1、帶有條件約束的最短路徑問(wèn)題

最短路徑問(wèn)題是圖論中求兩個(gè)頂點(diǎn)之間的最短路徑問(wèn)題，通常是求最短加權(quán)路徑。

條件最短路徑，指帶有約束條件、限制條件的最短路徑。例如，頂點(diǎn)約束，包括必經(jīng)點(diǎn)或禁止點(diǎn)的限制；邊的約束，包括必經(jīng)路段或禁止路段；還包括無(wú)權(quán)路徑長(zhǎng)度的限制，即經(jīng)過(guò)幾步到達(dá)終點(diǎn)。進(jìn)一步地，還有雙目標(biāo)限制的最短路徑問(wèn)題，求最短距離中花費(fèi)最小的路線；交通限制條件下的最短路徑問(wèn)題，需要考慮轉(zhuǎn)向限制和延誤的約束。

求解帶有限制條件的最短路徑問(wèn)題，總體來(lái)說(shuō)可以分為兩類基本方法：一類是基于不帶限制條件的最短路徑算法，對(duì)求解過(guò)程中的每一條有效路徑，都用限制條件進(jìn)行判斷，如果滿足所有限制條件則繼續(xù)，如果不滿足限制條件則放棄該路徑；另一類方法是基于具體問(wèn)題和選擇算法的特點(diǎn)，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為有約束的規(guī)劃問(wèn)題來(lái)處理。

但是，如果使用 NetworkX 求解帶有限制條件的最短路徑問(wèn)題，采用這兩類方法都會(huì)有一些困難。原因在于前文所介紹的 NetworkX 提供的 Dijkstra 算法、Bellman-Ford 算法、Floyd 算法和啟發(fā)式算法 A* 都是封裝函數(shù)，沒有提供設(shè)置約束條件的選項(xiàng)和接口，因此用戶不能把條件判斷語(yǔ)句加入這些封裝函數(shù)的程序內(nèi)部。這種問(wèn)題不僅存在于 Python 語(yǔ)言的 Network 工具包，對(duì)于其它計(jì)算機(jī)語(yǔ)言的工具包也是類似的：自己編程序費(fèi)時(shí)費(fèi)力，但可以根據(jù)需要修改和擴(kuò)展；直接調(diào)用工具包的算法函數(shù)非常方便，但不能進(jìn)行修改或擴(kuò)展。

不過(guò)，NetworkX 可以生成兩個(gè)頂點(diǎn)之間的所有簡(jiǎn)單路徑，而且可以獲得所有簡(jiǎn)單路徑的邊的列表。利用簡(jiǎn)單路徑算法，可以通過(guò)對(duì)約束條件的判斷來(lái)求解帶有頂點(diǎn)約束和邊約束的最短路徑問(wèn)題。

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2、問(wèn)題案例：螞蟻的最優(yōu)路徑分析

蟻巢有若干個(gè)儲(chǔ)藏間（圖中圓圈表示），儲(chǔ)藏間之間有路徑相連（路徑拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)如圖所示）。該圖為無(wú)向圖，路徑通行的花費(fèi)如圖中線路上的數(shù)字所示，路徑正反方向通行的花費(fèi)相同。要求從起點(diǎn) N0 到終點(diǎn) N17 的最優(yōu)路徑，并需要滿足限制條件：

• 需要盡可能以最少的花費(fèi)到達(dá)終點(diǎn)；
• 必須經(jīng)過(guò)圖中的綠色節(jié)點(diǎn)；
• 必須經(jīng)過(guò)圖中的兩段綠色路段；
• 必須避開圖中的紅色路段。

說(shuō)明：本案例出自西安郵電大學(xué)第12屆數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽賽題，本文進(jìn)行了改編。

