【OpenCV 例程200篇】75. Numpy 實(shí)現(xiàn)圖像傅里葉變換

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2.3 二維離散傅里葉變換（DFT）

對(duì)于二維圖像處理，通常使用 $x,y$ 表示離散的空間域坐標(biāo)變量，用 $u,v$ 表示離散的頻率域變量。二維離散傅里葉變換（DFT）和反變換（IDFT）為：

$$\begin{array}{rl}F(u,v)& =\sum _{x=0}^{M?1}\sum _{y=0}^{N?1}f(x,y)e^{?j2\pi (ux/M+vy/N)}\\ f(x,y)& =\frac{1}{MN}\sum _{u=0}^{M?1}\sum _{v=0}^{N?1}F(u,v)e^{j2\pi (ux/M+vy/N)}\end{array}$$
二維離散傅里葉變換也可以用極坐標(biāo)表示：
$$F(u,v)=R(u,v)+jI(u,v)=|F(u,v)|e^{j?(u,v)}$$
傅里葉頻譜（Fourier spectrum）為：
$$|F(u,v)|=[R^2(u,v)+I^2(u,v){]}^{1/2}$$
傅里葉相位譜（Fourier phase spectrum）為：
$$?(u,v)=arctan[I(u,v)/R(u,v)]$$
傅里葉功率譜（Fourier power spectrum）為：
$$P(u,v)=|F(u,v){|}^2=R^2(u,v)+I^2(u,v)$$

空間取樣和頻率間隔是相互對(duì)應(yīng)的，頻率域所對(duì)應(yīng)的離散變量間的間隔為：$\Delta u=1/M\Delta T，\Delta v=1/N\Delta Z$。即：頻域中樣本之間的間隔，與空間樣本之間的間隔及樣本數(shù)量的乘積成反比。

空間域?yàn)V波器和頻率域?yàn)V波器也是相互對(duì)應(yīng)的，二維卷積定理是在空間域和頻率域?yàn)V波之間建立等價(jià)關(guān)系的紐帶：
$$(f?h)(x,y)?(F?H)(u,v)$$
這表明 F 和 H 分別是 f 和 h 的傅里葉變換；f 和 h 的空間卷積的傅里葉變換，是它們的變換的乘積。

因此，計(jì)算兩個(gè)函數(shù)的空間卷積，可以直接在空間域計(jì)算，也可以在頻率域計(jì)算：先計(jì)算每個(gè)函數(shù)的傅里葉變換，再對(duì)兩個(gè)變換相乘，最后進(jìn)行傅里葉反變換轉(zhuǎn)換回空間域。

也就是說(shuō)，空間域?yàn)V波器和頻率域?yàn)V波器實(shí)際上是相互對(duì)應(yīng)的，有些空間域?yàn)V波器在頻率域通過(guò)傅里葉變換實(shí)現(xiàn)會(huì)更方便、更快速。

2.4 Numpy 實(shí)現(xiàn)圖像傅里葉變換

Numpy 中的 np.fft.fft2() 函數(shù)可以實(shí)現(xiàn)圖像的傅里葉變換 。

函數(shù)說(shuō)明：

numpy.fft.fft2(a, s=None, axes=(- 2, - 1), norm=None) → out

參數(shù)說(shuō)明：

• a：輸入數(shù)組，一維或多維數(shù)組，可以是復(fù)數(shù)形式
• s：輸出數(shù)組的形狀（每個(gè)變換軸的長(zhǎng)度），對(duì)應(yīng)于 fft(x,n) 中的 n，可選項(xiàng)
• out：輸出數(shù)組，復(fù)數(shù)形式的一維或多維數(shù)組（complex ndarray）

注意事項(xiàng)：

用于二維圖像傅里葉變換時(shí)，輸入數(shù)組 a 是 numpy 二維數(shù)組（灰度圖像）或三維數(shù)組（彩色圖像）。

輸出結(jié)果是復(fù)數(shù)形式 $(Real+j?Imag)$ 的數(shù)組，不能直接用于顯示圖像。為了顯示傅里葉變換結(jié)果的圖像，需要將數(shù)組的值調(diào)整到 [0,255] 的灰度空間內(nèi)。

經(jīng)過(guò) np.fft.fft2() 函數(shù)實(shí)現(xiàn)傅里葉變換得到的圖片頻譜信息，幅度譜的最大值（低頻分量）在左上角 (0,0) 處。為了便于觀察，通常用 np.fft.fftshift() 函數(shù)將低頻分量移動(dòng)到頻域圖像的中心位置。

