傳染病的數(shù)學(xué)模型是數(shù)學(xué)建模中的典型問題，常見的傳染病模型有 SI、SIR、SIRS、SEIR 模型。

SI 模型是最簡單的傳染病模型，適用于只有易感者和患病者兩類人群。

我們就從 SI 模型開始吧，從模型、例程、運(yùn)行結(jié)果到模型分析，全都在這個(gè)系列中。

『Python小白的數(shù)學(xué)建模課 @ Youcans』帶你從數(shù)模小白成為國賽達(dá)人。

Python小白的數(shù)學(xué)建模課-A3.12個(gè)新冠疫情數(shù)模競賽賽題及短評(píng)
Python小白的數(shù)學(xué)建模課-B2. 新冠疫情 SI模型
Python小白的數(shù)學(xué)建模課-B3. 新冠疫情 SIS模型
Python小白的數(shù)學(xué)建模課-B4. 新冠疫情 SIR模型
Python小白的數(shù)學(xué)建模課-B5. 新冠疫情 SEIR模型
Python小白的數(shù)學(xué)建模課-B6. 新冠疫情 SEIR改進(jìn)模型

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1. 前言

新冠疫情不僅嚴(yán)重影響到全球的政治和經(jīng)濟(jì)，深刻和全面地影響著社會(huì)和生活的方方面面，也已經(jīng)成為數(shù)學(xué)建模競賽的背景帝。

傳染病的數(shù)學(xué)模型是數(shù)學(xué)建模中的典型問題，標(biāo)準(zhǔn)名稱是流行病的數(shù)學(xué)模型（Mathematical models of epidemic diseases）。建立傳染病的數(shù)學(xué)模型來描述傳染病的傳播過程，研究傳染病的傳播速度、空間范圍、傳播途徑、動(dòng)力學(xué)機(jī)理等問題，以指導(dǎo)對(duì)傳染病的有效地預(yù)防和控制，具有重要的現(xiàn)實(shí)意義。

不同類型傳染病的傳播具有不同的特點(diǎn)，傳染病的傳播模型不是從醫(yī)學(xué)角度分析傳染病的傳播過程，而是按照傳播機(jī)理建立不同的數(shù)學(xué)模型。

首先，把傳染病流行范圍內(nèi)的人群分為 S、E、I、R 四類，具體含義如下：

• S 類（Susceptible），易感者，指缺乏免疫能力的健康人，與感染者接觸后容易受到感染；

• E 類（Exposed），暴露者，指接觸過感染者但暫無傳染性的人，適用于存在潛伏期的傳染病；

• I 類（Infectious），患病者，指具有傳染性的患病者，可以傳播給 S 類成員將其變?yōu)?E 類或 I 類成員；

• R 類（Recovered），康復(fù)者，指病愈后具有免疫力的人。如果免疫期有限，仍可以重新變?yōu)?S 類成員，進(jìn)而被感染；如果是終身免疫，則不能再變?yōu)?S類、E類或 I 類成員。

常見的傳染病模型按照傳染病類型分為 SI、SIR、SIRS、SEIR 模型等，就是由以上四類人群根據(jù)不同傳染病的特征進(jìn)行組合而產(chǎn)生的不同模型。

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2. 疫情傳播 SI 模型

2.1 SI 模型的適用范圍

SI 模型適用于只有易感者和患病者兩類人群，且無法治愈的疾病，例如 T型病、僵尸。

2.2 SI 模型的假設(shè)

考察地區(qū)的總?cè)藬?shù) N 不變，即不考慮生死或遷移；

人群分為易感者（S類）和患病者（I類）兩類；

易感者（S類）與患病者（I類）有效接觸即被感染，變?yōu)榛疾≌?#xff0c;無潛伏期、無治愈情況、無免疫力；

每個(gè)患病者每天有效接觸的易感者的平均人數(shù)（日接觸數(shù)）是 $\lambda$，稱為日接觸率；

將第 t 天時(shí) S類、I 類人群的占比記為 $s(t)$、$i(t)$，數(shù)量為 $S(t)$、$I(t)$；初始日期 $t=0$ 時(shí)， S類、I 類人群占比的初值為 $s_0$、$i_0$。

