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Python小白的数学建模课-15.图论的基本概念

發(fā)布時(shí)間：2025/3/15 python 32 豆豆

生活随笔收集整理的這篇文章主要介紹了 Python小白的数学建模课-15.图论的基本概念小編覺(jué)得挺不錯(cuò)的,現(xiàn)在分享給大家,幫大家做個(gè)參考.

圖論中所說(shuō)的圖，不是圖形圖像或地圖，而是指由頂點(diǎn)和邊所構(gòu)成的圖形結(jié)構(gòu)。
圖論不僅與拓?fù)鋵W(xué)、計(jì)算機(jī)數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)和算法密切相關(guān)，而且正在成為機(jī)器學(xué)習(xí)的關(guān)鍵技術(shù)。
本系列結(jié)合數(shù)學(xué)建模的應(yīng)用需求，來(lái)介紹 NetworkX 圖論與復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)工具包的基本功能和典型算法。
『Python小白的數(shù)學(xué)建模課 @ Youcans』帶你從數(shù)模小白成為國(guó)賽達(dá)人。

1. 圖論

1.1 圖論是什么

圖論〔Graph Theory〕以圖為研究對(duì)象，是離散數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容。圖論不僅與拓?fù)鋵W(xué)、計(jì)算機(jī)數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)和算法密切相關(guān)，而且正在成為機(jī)器學(xué)習(xí)的關(guān)鍵技術(shù)。

圖論中所說(shuō)的圖，不是指圖形圖像（image）或地圖（map），而是指由頂點(diǎn)（vertex）和連接頂點(diǎn)的邊（edge）所構(gòu)成的關(guān)系結(jié)構(gòu)。

圖提供了一種處理關(guān)系和交互等抽象概念的更好的方法，它還提供了直觀的視覺(jué)方式來(lái)思考這些概念。

1.2 NetworkX 工具包

NetworkX 是基于 Python 語(yǔ)言的圖論與復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)工具包，用于創(chuàng)建、操作和研究復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)、動(dòng)力學(xué)和功能。

NetworkX 可以以標(biāo)準(zhǔn)和非標(biāo)準(zhǔn)的數(shù)據(jù)格式描述圖與網(wǎng)絡(luò)，生成圖與網(wǎng)絡(luò)，分析網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，構(gòu)建網(wǎng)絡(luò)模型，設(shè)計(jì)網(wǎng)絡(luò)算法，繪制網(wǎng)絡(luò)圖形。

NetworkX 提供了圖形的類、對(duì)象、圖形生成器、網(wǎng)絡(luò)生成器、繪圖工具，內(nèi)置了常用的圖論和網(wǎng)絡(luò)分析算法，可以進(jìn)行圖和網(wǎng)絡(luò)的建模、分析和仿真。

NetworkX 的功能非常強(qiáng)大和龐雜，所涉及內(nèi)容遠(yuǎn)遠(yuǎn)、遠(yuǎn)遠(yuǎn)地超出了數(shù)學(xué)建模的范圍，甚至于很難進(jìn)行系統(tǒng)的概括。本系列結(jié)合數(shù)學(xué)建模的應(yīng)用需求，來(lái)介紹 NetworkX 圖論與復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)工具包的基本功能和典型算法。

NetworkX 的官網(wǎng)和文檔

官網(wǎng)地址：https://networkx.org/
官方文檔：https://networkx.org/documentation/stable/
pdf 文檔：https://networkx.org/documentation/stable/_downloads/networkx_reference.pdf

2、圖、頂點(diǎn)和邊的創(chuàng)建與基本操作

圖由頂點(diǎn)和連接頂點(diǎn)的邊構(gòu)成，但與頂點(diǎn)的位置、邊的曲直長(zhǎng)短無(wú)關(guān)。

Networkx 支持創(chuàng)建簡(jiǎn)單無(wú)向圖、有向圖和多重圖；內(nèi)置許多標(biāo)準(zhǔn)的圖論算法，節(jié)點(diǎn)可為任意數(shù)據(jù)；支持任意的邊值維度，功能豐富，簡(jiǎn)單易用。

2.1 圖的基本概念

圖（Graph）：圖是由若干頂點(diǎn)和連接頂點(diǎn)的邊所構(gòu)成關(guān)系結(jié)構(gòu)。
頂點(diǎn)（Node）：圖中的點(diǎn)稱為頂點(diǎn)，也稱節(jié)點(diǎn)。
邊（Edge）：頂點(diǎn)之間的連線，稱為邊。
平行邊（Parallel edge）：起點(diǎn)相同、終點(diǎn)也相同的兩條邊稱為平行邊。
循環(huán)（Cycle）：起點(diǎn)和終點(diǎn)重合的邊稱為循環(huán)。
有向圖（Digraph）：圖中的每條邊都帶有方向，稱為有向圖。
無(wú)向圖（Undirected graph）：圖中的每條邊都沒(méi)有方向，稱為無(wú)向圖。
賦權(quán)圖（Weighted graph）：圖中的每條邊都有一個(gè)或多個(gè)對(duì)應(yīng)的參數(shù)，稱為賦權(quán)圖。該參數(shù)稱為這條邊的權(quán)，權(quán)可以用來(lái)表示兩點(diǎn)間的距離、時(shí)間、費(fèi)用。
度（Degree）：與頂點(diǎn)相連的邊的數(shù)量，稱為該頂點(diǎn)的度。

