傳染病的數學模型是數學建模中的典型問題，常見的傳染病模型有 SI、SIR、SIRS、SEIR 模型。

SIS 模型型將人群分為 S 類和 I 類，考慮患病者可以治愈而變成易感者，但不考慮免疫期。

本文詳細給出了 SIS 模型的建模、例程、運行結果和模型分析，讓小白都能懂。

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1. 疫情傳播 SIS 模型

傳染病動力學是對傳染病進行定量研究的重要方法。它依據種群繁衍遷移的特性、傳染病在種群內產生及傳播的機制、醫療與防控條件等外部因素，建立可以描述傳染病動力學行為的數學模型，通過對模型進行定性、定量分析和數值計算，模擬傳染病的傳播過程，預測傳染病的發展趨勢，研究防控策略的作用。

1.1 SI 模型

SI 模型把人群分為易感者（S類）和患病者（I類）兩類，易感者（S類）與患病者（I類）有效接觸即被感染，變為患病者，無潛伏期、無治愈情況、無免疫力。

SI 模型適用于只有易感者和患病者兩類人群，且無法治愈的疾病。

按照 SI 模型，最終所有人都會被傳染而變成病人，這是因為模型中沒有考慮病人可以治愈。因此只能是健康人患病，而患病者不能恢復健康（甚至也不會死亡，而是不斷傳播疫情），所以終將全部被傳染。

1.2 SIS 模型

SIS 模型將人群分為 S 類和 I 類，考慮患病者（I 類）可以治愈而變成易感者（S 類），但不考慮免疫期，因此患病者（I 類）治愈變成易感者以后還可以被感染而變成患病者。

SIS 模型適用于只有易感者和患病者兩類人群，可以治愈，但會反復發作的疾病，例如腦炎、細菌性痢疾等治愈后也不具有免疫力的傳染病。

SIS 模型假設：

考察地區的總人數 N 不變，即不考慮生死或人口流動；

人群分為易感者（S類）和患病者（I類）兩類；

易感者（S類）與患病者（I類）有效接觸即被感染，變為患病者；患病者（I類）可被治愈而變為易感者，無潛伏期、無免疫力；

每個患病者每天有效接觸的易感者的平均人數（日接觸數）是 $\lambda$，稱為日接觸率；

每天被治愈的患病者人數占患病者總數的比例為 $\mu$ ，即日治愈率；

將第 t 天時 S類、I 類人群的占比記為 $s(t)$、$i(t)$，數量為 $S(t)$、$I(t)$；初始日期 $t=0$ 時， S類、I 類人群占比的初值為 $s_0$、$i_0$。

需要說明的是，不考慮生死或人口流動，通常是由于考慮一個封閉環境而且假定疫情隨時間的變化比生死、遷移隨時間的變化顯著得多, 因此后者可以忽略不計。

SIS 模型的微分方程：

由
$$N\frac{di}{dt}=N\lambda si?N\mu i$$
得：
$$\frac{di}{dt}=\lambda i(1?i)?\mu i，i(0)=i_0$$
由日治愈率 $\mu$ 可知平均治愈天數為 $1/\mu$，也稱平均傳染期。定義 $\sigma =\lambda /\mu$，其含義是每個病人在傳染期內所傳染的平均人數，稱為傳染期接觸數。例如，平均傳染期 $1/\mu =5$，日接觸率 $\lambda =2$（每天傳染 2人），則傳染期接觸數 $\sigma =10$。

SIS 模型的解析解為：
$$?\begin{array}{l}\begin{array}{rlr}& i(t)=\frac{i_0}{1+\lambda t{i}_0}& ,\lambda =\mu \\ & i(t)=[\frac{\lambda }{\lambda ?\mu }+(\frac{1}{i_0}?\frac{\lambda }{\lambda ?\mu })?e^{?(\lambda ?\mu )t}{]}^{?1}& ,\lambda =\mu \end{array}\end{array}$$

注意：網上有些博文中解析解的公式誤寫成 $exp((\lambda ?\mu )t)$ ，漏掉了一個負號。

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2. SIS 模型的 Python 編程

2.1 Scipy 工具包求解 SIS 模型

SIS 模型是常微分方程初值問題，可以使用 Scipy 工具包的 scipy.integrate.odeint() 函數求數值解。

scipy.integrate.odeint(func, y0, t, args=())

