【OpenCV 例程200篇】76. OpenCV 實(shí)現(xiàn)圖像傅里葉變換

歡迎關(guān)注 『OpenCV 例程200篇』 系列，持續(xù)更新中
歡迎關(guān)注 『Python小白的OpenCV學(xué)習(xí)課』 系列，持續(xù)更新中

2.3 二維離散傅里葉變換（DFT）

對(duì)于二維圖像處理，通常使用 $x,y$ 表示離散的空間域坐標(biāo)變量，用 $u,v$ 表示離散的頻率域變量。二維離散傅里葉變換（DFT）和反變換（IDFT）為：

$$\begin{array}{rl}F(u,v)& =\sum _{x=0}^{M?1}\sum _{y=0}^{N?1}f(x,y)e^{?j2\pi (ux/M+vy/N)}\\ f(x,y)& =\frac{1}{MN}\sum _{u=0}^{M?1}\sum _{v=0}^{N?1}F(u,v)e^{j2\pi (ux/M+vy/N)}\end{array}$$
二維離散傅里葉變換也可以用極坐標(biāo)表示：
$$F(u,v)=R(u,v)+jI(u,v)=|F(u,v)|e^{j?(u,v)}$$
傅里葉頻譜（Fourier spectrum）為：
$$|F(u,v)|=[R^2(u,v)+I^2(u,v){]}^{1/2}$$
傅里葉相位譜（Fourier phase spectrum）為：
$$?(u,v)=arctan[I(u,v)/R(u,v)]$$
傅里葉功率譜（Fourier power spectrum）為：
$$P(u,v)=|F(u,v){|}^2=R^2(u,v)+I^2(u,v)$$

空間取樣和頻率間隔是相互對(duì)應(yīng)的，頻率域所對(duì)應(yīng)的離散變量間的間隔為：$\Delta u=1/M\Delta T，\Delta v=1/N\Delta Z$。即：頻域中樣本之間的間隔，與空間樣本之間的間隔及樣本數(shù)量的乘積成反比。

空間域?yàn)V波器和頻率域?yàn)V波器也是相互對(duì)應(yīng)的，二維卷積定理是在空間域和頻率域?yàn)V波之間建立等價(jià)關(guān)系的紐帶：
$$(f?h)(x,y)?(F?H)(u,v)$$
這表明 F 和 H 分別是 f 和 h 的傅里葉變換；f 和 h 的空間卷積的傅里葉變換，是它們的變換的乘積。

2.5 OpenCV 實(shí)現(xiàn)圖像傅里葉變換（cv.dft）

使用 OpenCV 中的 cv.dft() 函數(shù)也可以實(shí)現(xiàn)圖像的傅里葉變換，cv.idft() 函數(shù)實(shí)現(xiàn)圖像傅里葉逆變換。

函數(shù)說(shuō)明：

cv.dft(src[, dst[, flags[, nonzeroRows]]]) → dstcv.idft(src[, dst[, flags[, nonzeroRows]]]) → dst

參數(shù)說(shuō)明：

• src：輸入圖像，單通道灰度圖像，使用 np.float32 格式
• dst：輸出圖像，圖像大小與 src 相同，數(shù)據(jù)類(lèi)型由 flag 決定
• flag：轉(zhuǎn)換標(biāo)識(shí)符
  • cv.DFT_INVERSE：用一維或二維逆變換取代默認(rèn)的正向變換
  • cv.DFT_SCALE：縮放比例標(biāo)識(shí)，根據(jù)元素?cái)?shù)量求出縮放結(jié)果，常與DFT_INVERSE搭配使用
  • cv.DFT_ROWS: 對(duì)輸入矩陣的每行進(jìn)行正向或反向的傅里葉變換，常用于三維或高維變換等復(fù)雜操作
  • cv.DFT_COMPLEX_OUTPUT：對(duì)一維或二維實(shí)數(shù)數(shù)組進(jìn)行正向變換，默認(rèn)方法，結(jié)果是由 2個(gè)通道表示的復(fù)數(shù)陣列，第一通道是實(shí)數(shù)部分，第二通道是虛數(shù)部分
  • cv.DFT_REAL_OUTPUT：對(duì)一維或二維復(fù)數(shù)數(shù)組進(jìn)行逆變換，結(jié)果通常是一個(gè)尺寸相同的復(fù)數(shù)矩陣