3、NetworkX 求解帶有條件約束的最短路徑問(wèn)題

3.1 圖的創(chuàng)建和可視化

Python 例程（NetworkX）

# networkX_E3.py # Demo of shortest path with NetworkX # Copyright 2021 YouCans, XUPT # Crated：2021-05-20import matplotlib.pyplot as plt # 導(dǎo)入 Matplotlib 工具包 import networkx as nx # 導(dǎo)入 NetworkX 工具包# 問(wèn)題 1：螞蟻的最優(yōu)路徑分析（西安郵電大學(xué)第12屆數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽B題）gAnt = nx.Graph() # 創(chuàng)建：空的 無(wú)向圖 gAnt.add_weighted_edges_from([(0,1,3),(0,2,1),(0,3,1),(1,2,1),(1,4,1),(1,9,4),(2,3,1),(2,4,2),(2,5,1),(3,5,2),(3,6,2),(3,7,1),(4,5,1),(4,9,1),(5,6,1),(5,9,3),(5,10,1),(5,12,3),(6,7,1),(6,8,2),(6,12,2),(6,13,4),(6,14,3),(7,8,1),(8,14,1),(8,15,3),(9,10,1),(9,11,1),(10,11,1),(10,12,2),(11,12,1),(11,16,1),(12,13,2),(12,16,1),(13,14,1),(13,15,2),(13,16,2),(13,17,1),(14,15,1),(15,17,4),(16,17,1)]) # 向圖中添加多條賦權(quán)邊: (node1,node2,weight)pos={0:(1,8),1:(4,12),2:(4,9),3:(4,6),4:(8,11),5:(9,8), # 指定頂點(diǎn)位置6:(11,6),7:(8,4),8:(12,2),9:(12,13),10:(15,11),11:(18,13),12:(19,9),13:(22,6),14:(18,4),15:(21,2),16:(22,11),17:(28,8)} nx.draw(gAnt, pos, with_labels=True, alpha=0.8) labels = nx.get_edge_attributes(gAnt,'weight') nx.draw_networkx_edge_labels(gAnt,pos,edge_labels=labels, font_color='c') # 顯示權(quán)值 nx.draw_networkx_nodes(gAnt,pos,nodelist=[0,17],node_color='yellow') # 設(shè)置頂點(diǎn)顏色 nx.draw_networkx_nodes(gAnt,pos,nodelist=[7,12],node_color='lime') # 設(shè)置頂點(diǎn)顏色 nx.draw_networkx_edges(gAnt,pos,edgelist=[(2,4),(13,14)],edge_color='lime',width=2.5) # 設(shè)置邊的顏色 nx.draw_networkx_edges(gAnt,pos,edgelist=[(11,12)],edge_color='r',width=2.5) # 設(shè)置邊的顏色 plt.show()

運(yùn)行結(jié)果

本段程序繪制網(wǎng)絡(luò)圖，包括頂點(diǎn)、邊、邊的權(quán)值，特殊頂點(diǎn)和特殊邊的顏色設(shè)置。

程序說(shuō)明

圖的創(chuàng)建。本例使用 nx.Graph() 創(chuàng)建無(wú)向圖，然后用 gAnt.add_weighted_edges_from() 函數(shù)以列表向圖中添加多條賦權(quán)邊，每個(gè)賦權(quán)邊以元組 (node1,node2,weight) 表示。

圖的繪制。使用nx.draw()繪圖時(shí)，默認(rèn)的節(jié)點(diǎn)位置并不理想，可以使用 pos 屬性參數(shù)指定節(jié)點(diǎn)位置。pos 為字典數(shù)據(jù)類型，按 node:(x_pos,y_pos) 格式設(shè)置節(jié)點(diǎn)位置。

顯示邊的權(quán)值。使用 nx.draw_networkx_edge_labels() 可以繪制邊的屬性，本例中選擇顯示權(quán)值屬性。

設(shè)置頂點(diǎn)屬性。nx.draw_networkx_nodes() 可以設(shè)置頂點(diǎn)的屬性，例如對(duì) nodelist 列表中的節(jié)點(diǎn)設(shè)置顏色屬性 node_color。

設(shè)置邊的屬性。nx.draw_networkx_edges() 可以設(shè)置邊的屬性，例如對(duì) edgelist 列表中的邊設(shè)置線寬屬性 width 和顏色屬性 edge_color。