2.2 圖、頂點(diǎn)和邊的操作

Networkx很容易創(chuàng)建圖、向圖中添加頂點(diǎn)和邊、從圖中刪除頂點(diǎn)和邊，也可以查看、刪除頂點(diǎn)和邊的屬性。

2.2.1 圖的創(chuàng)建

Graph() 類、DiGraph() 類、MultiGraph() 類和 MultiDiGraph() 類分別用來(lái)創(chuàng)建：無(wú)向圖、有向圖、多圖和有向多圖。定義和例程如下：

class Graph(incoming_graph_data=None, **attr)

import networkx as nx # 導(dǎo)入 NetworkX 工具包# 創(chuàng)建圖 G1 = nx.Graph() # 創(chuàng)建：空的無(wú)向圖 G2 = nx.DiGraph() #創(chuàng)建：空的有向圖 G3 = nx.MultiGraph() #創(chuàng)建：空的多圖 G4 = nx.MultiDiGraph() #創(chuàng)建：空的有向多圖

2.2.2 頂點(diǎn)的添加、刪除和查看

圖的每個(gè)頂點(diǎn)都有唯一的標(biāo)簽屬性（label），可以用整數(shù)或字符類型表示，頂點(diǎn)還可以自定義任意屬性。

頂點(diǎn)的常用操作：添加頂點(diǎn)，刪除頂點(diǎn)，定義頂點(diǎn)屬性，查看頂點(diǎn)和頂點(diǎn)屬性。定義和例程如下：

Graph.add_node(node_for_adding, **attr)
Graph.add_nodes_from(nodes_for_adding, **attr)
Graph.remove_node(n)
Graph.remove_nodes_from(nodes)

# 頂點(diǎn)(node)的操作 # 向圖中添加頂點(diǎn) G1.add_node(1) # 向 G1 添加頂點(diǎn) 1 G1.add_node(1, name='n1', weight=1.0) # 添加頂點(diǎn) 1，定義 name, weight 屬性 G1.add_node(2, date='May-16') # 添加頂點(diǎn) 2，定義 time 屬性 G1.add_nodes_from([3, 0, 6], dist=1) # 添加多個(gè)頂點(diǎn)，并定義屬性 G1.add_nodes_from(range(10, 15)) # 向圖 G1 添加頂點(diǎn) 10～14# 查看頂點(diǎn)和頂點(diǎn)屬性 print(G1.nodes()) # 查看頂點(diǎn)列表 # [1, 2, 3, 0, 6, 10, 11, 12, 13, 14] print(G1._node) # 查看頂點(diǎn)屬性 # {1: {'name': 'n1', 'weight': 1.0}, 2: {'date': 'May-16'}, 3: {'dist': 1}, 0: {'dist': 1}, 6: {'dist': 1}, 10: {}, 11: {}, 12: {}, 13: {}, 14: {}}# 從圖中刪除頂點(diǎn) G1.remove_node(1) # 刪除頂點(diǎn) G1.remove_nodes_from([1, 11, 13, 14]) # 通過(guò)頂點(diǎn)標(biāo)簽的 list 刪除多個(gè)頂點(diǎn) print(G1.nodes()) # 查看頂點(diǎn) # [2, 3, 0, 6, 10, 12] # 頂點(diǎn)列表

2.2.3 邊的添加、刪除和查看

邊是兩個(gè)頂點(diǎn)之間的連接，在 NetworkX 中邊是由對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的名字的元組組成 e=(node1,node2)。邊可以設(shè)置權(quán)重、關(guān)系等屬性。

邊的常用操作：添加邊，刪除邊，定義邊的屬性，查看邊和邊的屬性。向圖中添加邊時(shí)，如果邊的頂點(diǎn)是圖中不存在的，則自動(dòng)向圖中添加該頂點(diǎn)。

Graph.add_edge(u_of_edge, v_of_edge, **attr)
Graph.add_edges_from(ebunch_to_add, **attr)
Graph.add_weighted_edges_from(ebunch_to_add, weight=‘weight’, **attr)

