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编程问答

【OpenCV 例程200篇】75. Numpy 实现图像傅里叶变换

發(fā)布時(shí)間：2025/3/15 编程问答 56 豆豆

生活随笔收集整理的這篇文章主要介紹了【OpenCV 例程200篇】75. Numpy 实现图像傅里叶变换小編覺得挺不錯(cuò)的,現(xiàn)在分享給大家,幫大家做個(gè)參考.

【OpenCV 例程200篇】75. Numpy 實(shí)現(xiàn)圖像傅里葉變換

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2.3 二維離散傅里葉變換（DFT）

對(duì)于二維圖像處理，通常使用 $x, y$ 表示離散的空間域坐標(biāo)變量，用 $u, v$ 表示離散的頻率域變量。二維離散傅里葉變換（DFT）和反變換（IDFT）為：

$F(u,v)=∑x=0M?1∑y=0N?1f(x,y)e?j2π(ux/M+vy/N)f(x,y)=1MN∑u=0M?1∑v=0N?1F(u,v)ej2π(ux/M+vy/N)\begin{aligned} F(u,v) &= \sum_{x=0}^{M-1} \sum_{y=0}^{N-1} f(x,y) e^{-j 2\pi (ux/M+vy/N)}\\ f(x,y) &= \frac{1}{MN} \sum_{u=0}^{M-1} \sum_{v=0}^{N-1} F(u,v) e^{j 2\pi (ux/M+vy/N)} \end{aligned}$
二維離散傅里葉變換也可以用極坐標(biāo)表示：
$e^{j \phi (u,v)}$
傅里葉頻譜（Fourier spectrum）為：
$F(u,v)| = [R^2(u,v) + I^2(u,v)]^{1/2}$
傅里葉相位譜（Fourier phase spectrum）為：
$?(u,v)=arctan[I(u,v)/R(u,v)]\phi (u,v) = arctan[I(u,v)/R(u,v)]$
傅里葉功率譜（Fourier power spectrum）為：
$P(u,v) = |F(u,v)|^2 = R^2(u,v) + I^2(u,v)$

空間取樣和頻率間隔是相互對(duì)應(yīng)的，頻率域所對(duì)應(yīng)的離散變量間的間隔為： $Δu=1/MΔT，Δv=1/NΔZ\Delta u = 1/M \Delta T，\Delta v = 1/N \Delta Z$ 。即：頻域中樣本之間的間隔，與空間樣本之間的間隔及樣本數(shù)量的乘積成反比。

空間域?yàn)V波器和頻率域?yàn)V波器也是相互對(duì)應(yīng)的，二維卷積定理是在空間域和頻率域?yàn)V波之間建立等價(jià)關(guān)系的紐帶：
$\star h)(x,y) \Leftrightarrow (F \cdot H)(u,v)$
這表明 F 和 H 分別是 f 和 h 的傅里葉變換；f 和 h 的空間卷積的傅里葉變換，是它們的變換的乘積。

因此，計(jì)算兩個(gè)函數(shù)的空間卷積，可以直接在空間域計(jì)算，也可以在頻率域計(jì)算：先計(jì)算每個(gè)函數(shù)的傅里葉變換，再對(duì)兩個(gè)變換相乘，最后進(jìn)行傅里葉反變換轉(zhuǎn)換回空間域。

也就是說，空間域?yàn)V波器和頻率域?yàn)V波器實(shí)際上是相互對(duì)應(yīng)的，有些空間域?yàn)V波器在頻率域通過傅里葉變換實(shí)現(xiàn)會(huì)更方便、更快速。

2.4 Numpy 實(shí)現(xiàn)圖像傅里葉變換

Numpy 中的 np.fft.fft2() 函數(shù)可以實(shí)現(xiàn)圖像的傅里葉變換。

函數(shù)說明：

numpy.fft.fft2(a, s=None, axes=(- 2, - 1), norm=None) → out

參數(shù)說明：

a：輸入數(shù)組，一維或多維數(shù)組，可以是復(fù)數(shù)形式
s：輸出數(shù)組的形狀（每個(gè)變換軸的長(zhǎng)度），對(duì)應(yīng)于 fft(x,n) 中的 n，可選項(xiàng)
out：輸出數(shù)組，復(fù)數(shù)形式的一維或多維數(shù)組（complex ndarray）

注意事項(xiàng)：

用于二維圖像傅里葉變換時(shí)，輸入數(shù)組 a 是 numpy 二維數(shù)組（灰度圖像）或三維數(shù)組（彩色圖像）。

輸出結(jié)果是復(fù)數(shù)形式

(R e a l + j ? I m a g)

的數(shù)組，不能直接用于顯示圖像。為了顯示傅里葉變換結(jié)果的圖像，需要將數(shù)組的值調(diào)整到 [0,255] 的灰度空間內(nèi)。

經(jīng)過 np.fft.fft2() 函數(shù)實(shí)現(xiàn)傅里葉變換得到的圖片頻譜信息，幅度譜的最大值（低頻分量）在左上角 (0,0) 處。為了便于觀察，通常用 np.fft.fftshift() 函數(shù)將低頻分量移動(dòng)到頻域圖像的中心位置。

函數(shù)說明：

numpy.fft.fftshift(x, axes=None) → y

參數(shù)說明：

x：輸入數(shù)組，一維或多維數(shù)組
axes：整數(shù)，或輸入數(shù)組形狀的元組，用于指定移動(dòng)的軸，可選項(xiàng)
y：輸出數(shù)組