3.2 無(wú)限制條件的最短路徑

程序說(shuō)明

對(duì)于無(wú)限制條件的最短路徑問(wèn)題，NetworkX 提供了 Dijkstra 算法、Bellman-Ford 算法、Floyd 算法和啟發(fā)式算法 A* 的函數(shù)。

例程使用 nx.dijkstra_path() 和 nx.dijkstra_path_length() 調(diào)用 Dijkstra 算法求兩個(gè)指定頂點(diǎn)之間的最短加權(quán)路徑和最短加權(quán)路徑長(zhǎng)度。

Python 例程（NetworkX）

# 兩個(gè)指定頂點(diǎn)之間的最短加權(quán)路徑 minWPath1 = nx.dijkstra_path(gAnt, source=0, target=17) # 頂點(diǎn) 0 到 頂點(diǎn) 17 的最短加權(quán)路徑 # 兩個(gè)指定頂點(diǎn)之間的最短加權(quán)路徑的長(zhǎng)度 lMinWPath1 = nx.dijkstra_path_length(gAnt, source=0, target=17) #最短加權(quán)路徑長(zhǎng)度 print("\n問(wèn)題1: 無(wú)限制條件") print("S 到 E 的最短加權(quán)路徑: ", minWPath1) print("S 到 E 的最短加權(quán)路徑長(zhǎng)度: ", lMinWPath1)

運(yùn)行結(jié)果

問(wèn)題1: 無(wú)限制條件 S 到 E 的最短加權(quán)路徑: [0, 2, 5, 10, 11, 16, 17] S 到 E 的最短加權(quán)路徑長(zhǎng)度: 6

3.3 限制條件：禁止點(diǎn)或禁止邊

程序說(shuō)明

禁止點(diǎn)或者禁止邊的處理比較簡(jiǎn)單，從圖中刪除對(duì)應(yīng)的禁止頂點(diǎn)或禁止邊即可。當(dāng)然，在創(chuàng)建圖時(shí)就不添加這些頂點(diǎn)和邊更簡(jiǎn)單，但這樣在繪圖時(shí)也無(wú)法反映這些頂點(diǎn)和邊。

使用 remove_node(n) 刪除指定頂點(diǎn) n，remove_edge(u,v) 刪除指定的邊 (u,v)。

使用 remove_nodes_from([n1,…nk]) 刪除多個(gè)頂點(diǎn)，remove_edges_from([(u1,v1),…(uk,vk)]) 刪除多條邊。

例程中刪除的點(diǎn)和邊與案例問(wèn)題中的要求不一致，是為了示例刪除函數(shù)的使用。下同。

Python 例程

# 2. 限制條件：禁止點(diǎn)或禁止邊 # 解決方案：從圖中刪除禁止頂點(diǎn)或禁止邊 gAnt.remove_nodes_from([5]) # 通過(guò)頂點(diǎn)標(biāo)簽 5 刪除頂點(diǎn) gAnt.remove_edge(13,17) # 刪除邊 (13,17) minWPath2 = nx.dijkstra_path(gAnt, source=0, target=17) # 頂點(diǎn) 0 到 頂點(diǎn) 17 的最短加權(quán)路徑 lMinWPath2 = nx.dijkstra_path_length(gAnt, source=0, target=17) #最短加權(quán)路徑長(zhǎng)度 print("\n問(wèn)題2: 禁止點(diǎn)或禁止邊的約束") print("S 到 E 的最短加權(quán)路徑: ", minWPath2) print("S 到 E 的最短加權(quán)路徑長(zhǎng)度: ", lMinWPath2)

運(yùn)行結(jié)果

問(wèn)題2: 禁止點(diǎn)或禁止邊的約束 S 到 E 的最短加權(quán)路徑: [0, 3, 6, 12, 16, 17] S 到 E 的最短加權(quán)路徑長(zhǎng)度: 7

3.4 限制條件：一個(gè)必經(jīng)點(diǎn)

程序說(shuō)明

當(dāng)限制條件為一個(gè)必經(jīng)點(diǎn)時(shí)，可以把原問(wèn)題分解為兩個(gè)子問(wèn)題：子問(wèn)題 1 為起點(diǎn)至必經(jīng)點(diǎn)，子問(wèn)題 2 為必經(jīng)點(diǎn)至終點(diǎn)。