函數(shù)說(shuō)明：

numpy.fft.fftshift(x, axes=None) → y

參數(shù)說(shuō)明：

• x：輸入數(shù)組，一維或多維數(shù)組
• axes：整數(shù)，或輸入數(shù)組形狀的元組，用于指定移動(dòng)的軸，可選項(xiàng)
• y：輸出數(shù)組

例程 8.10：二維圖像的離散傅里葉變換（Numpy）

# 8.10：Numpy 實(shí)現(xiàn)二維離散傅里葉變換normalize = lambda x: (x - x.min()) / (x.max() - x.min() + 1e-6)imgGray = cv2.imread("../images/Fig0424a.tif", flags=0) # flags=0 讀取為灰度圖像# imgGray = cv2.imread("../images/imgBall.png", flags=1) # flags=0 讀取為灰度圖像# 傅里葉變換# fft = np.fft.fft2(imgGray.astype(np.float32))fft = np.fft.fft2(imgGray) # np.fft.fft2 實(shí)現(xiàn)傅里葉變換# 非中心化，計(jì)算幅度譜和相位譜ampSpectrum = np.sqrt(np.power(fft.real, 2) + np.power(fft.imag, 2)) # 幅度譜print("ampSpectrum max={}, min={}".format(ampSpectrum.max(), ampSpectrum.min()))# phase = np.arctan2(fft.imag, fft.real) # 計(jì)算相位角(弧度制)# phiSpectrum = phase / np.pi*180 # 將相位角轉(zhuǎn)換為 [-180, 180]phiSpectrum = np.angle(fft)# 中心化，將低頻分量移動(dòng)到頻域圖像的中心fftShift = np.fft.fftshift(fft) # 將低頻分量移動(dòng)到頻域圖像的中心# 中心化后的幅度譜ampSpeShift = np.sqrt(np.power(fftShift.real, 2) + np.power(fftShift.imag, 2))ampShiftNorm = np.uint8(normalize(ampSpeShift)*255) # 歸一化為 [0,255]# 幅度譜做對(duì)數(shù)變換ampSpeLog = np.log(1 + ampSpeShift) # 幅度譜做對(duì)數(shù)變換以便于顯示ampSpeLog = np.uint8(normalize(ampSpeLog)*255) # 歸一化為 [0,255]# np.fft.ifft2 實(shí)現(xiàn)圖像的逆傅里葉變換invShift = np.fft.ifftshift(fftShift) # 將低頻逆轉(zhuǎn)換回圖像四角imgIfft = np.fft.ifft2(invShift) # 逆傅里葉變換，返回值是復(fù)數(shù)數(shù)組imgRebuild = np.abs(imgIfft) # 將復(fù)數(shù)數(shù)組調(diào)整至灰度空間plt.figure(figsize=(9, 6))plt.subplot(231), plt.title("Original image"), plt.axis('off')plt.imshow(imgGray, cmap='gray')plt.subplot(232), plt.title("FFT phase spectrum"), plt.axis('off')plt.imshow(phiSpectrum, cmap='gray')plt.subplot(233), plt.title("Rebuild image with IFFT"), plt.axis('off')plt.imshow(imgRebuild, cmap='gray')plt.subplot(234), plt.title("FFT amplitude spectrum"), plt.axis('off')plt.imshow(ampSpectrum, cmap='gray')plt.subplot(235), plt.title("FFT-shift amplitude"), plt.axis('off')plt.imshow(ampSpeShift, cmap='gray')plt.subplot(236), plt.title("Log-trans of FFT amp"), plt.axis('off')plt.imshow(ampSpeLog, cmap='gray')plt.tight_layout()plt.show()

程序說(shuō)明：

圖中未中心化的幅度譜（FFT amp spe）也并不是完全黑色，在圖像的四角位置都有微小的亮區(qū)域，但是很難觀察到，這也是對(duì)幅度譜進(jìn)行中心化處理（fftShift）的原因。

（本節(jié)完）

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版權(quán)聲明：

youcans@xupt 原創(chuàng)作品，轉(zhuǎn)載必須標(biāo)注原文鏈接

Copyright 2021 youcans, XUPT

Crated：2022-1-20

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總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的【OpenCV 例程200篇】75. Numpy 实现图像傅里叶变换的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問(wèn)題。

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