2.3 SI 模型的微分方程

由
$$N\frac{di}{dt}=N\lambda si$$
得：
$$\frac{di}{dt}=\lambda i(1?i)，i(0)=i_0$$
這是 Logistic 模型，用分離變量法可以求出其解析解為：
$$\begin{gathered} i(t)=\frac{1}{1+(1/i_0?1)e^{?\lambda t}} \\ I(t)=Ni(t) \end{gathered}$$

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3. SI 模型的 Python 編程

3.1 SI 模型的解析解

上文已經(jīng)得到 SI 模型的解析解，對(duì)此很容易通過 Python 編程實(shí)現(xiàn)，詳見本文例程。

雖然 SI 模型的解析解并不復(fù)雜，而且解的精度當(dāng)然是最好的，但我們?nèi)匀徊还膭?lì)用解析解的方法。原因在于，一是對(duì)于小白求解析解的過程相對(duì)復(fù)雜困難，而且可能出錯(cuò)，二是對(duì)于更復(fù)雜的模型是沒有解析解的，即便大神也只能用數(shù)值方法求解。既然如此，不如從一開始就學(xué)習(xí)、掌握數(shù)值求解方法，熟悉數(shù)值解法的編程實(shí)現(xiàn)。

3.2 SI 模型的數(shù)值解

SI 模型是常微分方程初值問題，可以使用 Scipy 工具包的 scipy.integrate.odeint() 函數(shù)求數(shù)值解，具體方法可以參考前文《Python小白的數(shù)學(xué)建模課-09 微分方程模型》。

scipy.integrate.odeint(func, y0, t, args=())

**scipy.integrate.odeint()**是求解微分方程的具體方法，通過數(shù)值積分來求解常微分方程組。

odeint() 的主要參數(shù)：

• func: callable(y, t, …) 　　導(dǎo)數(shù)函數(shù) $f(y,t)$ ，即 y 在 t 處的導(dǎo)數(shù)，以函數(shù)的形式表示
• y0: array：　　初始條件 $y_0$，對(duì)于常微分方程組 $y_0$ 則為數(shù)組向量
• t: array：　　求解函數(shù)值對(duì)應(yīng)的時(shí)間點(diǎn)的序列。序列的第一個(gè)元素是與初始條件 $y_0$ 對(duì)應(yīng)的初始時(shí)間 $t_0$；時(shí)間序列必須是單調(diào)遞增或單調(diào)遞減的，允許重復(fù)值。
• args: 向?qū)?shù)函數(shù) func 傳遞參數(shù)。當(dāng)導(dǎo)數(shù)函數(shù) $f(y,t,p1,p2,..)$ 包括可變參數(shù) p1,p2… 時(shí)，通過 args =(p1,p2,…) 可以將參數(shù)p1,p2… 傳遞給導(dǎo)數(shù)函數(shù) func。

odeint() 的返回值：

• y: array 　　數(shù)組，形狀為 (len(t),len(y0)，給出時(shí)間序列 t 中每個(gè)時(shí)刻的 y 值。

odeint() 的編程步驟：

導(dǎo)入 scipy、numpy、matplotlib 包；

定義導(dǎo)數(shù)函數(shù) $f(i,t)=\lambda i(1?i)$ ；

定義初值 $i_0$ 和 $i$ 的定義區(qū)間 $[t_0,t]$；

調(diào)用 odeint() 求 $i$ 在定義區(qū)間 $[t_0,t]$ 的數(shù)值解。

3.3 Python例程：SI 模型的解析解與數(shù)值解

# 1. SI 模型，常微分非常，解析解與數(shù)值解的比較 from scipy.integrate import odeint # 導(dǎo)入 scipy.integrate 模塊 import numpy as np # 導(dǎo)入 numpy包 import matplotlib.pyplot as plt # 導(dǎo)入 matplotlib包def dy_dt(y, t, lamda, mu): # 定義導(dǎo)數(shù)函數(shù) f(y,t)dy_dt = lamda*y*(1-y) # di/dt = lamda*i*(1-i)return dy_dt# 設(shè)置模型參數(shù) number = 1e7 # 總?cè)藬?shù) lamda = 1.0 # 日接觸率, 患病者每天有效接觸的易感者的平均人數(shù) mu1 = 0.5 # 日治愈率, 每天被治愈的患病者人數(shù)占患病者總數(shù)的比例 y0 = i0 = 1e-6 # 患病者比例的初值 tEnd = 50 # 預(yù)測日期長度 t = np.arange(0.0,tEnd,1) # (start,stop,step)yAnaly = 1/(1+(1/i0-1)*np.exp(-lamda*t)) # 微分方程的解析解 yInteg = odeint(dy_dt, y0, t, args=(lamda,mu1)) # 求解微分方程初值問題 yDeriv = lamda * yInteg *(1-yInteg)# 繪圖 plt.plot(t, yAnaly, '-ob', label='analytic') plt.plot(t, yInteg, ':.r', label='numerical') plt.plot(t, yDeriv, '-g', label='dy_dt') plt.title("Comparison between analytic and numerical solutions") plt.legend(loc='right') plt.axis([0, 50, -0.1, 1.1]) plt.show()