注意事項(xiàng)：

輸入圖像 src 是 np.float32 格式，如圖像使用 np.uint8 格式則必須先轉(zhuǎn)換 np.float32 格式。

默認(rèn)方法 cv.DFT_COMPLEX_OUTPUT 時(shí)，輸入 src 是 np.float32 格式的單通道二維數(shù)組，輸出 dst 是 2個(gè)通道的二維數(shù)組，第一通道 dft[:,:,0] 是實(shí)數(shù)部分，第二通道 dft[:,:,1] 是虛數(shù)部分。

不能直接用于顯示圖像。可以使用 cv.magnitude() 函數(shù)將傅里葉變換的結(jié)果轉(zhuǎn)換到灰度 [0,255]。

idft(src, dst, flags) 等價(jià)于 dft(src, dst, flags=DFT_INVERSE)。

OpenCV 實(shí)現(xiàn)傅里葉變換，計(jì)算速度比 Numpy 更快。

轉(zhuǎn)換標(biāo)識(shí)符為 cv.DFT_COMPLEX_OUTPUT 時(shí)，cv.dft() 函數(shù)的輸出是 2個(gè)通道的二維數(shù)組，使用 cv.magnitude() 函數(shù)可以實(shí)現(xiàn)計(jì)算二維矢量的幅值 。

函數(shù)說(shuō)明：

cv.magnitude(x, y[, magnitude]) → dst

參數(shù)說(shuō)明：

• x：一維或多維數(shù)組，也表示復(fù)數(shù)的實(shí)部，浮點(diǎn)型
• y：一維或多維數(shù)組，也表示復(fù)數(shù)的虛部，浮點(diǎn)型，數(shù)組大小必須與 x 相同
• dst：輸出數(shù)組，數(shù)組大小和數(shù)據(jù)類(lèi)型與 x 相同，運(yùn)算公式為：

$$dst(I)=\sqrt{x(I{)}^2+y(I{)}^2}$$

傅里葉變換及相關(guān)操作的取值范圍可能不適于圖像顯示，需要進(jìn)行歸一化處理。 OpenCV 中的 cv.normalize() 函數(shù)可以實(shí)現(xiàn)圖像的歸一化。

函數(shù)說(shuō)明：

cv.normalize(src, dst[, alpha[, beta[, norm_type[, dtype[, mask]]]]]) → dst

參數(shù)說(shuō)明：

• src：輸入圖像
• dst：輸出結(jié)果，與輸入圖像同尺寸同類(lèi)型
• alpha：歸一化后的最小值，可選項(xiàng)，默認(rèn)值為0
• beta：歸一化后的最大值，可選項(xiàng)，默認(rèn)值為1
• norm_type：歸一化類(lèi)型
  • NORM_INF：Linf 范數(shù)（絕對(duì)值的最大值）
  • NORM_L1：L1 范數(shù)（絕對(duì)值的和）
  • NORM_L2：L2 范數(shù)（歐幾里德距離），默認(rèn)類(lèi)型
  • NORM_MINMAX：線性縮放，常用類(lèi)型
• dtype：可選項(xiàng)，默認(rèn)值 -1，表示輸出矩陣與輸入圖像類(lèi)型相同
• mask：掩模遮罩，可選項(xiàng)，默認(rèn)無(wú)遮罩

傅里葉變換在理論上需要 $O(MN{)}^2$ 次運(yùn)算，非常耗時(shí)；快速傅里葉變換只需要 $O(MNlog(MN))$ 次運(yùn)算就可以完成。

OpenCV 中的傅里葉變換函數(shù) cv.dft() 對(duì)于行數(shù)和列數(shù)都可以分解為 $2^p?3^q?5^r$ 的矩陣的計(jì)算性能最好。為了提高運(yùn)算性能，可以對(duì)原矩陣的右側(cè)和下方補(bǔ) 0，以滿(mǎn)足該分解條件。OpenCV 中的 cv.getOptimalDFTSize() 函數(shù)可以實(shí)現(xiàn)圖像的最優(yōu) DFT 尺寸擴(kuò)充，適用于 cv.dft() 和 np.fft.fft2()。