對(duì)兩個(gè)子問(wèn)題分別用 Dijkstra 算法求最短加權(quán)路徑和最短加權(quán)路徑長(zhǎng)度，然后進(jìn)行合并，就得到經(jīng)過(guò)必經(jīng)點(diǎn)的原問(wèn)題的最短加權(quán)路徑和最短加權(quán)路徑長(zhǎng)度。

Python 例程

# 3. 限制條件：一個(gè)必經(jīng)點(diǎn) # 解決方案：分解為兩個(gè)問(wèn)題，問(wèn)題 1 為起點(diǎn)N0至必經(jīng)點(diǎn)N6，問(wèn)題 2 為必經(jīng)點(diǎn)N6至終點(diǎn)N17 minWPath3a = nx.dijkstra_path(gAnt, source=0, target=6) # N0 到 N6 的最短加權(quán)路徑 lMinWPath3a = nx.dijkstra_path_length(gAnt, source=0, target=6) # 最短加權(quán)路徑長(zhǎng)度 minWPath3b = nx.dijkstra_path(gAnt, source=6, target=17) # N6 到 N17 的最短加權(quán)路徑 lMinWPath3b = nx.dijkstra_path_length(gAnt, source=6, target=17) # 最短加權(quán)路徑長(zhǎng)度 minWPath3a.extend(minWPath3b[1:]) # 拼接 minWPath3a、minWPath3b 并去重 N7 print("\n問(wèn)題3: 一個(gè)必經(jīng)點(diǎn)的約束") print("S 到 E 的最短加權(quán)路徑: ", minWPath3a) print("S 到 E 的最短加權(quán)路徑長(zhǎng)度: ", lMinWPath3a+lMinWPath3b)

運(yùn)行結(jié)果

問(wèn)題3: 一個(gè)必經(jīng)點(diǎn)的約束 S 到 E 的最短加權(quán)路徑: [0, 3, 6, 12, 16, 17] S 到 E 的最短加權(quán)路徑長(zhǎng)度: 7

3.5 限制條件：多個(gè)必經(jīng)點(diǎn)（方案一）

程序說(shuō)明

當(dāng)限制條件為兩個(gè)或多個(gè)必經(jīng)點(diǎn)時(shí)，起點(diǎn)、終點(diǎn)與各必經(jīng)點(diǎn)的次序并不確定，即從起點(diǎn)出發(fā)就不知道應(yīng)該先去哪一個(gè)必經(jīng)點(diǎn)，因此不宜再用分段求最小路徑的方法處理。

NetworkX 提供了 all_simple_paths() 函數(shù)，可以生成兩個(gè)頂點(diǎn)之間的所有簡(jiǎn)單路徑。利用簡(jiǎn)單路徑算法，可以通過(guò)對(duì)約束條件的判斷來(lái)求解帶有多個(gè)頂點(diǎn)約束的最短路徑問(wèn)題。

程序?qū)崿F(xiàn)的步驟包括：（1）遍歷起點(diǎn)為0、終點(diǎn)為17的簡(jiǎn)單路徑；（2）檢查路徑是否滿足包括頂點(diǎn) N7、N15 的限制條件；（3）在滿足限制條件的簡(jiǎn)單路徑中找加權(quán)長(zhǎng)度最短的路徑；（4）求最短路徑的加權(quán)路徑長(zhǎng)度。