3.4 解析解與數(shù)值解的比較

本圖為例程 2.3 的運(yùn)行結(jié)果，圖中對(duì)解析解（藍(lán)色）與使用 odeint() 得到的數(shù)值解（紅色）進(jìn)行比較。在該例中，無法觀察到解析解與數(shù)值解的差異，表明數(shù)值解的誤差很小。

圖中 $di/dt$ 具有最大值，最大值表示疫情增長的高潮，達(dá)到最大值后 $di/dt$ 逐漸減小，但患病者比例很快增長到 100%，表明所有人都被感染成為患者。

這是特定參數(shù)的結(jié)果，還是模型的必然趨勢(shì)，需要對(duì)參數(shù)的影響進(jìn)行更詳細(xì)的研究。

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4. SI 模型參數(shù)的影響

對(duì)于 SI 模型，只有日接觸率 $\lambda$ 和患病者比例的初值 $i_0$ 會(huì)影響模型的結(jié)果，其它參數(shù)如總?cè)藬?shù) N 并沒有影響。

4.1 日接觸率對(duì) SI 模型的影響

對(duì)不同日接觸率的比較表明：

日接觸率越大，疫情從發(fā)生到爆發(fā)的時(shí)間越短，爆發(fā)過程的增長速度也越快。

不論日接觸率多大，患病者的比例最終都會(huì)增長到 1，表明所有人都被感染成為患者。

不論日接觸率多大，都具有緩慢發(fā)展、爆發(fā)、增長放緩 3 個(gè)階段，進(jìn)入爆發(fā)階段后患病者的比例急劇增長，疫情就很難控制了。

4.2 患病者比例的初值對(duì) SI 模型的影響

對(duì)患病者比例初值的比較表明，患病者初值的人數(shù)或比例只影響疫情爆發(fā)期到來的快慢，對(duì)疫情傳播的過程和結(jié)果幾乎沒有影響。

這與我們直觀的經(jīng)驗(yàn)不太一致，一個(gè)原因是 SI 模型本身存在不足，另一方面也說明如果對(duì)傳染病不加控制，即使開始患病人數(shù)很少，經(jīng)過一段時(shí)間的傳播后也終將會(huì)引起爆發(fā)。

4.3 SI 模型結(jié)果討論

在 $i(t)=0.5,I(t)=N/2$ 時(shí) $ di/dt$ 達(dá)到最大值，病人數(shù)目 $I(t)$ 增加最快。由此可以預(yù)報(bào)傳染病高潮的到來，即為醫(yī)院的門診量最大的一天，衛(wèi)生部門要重點(diǎn)關(guān)注。

$t_m$ 與 $\lambda$ 成反比。日接觸率 $\lambda$ 反映衛(wèi)生水平、防控手段，提高衛(wèi)生水平、強(qiáng)化防控手段，降低病人的日接觸率，可以推遲傳染病高潮的到來。

當(dāng) $t\to \infty$ 時(shí) $i\to 1$ ，表明所有人最終都會(huì)被傳染而變成病人。這完全不符合實(shí)際情況，表明該模型太不講 politics 了，只能適用于美帝國家建模。

SI 模型非常明顯而嚴(yán)重的缺陷，是該模型沒有考慮患病者可以治愈，因此只能是健康人患病，而患病者不能恢復(fù)健康（甚至也不會(huì)死亡，而是不斷傳播疫情），所以終將全部被傳染。

【本節(jié)完】

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總結(jié)

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