函數(shù)說(shuō)明：

cv.getOptimalDFTSize(versize) → retval

參數(shù)說(shuō)明：

• versize：數(shù)組大小
• retval：DFT 擴(kuò)充的最優(yōu)數(shù)組大小

例程 8.11：二維圖像的離散傅里葉變換（OpenCV）

# 8.11：OpenCV 實(shí)現(xiàn)二維圖像的離散傅里葉變換imgGray = cv2.imread("../images/Fig0424a.tif", flags=0) # flags=0 讀取為灰度圖像# cv2.dft 實(shí)現(xiàn)圖像的傅里葉變換imgFloat32 = np.float32(imgGray) # 將圖像轉(zhuǎn)換成 float32dft = cv2.dft(imgFloat32, flags=cv2.DFT_COMPLEX_OUTPUT) # 傅里葉變換dftShift = np.fft.fftshift(dft) # 將低頻分量移動(dòng)到頻域圖像的中心# 幅度譜# ampSpe = np.sqrt(np.power(dft[:,:,0], 2) + np.power(dftShift[:,:,1], 2))dftAmp = cv2.magnitude(dft[:,:,0], dft[:,:,1]) # 幅度譜，未中心化dftShiftAmp = cv2.magnitude(dftShift[:,:,0], dftShift[:,:,1]) # 幅度譜，中心化dftAmpLog = np.log(1 + dftShiftAmp) # 幅度譜對(duì)數(shù)變換，以便于顯示# 相位譜phase = np.arctan2(dftShift[:,:,1], dftShift[:,:,0]) # 計(jì)算相位角(弧度制)dftPhi = phase / np.pi*180 # 將相位角轉(zhuǎn)換為 [-180, 180]print("dftMag max={}, min={}".format(dftAmp.max(), dftAmp.min()))print("dftPhi max={}, min={}".format(dftPhi.max(), dftPhi.min()))print("dftAmpLog max={}, min={}".format(dftAmpLog.max(), dftAmpLog.min()))# cv2.idft 實(shí)現(xiàn)圖像的逆傅里葉變換invShift = np.fft.ifftshift(dftShift) # 將低頻逆轉(zhuǎn)換回圖像四角imgIdft = cv2.idft(invShift) # 逆傅里葉變換imgRebuild = cv2.magnitude(imgIdft[:,:,0], imgIdft[:,:,1]) # 重建圖像plt.figure(figsize=(9, 6))plt.subplot(231), plt.title("Original image"), plt.axis('off')plt.imshow(imgGray, cmap='gray')plt.subplot(232), plt.title("DFT Phase"), plt.axis('off')plt.imshow(dftPhi, cmap='gray')plt.subplot(233), plt.title("Rebuild image with IDFT"), plt.axis('off')plt.imshow(imgRebuild, cmap='gray')plt.subplot(234), plt.title("DFT amplitude spectrum"), plt.axis('off')plt.imshow(dftAmp, cmap='gray')plt.subplot(235), plt.title("DFT-shift amplitude"), plt.axis('off')plt.imshow(dftShiftAmp, cmap='gray')plt.subplot(236), plt.title("Log-trans of DFT amp"), plt.axis('off')plt.imshow(dftAmpLog, cmap='gray')plt.tight_layout()plt.show()

（本節(jié)完）

---

版權(quán)聲明：

youcans@xupt 原創(chuàng)作品，轉(zhuǎn)載必須標(biāo)注原文鏈接

Copyright 2021 youcans, XUPT

Crated：2022-1-20

歡迎關(guān)注 『OpenCV 例程200篇』 系列，持續(xù)更新中
歡迎關(guān)注 『Python小白的OpenCV學(xué)習(xí)課』 系列，持續(xù)更新中