本段例程非常簡(jiǎn)練，綜合使用了幾種 Python 語(yǔ)言循環(huán)、判斷結(jié)構(gòu)的簡(jiǎn)潔寫法，需要逐步分析。

Python 例程

# 4. 限制條件：多個(gè)必經(jīng)點(diǎn) (N7,N15) # 解決方案：遍歷從起點(diǎn)到終點(diǎn)的簡(jiǎn)單路徑，求滿足必經(jīng)點(diǎn)條件的最短路徑 minWPath4 = min([path # 返回 key 為最小值的 pathfor path in nx.all_simple_paths(gAnt, 0, 17) # gAnt 中所有起點(diǎn)為0、終點(diǎn)為17的簡(jiǎn)單路徑if all(n in path for n in (7, 15))], # 滿足路徑中包括頂點(diǎn) N7,N15key=lambda x: sum(gAnt.edges[edge]['weight'] for edge in nx.utils.pairwise(x))) # key 為加權(quán)路徑長(zhǎng)度 lenPath = sum(gAnt.edges[edge]['weight'] for edge in nx.utils.pairwise(minWPath4)) # 求指定路徑的加權(quán)路徑長(zhǎng)度 print("\n問(wèn)題4: 多個(gè)必經(jīng)點(diǎn)的約束") print("S 到 E 的最短加權(quán)路徑: ", minWPath4) print("S 到 E 的最短加權(quán)路徑長(zhǎng)度: ", lenPath)

運(yùn)行結(jié)果

問(wèn)題4: 多個(gè)必經(jīng)點(diǎn)的約束 S 到 E 的最短加權(quán)路徑: [0, 3, 7, 8, 14, 15, 13, 17] S 到 E 的最短加權(quán)路徑長(zhǎng)度: 8

3.6 限制條件：多個(gè)必經(jīng)點(diǎn)（方案二）

程序說(shuō)明

本例與 3.5 的問(wèn)題實(shí)際上是相同的。限制條件都是多個(gè)必經(jīng)頂點(diǎn) N7、N15，解決方案都是使用 all_simple_paths() 函數(shù)生成兩個(gè)頂點(diǎn)間的所有簡(jiǎn)單路徑，程序?qū)崿F(xiàn)的步驟也是類似的。

本方案按照典型的循環(huán)、判斷結(jié)構(gòu)的寫法，便于閱讀和理解。此外，如果還有其它約束條件或子任務(wù)需要在循環(huán)中處理，這樣的結(jié)構(gòu)更容易實(shí)現(xiàn)。

Python 例程

# 5. 限制條件：多個(gè)必經(jīng)點(diǎn) (N7,N15) # 解決方案：遍歷從起點(diǎn)到終點(diǎn)的簡(jiǎn)單路徑，求滿足必經(jīng)點(diǎn)條件的最短路徑 lMinWPath5 = minWPath5 = 1e9 for path in nx.all_simple_paths(gAnt, 0, 17):if all(n in path for n in (7,15)): # 滿足路徑中包括頂點(diǎn) N7,N15lenPath = sum(gAnt.edges[edge]['weight'] for edge in nx.utils.pairwise(path))if lenPath < lMinWPath5:lMinWPath5 = lenPathminWPath5 = path print("\n問(wèn)題5: 多個(gè)必經(jīng)點(diǎn)的約束") print("S 到 E 的最短加權(quán)路徑: ", minWPath5) print("S 到 E 的最短加權(quán)路徑長(zhǎng)度: ", lMinWPath5)

運(yùn)行結(jié)果

問(wèn)題5: 多個(gè)必經(jīng)點(diǎn)的約束 S 到 E 的最短加權(quán)路徑: [0, 3, 7, 8, 14, 15, 13, 17] S 到 E 的最短加權(quán)路徑長(zhǎng)度: 8

3.7 限制條件：必經(jīng)邊

程序說(shuō)明

必經(jīng)點(diǎn)的處理，實(shí)際上還可以有更好的方法，其思想是結(jié)合 Dijkstra 算法的實(shí)現(xiàn)過(guò)程， 將限制條件作為縮小搜索空間的條件，可以降低算法的復(fù)雜度。但對(duì)于多個(gè)必經(jīng)邊來(lái)說(shuō)，很難以此來(lái)改進(jìn)基礎(chǔ)的無(wú)約束算法，通常的處理方法就是在算法中增加一個(gè)判斷是否滿足約束條件的過(guò)程。

本例仍然延續(xù)處理多個(gè)必經(jīng)點(diǎn)的思路，利用簡(jiǎn)單路徑算法，可以通過(guò)對(duì)約束條件的判斷來(lái)求解帶有多個(gè)必經(jīng)邊約束條件的最短路徑問(wèn)題，可以同時(shí)處理必經(jīng)點(diǎn)約束條件。