# 邊(edge)的操作 # 向圖中添加邊 G1.add_edge(1,5) # 向 G1 添加邊，并自動(dòng)添加圖中沒(méi)有的頂點(diǎn) G1.add_edge(0,10, weight=2.7) # 向 G1 添加邊，并設(shè)置邊的屬性 G1.add_edges_from([(1,2,{'weight':0}), (2,3,{'color':'blue'})]) # 向圖中添加邊，并設(shè)置屬性 G1.add_edges_from([(3,6),(1,2),(6,7),(5,10),(0,1)]) # 向圖中添加多條邊 G1.add_weighted_edges_from([(1,2,3.6),[6,12,0.5]]) # 向圖中添加多條賦權(quán)邊: (node1,node2,weight) print(G1.nodes()) # 查看頂點(diǎn) # [2, 3, 0, 6, 10, 12, 1, 5, 7] # 自動(dòng)添加了圖中沒(méi)有的頂點(diǎn)# 從圖中刪除邊 G1.remove_edge(0,1) # 從圖中刪除邊 0-1 G1.remove_edges_from([(2,3),(1,5),(6,7)]) # 從圖中刪除多條邊# 查看邊和邊的屬性 print(G1.edges) # 查看所有的邊 [(2, 1), (3, 6), (0, 10), (6, 12), (10, 5)] print(G1.get_edge_data(1,2)) # 查看指定邊的屬性 # {'weight': 3.6} print(G1[1][2]) # 查看指定邊的屬性 # {'weight': 3.6} print(G1.edges(data=True)) # 查看所有邊的屬性 # [(2, 1, {'weight': 3.6}), (3, 6, {}), (0, 10, {'weight': 2.7}), (6, 12, {'weight': 0.5}), (10, 5, {})]

2.2.4 查看圖、頂點(diǎn)和邊的信息

# 查看圖、頂點(diǎn)和邊的信息 print(G1.nodes) # 返回所有的頂點(diǎn) [node1,...] # [2, 3, 0, 6, 10, 12, 1, 5, 7] print(G1.edges) # 返回所有的邊 [(node1,node2),...] # [(2, 1), (3, 6), (0, 10), (6, 12), (10, 5)] print(G1.degree) # 返回各頂點(diǎn)的度 [(node1,degree1),...] # [(2, 1), (3, 1), (0, 1), (6, 2), (10, 2), (12, 1), (1, 1), (5, 1), (7, 0)] print(G1.number_of_nodes()) # 返回頂點(diǎn)的數(shù)量 # 9 print(G1.number_of_edges()) # 返回邊的數(shù)量 # 5 print(G1[10]) # 返回與指定頂點(diǎn)相鄰的所有頂點(diǎn)的屬性 # {0: {'weight': 2.7}, 5: {}} print(G1.adj[10]) # 返回與指定頂點(diǎn)相鄰的所有頂點(diǎn)的屬性 # {0: {'weight': 2.7}, 5: {}} print(G1[1][2]) # 返回指定邊的屬性 # {'weight': 3.6} print(G1.adj[1][2]) # 返回指定邊的屬性 # {'weight': 3.6} print(G1.degree(10)) # 返回指定頂點(diǎn)的度 # 2print('nx.info:',nx.info(G1)) # 返回圖的基本信息 print('nx.degree:',nx.degree(G1)) # 返回圖中各頂點(diǎn)的度 print('nx.density:',nx.degree_histogram(G1)) # 返回圖中度的分布 print('nx.pagerank:',nx.pagerank(G1)) # 返回圖中各頂點(diǎn)的頻率分布

2.3 圖的屬性和方法

圖的方法

方法說(shuō)明

G.has_node(n)	當(dāng)圖 G 中包括頂點(diǎn) n 時(shí)返回 True
G.has_edge(u, v)	當(dāng)圖 G 中包括邊 (u,v) 時(shí)返回 True
G.number_of_nodes()	返回圖 G 中的頂點(diǎn)的數(shù)量
G.number_of_edges()	返回圖 G 中的邊的數(shù)量
G.number_of_selfloops()	返回圖 G 中的自循環(huán)邊的數(shù)量
G.degree([nbunch, weight])	返回圖 G 中的全部頂點(diǎn)或指定頂點(diǎn)的度
G.selfloop_edges([data, default])	返回圖 G 中的全部的自循環(huán)邊
G.subgraph([nodes])	從圖 G1中抽取頂點(diǎn)[nodes]及對(duì)應(yīng)邊構(gòu)成的子圖
union(G1,G2)	合并圖 G1、G2
nx.info(G)	返回圖的基本信息
nx.degree(G)	返回圖中各頂點(diǎn)的度
nx.degree_histogram(G)	返回圖中度的分布
nx.pagerank(G)	返回圖中各頂點(diǎn)的頻率分布
nx.add_star(G,[nodes],**attr)	向圖 G 添加星形網(wǎng)絡(luò)
nx.add_path(G,[nodes],**attr)	向圖 G 添加一條路徑
nx.add_cycle(G,[nodes],**attr)	向圖 G 添加閉合路徑