**scipy.integrate.odeint() **是求解微分方程的具體方法，通過數值積分來求解常微分方程組。

odeint() 的主要參數：

• func: callable(y, t, …) 　　導數函數 $f(y,t)$ ，即 y 在 t 處的導數，以函數的形式表示
• y0: array：　　初始條件 $y_0$，對于常微分方程組 $y_0$ 則為數組向量
• t: array：　　求解函數值對應的時間點的序列。序列的第一個元素是與初始條件 $y_0$ 對應的初始時間 $t_0$；時間序列必須是單調遞增或單調遞減的，允許重復值。
• args: 向導數函數 func 傳遞參數。當導數函數 $f(y,t,p1,p2,..)$ 包括可變參數 p1,p2… 時，通過 args =(p1,p2,…) 可以將參數p1,p2… 傳遞給導數函數 func。

odeint() 的返回值：

• y: array 　　數組，形狀為 (len(t),len(y0)，給出時間序列 t 中每個時刻的 y 值。

odeint() 的編程步驟：

導入 scipy、numpy、matplotlib 包；

定義導數函數 $f(i,t)=\lambda i(1?i)?\mu i$ ；

定義初值 $y_0$ 和 $y$ 的定義區間 $[t_0,t]$；

調用 odeint() 求 $y$ 在定義區間 $[t_0,t]$ 的數值解。

2.2 Python例程：SIS 模型的解析解與數值解

# 1. SIS 模型，常微分方程，解析解與數值解的比較 from scipy.integrate import odeint # 導入 scipy.integrate 模塊 import numpy as np # 導入 numpy包 import matplotlib.pyplot as plt # 導入 matplotlib包def dy_dt(y, t, lamda, mu): # SIS 模型，導數函數dy_dt = lamda*y*(1-y) - mu*y # di/dt = lamda*i*(1-i)-mu*ireturn dy_dt# 設置模型參數 number = 1e5 # 總人數 lamda = 1.2 # 日接觸率, 患病者每天有效接觸的易感者的平均人數 sigma = 2.5 # 傳染期接觸數 mu = lamda/sigma # 日治愈率, 每天被治愈的患病者人數占患病者總數的比例 fsig = 1-1/sigma y0 = i0 = 1e-5 # 患病者比例的初值 tEnd = 50 # 預測日期長度 t = np.arange(0.0,tEnd,1) # (start,stop,step) print("lamda={}\tmu={}\tsigma={}\t(1-1/sig)={}".format(lamda,mu,sigma,fsig))# 解析解 if lamda == mu:yAnaly = 1.0/(lamda*t +1.0/i0) else:yAnaly= 1.0/((lamda/(lamda-mu)) + ((1/i0)-(lamda/(lamda-mu))) * np.exp(-(lamda-mu)*t)) # odeint 數值解，求解微分方程初值問題 ySI = odeint(dy_dt, y0, t, args=(lamda,0)) # SI 模型 ySIS = odeint(dy_dt, y0, t, args=(lamda,mu)) # SIS 模型# 繪圖 plt.plot(t, yAnaly, '-ob', label='analytic') plt.plot(t, ySIS, ':.r', label='ySIS') plt.plot(t, ySI, '-g', label='ySI')plt.title("Comparison between analytic and numerical solutions") plt.axhline(y=fsig,ls="--",c='c') # 添加水平直線 plt.legend(loc='best') # youcans plt.axis([0, 50, -0.1, 1.1]) plt.show()

2.3 SIS 模型解析解與數值解的比較

本圖為例程 2.2 的運行結果，圖中對解析解（藍色）與使用 odeint() 得到的數值解（紅色）進行比較。在該例中，無法觀察到解析解與數值解的差異，表明數值解的誤差很小。

本圖也比較了對相同日接觸率和患病者初值下 SI模型與 SIS模型進行了比較。SI 模型更早進入爆發期，最終收斂到 100%；SIS 模型下進入爆發期較晚，患病者的比例最終收斂到某個常數（與模型參數有關）。

考察 SI 模型與 SIS模型的關系，顯然 SI 模型是 SIS 模型在 $\mu =0$ 時的特殊情況。

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3. SIS 模型參數的影響

對于 SIS 模型，需要考慮日接觸率 $\lambda$ 與日治愈率 $\mu$ 的關系、患病者比例的初值 $i_0$ 的影響，總人數 N 沒有影響。

3.1 日接觸率 $\lambda$ 與日治愈率 $\mu$ 關系的影響

直觀地考慮，如果每天治愈的人數高于感染的人數，則疫情逐漸好轉，否則疫情逐漸嚴重。因此日接觸率 $\lambda$ 與日治愈率 $\mu$ 的關系非常關鍵，這就是傳染期接觸數 $\sigma =\lambda /\mu$ 的意義。

（1） $\sigma \le 1$

當 $\sigma <1$ 時，傳染期接觸數小于 1，日接觸率小于日治愈率，患病率單調下降，最終清零，與患病率初值無關。 $\sigma$ 越小，疫情清零速度越快； $\sigma$ 越接近于 1，疫情清零越慢，但最終仍將清零。

分析其實際意義，傳染期接觸數小于 1，表明在傳染期內經過接觸而使易感者變成患病者的數量，小于在傳染期內治愈的患病者的數量，因此患病者數量、比例都會逐漸降低，所以最終可以清零，稱為無病平衡點。

當 $\sigma =1$ 時，不論患病率初值如何，患病率也是單調下降，最終趨近于 0。雖然在數學上患病率只能趨近于 0 而不等于 0，但考慮到總人數 N 是有限的，而患病者和易感者人數需要取整，因此 $\sigma =1$ 時最終也會清零。

