biāo)準(zhǔn)化

在數(shù)據(jù)處理時，為了克服由于指標(biāo)的量綱不同對統(tǒng)計分析結(jié)果帶來的影響，往往在使用某種統(tǒng)計分析方法之前，常需將每個指標(biāo)“標(biāo)準(zhǔn)化”，即做如下變換

總結(jié)

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