【OpenCV 例程200篇】01. 圖像的讀取（cv2.imread）
【OpenCV 例程200篇】02. 圖像的保存（cv2.imwrite）
【OpenCV 例程200篇】03. 圖像的顯示（cv2.imshow）
【OpenCV 例程200篇】04. 用 matplotlib 顯示圖像（plt.imshow）
【OpenCV 例程200篇】05. 圖像的屬性（np.shape）
【OpenCV 例程200篇】06. 像素的編輯（img.itemset）
【OpenCV 例程200篇】07. 圖像的創(chuàng)建（np.zeros）
【OpenCV 例程200篇】08. 圖像的復(fù)制（np.copy）
【OpenCV 例程200篇】09. 圖像的裁剪（cv2.selectROI）
【OpenCV 例程200篇】10. 圖像的拼接（np.hstack）
【OpenCV 例程200篇】11. 圖像通道的拆分（cv2.split）
【OpenCV 例程200篇】12. 圖像通道的合并（cv2.merge）
【OpenCV 例程200篇】13. 圖像的加法運(yùn)算（cv2.add）
【OpenCV 例程200篇】14. 圖像與標(biāo)量相加（cv2.add）
【OpenCV 例程200篇】15. 圖像的加權(quán)加法（cv2.addWeight）
【OpenCV 例程200篇】16. 不同尺寸的圖像加法
【OpenCV 例程200篇】17. 兩張圖像的漸變切換
【OpenCV 例程200篇】18. 圖像的掩模加法
【OpenCV 例程200篇】19. 圖像的圓形遮罩
【OpenCV 例程200篇】20. 圖像的按位運(yùn)算
【OpenCV 例程200篇】21. 圖像的疊加
【OpenCV 例程200篇】22. 圖像添加非中文文字
【OpenCV 例程200篇】23. 圖像添加中文文字
【OpenCV 例程200篇】23. 圖像添加中文文字
【OpenCV 例程200篇】24. 圖像的仿射變換
【OpenCV 例程200篇】25. 圖像的平移
【OpenCV 例程200篇】26. 圖像的旋轉(zhuǎn)（以原點(diǎn)為中心）
【OpenCV 例程200篇】27. 圖像的旋轉(zhuǎn)（以任意點(diǎn)為中心）
【OpenCV 例程200篇】28. 圖像的旋轉(zhuǎn)（直角旋轉(zhuǎn)）
【OpenCV 例程200篇】29. 圖像的翻轉(zhuǎn)（cv2.flip）
【OpenCV 例程200篇】30. 圖像的縮放（cv2.resize）
【OpenCV 例程200篇】31. 圖像金字塔（cv2.pyrDown）
【OpenCV 例程200篇】32. 圖像的扭變（錯(cuò)切）
【OpenCV 例程200篇】33. 圖像的復(fù)合變換
【OpenCV 例程200篇】34. 圖像的投影變換
【OpenCV 例程200篇】35. 圖像的投影變換（邊界填充）
【OpenCV 例程200篇】36. 直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)的轉(zhuǎn)換
【OpenCV 例程200篇】37. 圖像的灰度化處理和二值化處理
【OpenCV 例程200篇】38. 圖像的反色變換（圖像反轉(zhuǎn)）
【OpenCV 例程200篇】39. 圖像灰度的線性變換
【OpenCV 例程200篇】40. 圖像分段線性灰度變換
【OpenCV 例程200篇】41. 圖像的灰度變換（灰度級(jí)分層）
【OpenCV 例程200篇】42. 圖像的灰度變換（比特平面分層）
【OpenCV 例程200篇】43. 圖像的灰度變換（對(duì)數(shù)變換）
【OpenCV 例程200篇】44. 圖像的灰度變換（伽馬變換）
【OpenCV 例程200篇】45. 圖像的灰度直方圖
【OpenCV 例程200篇】46. 直方圖均衡化
【OpenCV 例程200篇】47. 圖像增強(qiáng)—直方圖匹配
【OpenCV 例程200篇】48. 圖像增強(qiáng)—彩色直方圖匹配
【OpenCV 例程200篇】49. 圖像增強(qiáng)—局部直方圖處理
【OpenCV 例程200篇】50. 圖像增強(qiáng)—直方圖統(tǒng)計(jì)量圖像增強(qiáng)
【OpenCV 例程200篇】51. 圖像增強(qiáng)—直方圖反向追蹤
【OpenCV 例程200篇】52. 圖像的相關(guān)與卷積運(yùn)算