本例程對(duì)應(yīng)案例中的各項(xiàng)約束條件： 必須經(jīng)過(guò)圖中的綠色節(jié)點(diǎn)；必須經(jīng)過(guò)圖中的兩段綠色路段；必須避開圖中的紅色路段；盡可能以最少的花費(fèi)到達(dá)終點(diǎn)。

本例程的框架和步驟同 3.6，這是一個(gè)遍歷簡(jiǎn)單路徑、判斷約束條件的通用框架。

all(n in path for n in (2,4,7,12,13,14)) 的作用，一是判斷路徑中是否包括必經(jīng)點(diǎn) N7、N12；二是判斷路徑中是否包括必經(jīng)邊 (2,4)、(13,14) 的各頂點(diǎn)，這不僅可以減小計(jì)算量，而且能確保下面使用 index() 查找頂點(diǎn)位置時(shí)不會(huì)發(fā)生錯(cuò)誤。

Python 例程

# 6. 限制條件：必經(jīng)邊 (N2,N4), (N13,N14)，必經(jīng)點(diǎn) N7,N12 # 解決方案：遍歷從起點(diǎn)到終點(diǎn)的簡(jiǎn)單路徑，求滿足必經(jīng)邊條件的最短路徑 gAnt.remove_edge(11,12) # 禁止邊 (11,12) lMinWPath6 = minWPath6 = 1e9 # 置初值 for path in nx.all_simple_paths(gAnt, 0, 17): # 所有起點(diǎn)為0、終點(diǎn)為17的簡(jiǎn)單路徑if all(n in path for n in (2,4,7,12,13,14)): # 滿足路徑中包括頂點(diǎn) N7,N12# 檢查 (N2,N4)p1 = path.index(2) # N2 的位置if (path[p1-1]!=4 and path[p1+1]!=4): continue # 判斷 N2~N4 是否相鄰# 檢查 (N13,N14)p2 = path.index(13) # # N13 的位置if (path[p2-1]!=14 and path[p2+1]!=14): continue # 判斷 N13~N14 是否相鄰lenPath = sum(gAnt.edges[edge]['weight'] for edge in nx.utils.pairwise(path))if lenPath < lMinWPath6:lMinWPath6 = lenPathminWPath6 = pathprint("\n問(wèn)題6: 多個(gè)必經(jīng)邊、必經(jīng)點(diǎn)的約束") print("S 到 E 的最短加權(quán)路徑: ", minWPath6) print("S 到 E 的最短加權(quán)路徑長(zhǎng)度: ", lMinWPath6)edgeList = [] for i in range(len(minWPath6)-1):edgeList.append((minWPath6[i],minWPath6[i+1])) nx.draw_networkx_edges(gAnt,pos,edgelist=edgeList,edge_color='m',width=4) # 設(shè)置邊的顏色 plt.show() # YouCans, XUPT

運(yùn)行結(jié)果

問(wèn)題6: 多個(gè)必經(jīng)邊、必經(jīng)點(diǎn)的約束 S 到 E 的最短加權(quán)路徑: [0, 2, 4, 5, 6, 7, 8, 14, 13, 12, 16, 17] S 到 E 的最短加權(quán)路徑長(zhǎng)度: 13

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版權(quán)說(shuō)明：

本文內(nèi)容及例程為作者原創(chuàng)，并非轉(zhuǎn)載書籍或網(wǎng)絡(luò)內(nèi)容。
本文中案例問(wèn)題來(lái)自：

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Python數(shù)模筆記-NetworkX（1）圖的操作
Python數(shù)模筆記-NetworkX（2）最短路徑
Python數(shù)模筆記-NetworkX（3）條件最短路徑
Python數(shù)模筆記-模擬退火算法（1）多變量函數(shù)優(yōu)化
Python數(shù)模筆記-模擬退火算法（2）約束條件的處理
Python數(shù)模筆記-模擬退火算法（3）整數(shù)規(guī)劃問(wèn)題
Python數(shù)模筆記-模擬退火算法（4）旅行商問(wèn)題

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的Python数模笔记-NetworkX（3）条件最短路径的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問(wèn)題。

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