例程 8.10：二維圖像的離散傅里葉變換（Numpy）

# 8.10：Numpy 實(shí)現(xiàn)二維離散傅里葉變換normalize = lambda x: (x - x.min()) / (x.max() - x.min() + 1e-6)imgGray = cv2.imread("../images/Fig0424a.tif", flags=0) # flags=0 讀取為灰度圖像# imgGray = cv2.imread("../images/imgBall.png", flags=1) # flags=0 讀取為灰度圖像# 傅里葉變換# fft = np.fft.fft2(imgGray.astype(np.float32))fft = np.fft.fft2(imgGray) # np.fft.fft2 實(shí)現(xiàn)傅里葉變換# 非中心化，計(jì)算幅度譜和相位譜ampSpectrum = np.sqrt(np.power(fft.real, 2) + np.power(fft.imag, 2)) # 幅度譜print("ampSpectrum max={}, min={}".format(ampSpectrum.max(), ampSpectrum.min()))# phase = np.arctan2(fft.imag, fft.real) # 計(jì)算相位角(弧度制)# phiSpectrum = phase / np.pi*180 # 將相位角轉(zhuǎn)換為 [-180, 180]phiSpectrum = np.angle(fft)# 中心化，將低頻分量移動(dòng)到頻域圖像的中心fftShift = np.fft.fftshift(fft) # 將低頻分量移動(dòng)到頻域圖像的中心# 中心化后的幅度譜ampSpeShift = np.sqrt(np.power(fftShift.real, 2) + np.power(fftShift.imag, 2))ampShiftNorm = np.uint8(normalize(ampSpeShift)*255) # 歸一化為 [0,255]# 幅度譜做對(duì)數(shù)變換ampSpeLog = np.log(1 + ampSpeShift) # 幅度譜做對(duì)數(shù)變換以便于顯示ampSpeLog = np.uint8(normalize(ampSpeLog)*255) # 歸一化為 [0,255]# np.fft.ifft2 實(shí)現(xiàn)圖像的逆傅里葉變換invShift = np.fft.ifftshift(fftShift) # 將低頻逆轉(zhuǎn)換回圖像四角imgIfft = np.fft.ifft2(invShift) # 逆傅里葉變換，返回值是復(fù)數(shù)數(shù)組imgRebuild = np.abs(imgIfft) # 將復(fù)數(shù)數(shù)組調(diào)整至灰度空間plt.figure(figsize=(9, 6))plt.subplot(231), plt.title("Original image"), plt.axis('off')plt.imshow(imgGray, cmap='gray')plt.subplot(232), plt.title("FFT phase spectrum"), plt.axis('off')plt.imshow(phiSpectrum, cmap='gray')plt.subplot(233), plt.title("Rebuild image with IFFT"), plt.axis('off')plt.imshow(imgRebuild, cmap='gray')plt.subplot(234), plt.title("FFT amplitude spectrum"), plt.axis('off')plt.imshow(ampSpectrum, cmap='gray')plt.subplot(235), plt.title("FFT-shift amplitude"), plt.axis('off')plt.imshow(ampSpeShift, cmap='gray')plt.subplot(236), plt.title("Log-trans of FFT amp"), plt.axis('off')plt.imshow(ampSpeLog, cmap='gray')plt.tight_layout()plt.show()

程序說明：

圖中未中心化的幅度譜（FFT amp spe）也并不是完全黑色，在圖像的四角位置都有微小的亮區(qū)域，但是很難觀察到，這也是對(duì)幅度譜進(jìn)行中心化處理（fftShift）的原因。

（本節(jié)完）

版權(quán)聲明：

youcans@xupt 原創(chuàng)作品，轉(zhuǎn)載必須標(biāo)注原文鏈接

Crated：2022-1-20

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【OpenCV 例程200篇】01. 圖像的讀取（cv2.imread）
【OpenCV 例程200篇】02. 圖像的保存（cv2.imwrite）
【OpenCV 例程200篇】03. 圖像的顯示（cv2.imshow）
【OpenCV 例程200篇】04. 用 matplotlib 顯示圖像（plt.imshow）
【OpenCV 例程200篇】05. 圖像的屬性（np.shape）
【OpenCV 例程200篇】06. 像素的編輯（img.itemset）
【OpenCV 例程200篇】07. 圖像的創(chuàng)建（np.zeros）
【OpenCV 例程200篇】08. 圖像的復(fù)制（np.copy）
【OpenCV 例程200篇】09. 圖像的裁剪（cv2.selectROI）
【OpenCV 例程200篇】10. 圖像的拼接（np.hstack）
【OpenCV 例程200篇】11. 圖像通道的拆分（cv2.split）
【OpenCV 例程200篇】12. 圖像通道的合并（cv2.merge）
【OpenCV 例程200篇】13. 圖像的加法運(yùn)算（cv2.add）
【OpenCV 例程200篇】14. 圖像與標(biāo)量相加（cv2.add）
【OpenCV 例程200篇】15. 圖像的加權(quán)加法（cv2.addWeight）
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【OpenCV 例程200篇】93. 噪聲模型的直方圖
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【OpenCV 例程200篇】95. 幾何均值濾波器
【OpenCV 例程200篇】96. 諧波平均濾波器
【OpenCV 例程200篇】97. 反諧波平均濾波器
【OpenCV 例程200篇】98. 統(tǒng)計(jì)排序?yàn)V波器
【OpenCV 例程200篇】99. 修正阿爾法均值濾波器
【OpenCV 例程200篇】100. 自適應(yīng)局部降噪濾波器

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的【OpenCV 例程200篇】75. Numpy 实现图像傅里叶变换的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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