【OpenCV 例程200篇】71. 連續函數的取樣

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1.2 連續函數的取樣

連續函數必須經過取樣和量化轉換為離散函數，才能用計算機進行處理。

考慮一個連續函數 $f(t)$，以自變量 t 的均勻間隔 $\Delta T$ 對函數取樣，取樣序列中的任意取樣值為：

$$f_k={\int }_{?\infty }^{+\infty }f(t)\delta (t?k\Delta T)dt=f(k\Delta T)$$

取樣后的函數的傅里葉變換為：

$$\begin{array}{rl}\tilde{F}(\mu )& =(F?S)(\mu )\\ & ={\int }_{?\infty }^{+\infty }F(\tau )S(\mu ?\tau )d\tau \\ & =\frac{1}{\Delta T}\sum _{n=?\infty }^{\infty }F(\mu ?\frac{n}{\Delta T})\end{array}$$

香農（Shannon）取樣定理指出，對于一個連續信號，用大于信號最高頻率 2倍的取樣率來取樣，則不會丟失信號的有效信息。
或者說，以 $1/\Delta T$ 的取樣率對信號取樣點的的最大頻率是 ${\mu }_{max}=1/2\Delta T$ 。

例程 8.4：連續函數的取樣

# 8.4：連續函數的取樣# 定義函數，用于計算所有基矢的頻率def gen_freq(N, fs):k = np.arange(0, np.floor(N/2) + 1, 1)return (k * fs) / NT = 100# 定義多個不同頻率的基頻信號fk = [2/T, 5/T, 12/T] # 頻率A = [7, 3, 2] # 振幅phi = [np.pi, 2, 2*np.pi] # 初始相位n = np.arange(T)s0 = A[0] * np.sin(2 * np.pi * fk[0] * n + phi[0])s1 = A[1] * np.sin(2 * np.pi * fk[1] * n + phi[1])s2 = A[2] * np.sin(2 * np.pi * fk[2] * n + phi[2])s = s0 + s1 + s2 # 疊加生成混合信號g = np.fft.rfft(s) # 傅里葉變換plt.figure(figsize=(8, 6))plt.subplot(311)plt.plot(n, s0, n, s1, n, s2, ':', marker='+', alpha=0.5)plt.plot(n, s, 'r-', lw=2)plt.title("Sampling of continuous functions")plt.subplot(312)fs = 1 # 采樣間隔為 1freq = gen_freq(T, fs=fs) # 計算頻率序列ck = np.abs(g) / T # 計算振幅plt.plot(freq, ck, '.') # 頻率-振幅圖for f in fk:ck0 = round(ck[np.where(freq==f*fs)][0], 1)plt.annotate('$({},{})$'.format(f*fs, ck0), xy=(f*fs, ck0), xytext=(5, -10), textcoords='offset points')plt.subplot(313)fs = 10 # 采樣間隔為 10freq = gen_freq(T, fs=fs) # 計算頻率序列ck = np.abs(g) / T # 計算振幅plt.plot(freq, ck, '.') # 頻率-振幅圖for f in fk:ck0 = round(ck[np.where(freq==f*fs)][0], 1)plt.annotate('$({},{})$'.format(f*fs, ck0), xy=(f*fs, ck0), xytext=(5, -10), textcoords='offset points')plt.show()

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（本節完）

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總結

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