【OpenCV 例程200篇】53. Scipy 實(shí)現(xiàn)圖像二維卷積
【OpenCV 例程200篇】54. OpenCV 實(shí)現(xiàn)圖像二維卷積
【OpenCV 例程200篇】55. 可分離卷積核
【OpenCV 例程200篇】56. 低通盒式濾波器
【OpenCV 例程200篇】57. 低通高斯濾波器
【OpenCV 例程200篇】58. 非線性濾波—中值濾波
【OpenCV 例程200篇】59. 非線性濾波—雙邊濾波
【OpenCV 例程200篇】60. 非線性濾波—聯(lián)合雙邊濾波
【OpenCV 例程200篇】61. 導(dǎo)向?yàn)V波（Guided filter）
【OpenCV 例程200篇】62. 圖像銳化——鈍化掩蔽
【OpenCV 例程200篇】63. 圖像銳化——Laplacian 算子
【OpenCV 例程200篇】64. 圖像銳化——Sobel 算子
【OpenCV 例程200篇】65. 圖像銳化——Scharr 算子
【OpenCV 例程200篇】66. 圖像濾波之低通/高通/帶阻/帶通
【OpenCV 例程200篇】67. 空間域圖像增強(qiáng)的綜合應(yīng)用
【OpenCV 例程200篇】68. 空間域圖像增強(qiáng)的綜合應(yīng)用
【OpenCV 例程200篇】69. 連續(xù)非周期信號(hào)的傅立葉系數(shù)
【OpenCV 例程200篇】70. 一維連續(xù)函數(shù)的傅里葉變換
【OpenCV 例程200篇】71. 連續(xù)函數(shù)的取樣
【OpenCV 例程200篇】72. 一維離散傅里葉變換
【OpenCV 例程200篇】73. 二維連續(xù)傅里葉變換
【OpenCV 例程200篇】74. 圖像的抗混疊
【OpenCV 例程200篇】75. Numpy 實(shí)現(xiàn)圖像傅里葉變換
【OpenCV 例程200篇】76. OpenCV 實(shí)現(xiàn)圖像傅里葉變換
【OpenCV 例程200篇】77. OpenCV 實(shí)現(xiàn)快速傅里葉變換
【OpenCV 例程200篇】78. 頻率域圖像濾波基礎(chǔ)
【OpenCV 例程200篇】79. 頻率域圖像濾波的基本步驟
【OpenCV 例程200篇】80. 頻率域圖像濾波詳細(xì)步驟
【OpenCV 例程200篇】81. 頻率域高斯低通濾波器
【OpenCV 例程200篇】82. 頻率域巴特沃斯低通濾波器
【OpenCV 例程200篇】83. 頻率域低通濾波：印刷文本字符修復(fù)
【OpenCV 例程200篇】84. 由低通濾波器得到高通濾波器
【OpenCV 例程200篇】85. 頻率域高通濾波器的應(yīng)用
【OpenCV 例程200篇】86. 頻率域?yàn)V波應(yīng)用：指紋圖像處理
【OpenCV 例程200篇】87. 頻率域鈍化掩蔽
【OpenCV 例程200篇】88. 頻率域拉普拉斯高通濾波
【OpenCV 例程200篇】89. 帶阻濾波器的傳遞函數(shù)
【OpenCV 例程200篇】90. 頻率域陷波濾波器
【OpenCV 例程200篇】91. 高斯噪聲、瑞利噪聲、愛(ài)爾蘭噪聲
【OpenCV 例程200篇】92. 指數(shù)噪聲、均勻噪聲、椒鹽噪聲
【OpenCV 例程200篇】93. 噪聲模型的直方圖
【OpenCV 例程200篇】94. 算術(shù)平均濾波器
【OpenCV 例程200篇】95. 幾何均值濾波器
【OpenCV 例程200篇】96. 諧波平均濾波器
【OpenCV 例程200篇】97. 反諧波平均濾波器
【OpenCV 例程200篇】98. 統(tǒng)計(jì)排序?yàn)V波器
【OpenCV 例程200篇】99. 修正阿爾法均值濾波器
【OpenCV 例程200篇】100. 自適應(yīng)局部降噪濾波器

創(chuàng)作挑戰(zhàn)賽新人創(chuàng)作獎(jiǎng)勵(lì)來(lái)咯，堅(jiān)持創(chuàng)作打卡瓜分現(xiàn)金大獎(jiǎng)

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的【OpenCV 例程200篇】76. OpenCV 实现图像傅里叶变换的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問(wèn)題。

如果覺(jué)得生活随笔網(wǎng)站內(nèi)容還不錯(cuò)，歡迎將生活随笔推薦給好友。