（2） $\sigma >1$

當 $\sigma >1$ 時，傳染期接觸數大于 1，日接觸率大于日治愈率，患病率的升降有兩種情況：

當患病率很低時，患病者人數少而易感者人數多，患病率上升；但隨著患病率增大，患病者越來越多而易感者越來越少，患病率雖然仍然上升但上升速度趨緩，最終趨于定值。

當患病率很高時，患病者人數多而易感者人數少，患病率下降；但隨著患病率減小，患病者越來越少而易感者越來越多，患病率雖然仍然下降但下降速度趨緩，最終也趨于相同的定值。

患病率最終都會收斂到穩態特征值 $i_{\infty }=1?1/\sigma$。當 $i_0>i_{\infty }$ 即患病率初值大于穩態特征值時，疫情曲線單調上升收斂；當 $i_0<i_{\infty }$ 即患病率初值小于穩態特征值時，疫情曲線單調下降收斂；當 $i_0=i_{\infty }$ 時，患病率始終大于穩態特征值，疫情曲線為水平直線。

這表明，當 $\sigma >1$ 時疫情終將穩定但不會清零，而是長期保持一定的患病率，稱為地方病平衡點。

當 $\sigma =1$ 時，不論患病率初值如何，患病率都單調下降并最終趨于 0。

3.2 傳染期接觸數 $\sigma$ 與 $di/dt$ 的關系

患病率的一階導數 $di/dt$ 的變化曲線，表明不論傳染期接觸數和初值如何，患病率的變化率都將收斂到 0，因此疫情終將穩定。當 $\sigma <1$ 時， $di/dt$ 始終是負值，單調上升趨近于 0； 當 $\sigma >1$ 時， $di/dt$ 始終是正值，先上升達到峰值后再逐漸減小趨近于 0。

本圖為患病率 $i(t)$ 與一階導數 $di/dt$ 在不同傳染期接觸數下的關系曲線（相空間圖）。當 $\sigma \le 1$ 時，曲線收斂到原點 $(0,0)$，即存在無病平衡點； 當 $\sigma >1$ 時，曲線收斂到 $(1?1/\sigma ,0)$，即存在地方病平衡點。

3.3 Python例程：傳染期接觸數 $\sigma$ 與 $di/dt$ 的關系

# 4. SIS 模型，模型參數對 di/dt的影響 from scipy.integrate import odeint # 導入 scipy.integrate 模塊 import numpy as np # 導入 numpy包 import matplotlib.pyplot as plt # 導入 matplotlib包def dy_dt(y, t, lamda, mu): # SIS 模型，導數函數dy_dt = lamda*y*(1-y) - mu*y # di/dt = lamda*i*(1-i)-mu*ireturn dy_dt# 設置模型參數 number = 1e5 # 總人數 lamda = 1.2 # 日接觸率, 患病者每天有效接觸的易感者的平均人數 # sigma = np.array((0.1, 0.5, 0.8, 0.95, 1.0)) # 傳染期接觸數 sigma = np.array((0.5, 0.8, 1.0, 1.5, 2.0, 3.0)) # 傳染期接觸數 y0 = i0 = 0.05 # 患病者比例的初值 tEnd = 100 # 預測日期長度 t = np.arange(0.0,tEnd,0.1) # (start,stop,step)for p in sigma:ySIS = odeint(dy_dt, y0, t, args=(lamda,lamda/p)) # SIS 模型yDeriv = lamda*ySIS*(1-ySIS) - ySIS*lamda/p# plt.plot(t, yDeriv, '-', label=r"$\sigma$ = {}".format(p))plt.plot(ySIS, yDeriv, '-', label=r"$\sigma$ = {}".format(p)) #label='di/dt~i'print("lamda={}\tmu={}\tsigma={}\t(1-1/sig)={}".format(lamda,lamda/p,p,(1-1/p)))# 繪圖 plt.axhline(y=0,ls="--",c='c') # 添加水平直線 plt.title("i(t)~di/dt in SIS model") # youcans-xupt plt.legend(loc='best') plt.show()

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4. SIS 模型結果討論

SIS 模型表明：

若 $\sigma >1$，則 $\underset{t\to \infty }{\lim }i(t)=1?1/\sigma$， 表明患病者始終存在，成為地方病。

若 $\sigma \le 1$，則 $\underset{t\to \infty }{\lim }i(t)=0,(\sigma \le 1)$ ，表明患病者人數不斷減少，最終可以清零。

SIS 模型說明，對于傳染病，需要對患病者進行隔離以減少有效接觸，通過減少日接觸率 $\lambda$ 來減小接觸數 $\sigma$ ，打破傳播鏈，最終控制疫情。

需要指出的是，本文討論的 SIS模型是把考察地區視為一個疫情均勻分布的整體進行研究。實際上，在考察區域的疫情分布必然是不均衡的，可能在局部區域發生疫情爆發導致該區域患病人數激增，是否會影響 SIS 模型的演化過程和穩定性呢？相關研究表明，擴散速度的不同可能導致種群空間分布的差異，在低風險區域將達到無病平衡點，在高風險區域仍將達到地方病平衡點。

【本節完】

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總結

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