例程：

G1.clear() # 清空?qǐng)DG1 nx.add_star(G1, [1, 2, 3, 4, 5], weight=1) # 添加星形網(wǎng)絡(luò)：以第一個(gè)頂點(diǎn)為中心 # [(1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5)] nx.add_path(G1, [5, 6, 8, 9, 10], weight=2) # 添加路徑：順序連接 n個(gè)節(jié)點(diǎn)的 n-1條邊 # [(5, 6), (6, 8), (8, 9), (9, 10)] nx.add_cycle(G1, [7, 8, 9, 10, 12], weight=3) # 添加閉合回路：循環(huán)連接 n個(gè)節(jié)點(diǎn)的 n 條邊 # [(7, 8), (7, 12), (8, 9), (9, 10), (10, 12)] print(G1.nodes) # 返回所有的頂點(diǎn) [node1,...] nx.draw_networkx(G1) plt.show()G2 = G1.subgraph([1, 2, 3, 8, 9, 10]) G3 = G1.subgraph([4, 5, 6, 7]) G = nx.union(G2, G3) print(G.nodes) # 返回所有的頂點(diǎn) [node1,...] # [1, 2, 3, 8, 9, 10, 4, 5, 6, 7]

3、圖的繪制與分析

3.1 圖的繪制

可視化是圖論和網(wǎng)絡(luò)問(wèn)題中很重要的內(nèi)容。NetworkX 在 Matplotlib、Graphviz 等圖形工具包的基礎(chǔ)上，提供了豐富的繪圖功能。

本系列擬對(duì)圖和網(wǎng)絡(luò)的可視化作一個(gè)專題，在此只簡(jiǎn)單介紹基于 Matplotlib 的基本繪圖函數(shù)。基本繪圖函數(shù)使用字典提供的位置將節(jié)點(diǎn)放置在散點(diǎn)圖上，或者使用布局函數(shù)計(jì)算位置。

方法說(shuō)明

draw(G[,pos,ax])	基于 Matplotlib 繪制圖 G
draw_networkx(G[, pos, arrows, with_labels])	基于 Matplotlib 繪制圖 G
draw_networkx_nodes(G, pos[, nodelist, . . . ])	繪制圖 G 的頂點(diǎn)
draw_networkx_edges(G, pos[, edgelist, . . . ])	繪制圖 G 的邊
draw_networkx_labels(G, pos[, labels, . . . ])	繪制頂點(diǎn)的標(biāo)簽
draw_networkx_edge_labels(G, pos[, . . . ])	繪制邊的標(biāo)簽

其中，nx.draw() 和 nx.draw_networkx() 是最基本的繪圖函數(shù)，并可以通過(guò)自定義函數(shù)屬性或其它繪圖函數(shù)設(shè)置不同的繪圖要求。

draw(G, pos=None, ax=None, **kwds)

draw_networkx(G, pos=None, arrows=True, with_labels=True, **kwds)

常用的屬性定義如下：

‘node_size’：指定節(jié)點(diǎn)的尺寸大小，默認(rèn)300
‘node_color’：指定節(jié)點(diǎn)的顏色，默認(rèn)紅色
‘node_shape’：節(jié)點(diǎn)的形狀，默認(rèn)圓形
'‘a(chǎn)lpha’：透明度，默認(rèn)1.0，不透明
‘width’：邊的寬度，默認(rèn)1.0
‘edge_color’：邊的顏色，默認(rèn)黑色
‘style’：邊的樣式，可選 ‘solid’、‘dashed’、‘dotted’、‘dashdot’
‘with_labels’：節(jié)點(diǎn)是否帶標(biāo)簽，默認(rèn)True
‘font_size’：節(jié)點(diǎn)標(biāo)簽字體大小，默認(rèn)12
‘font_color’：節(jié)點(diǎn)標(biāo)簽字體顏色，默認(rèn)黑色

3.2 圖的分析

NetwotkX 提供了圖論函數(shù)對(duì)圖的結(jié)構(gòu)進(jìn)行分析：

子圖

子圖是指頂點(diǎn)和邊都分別是圖 G 的頂點(diǎn)的子集和邊的子集的圖。
subgraph()方法，按頂點(diǎn)從圖 G 中抽出子圖。例程如前。

連通子圖

如果圖 G 中的任意兩點(diǎn)間相互連通，則 G 是連通圖。
connected_components()方法，返回連通子圖的集合。

G = nx.path_graph(4) nx.add_path(G, [7, 8, 9]) # 連通子圖 listCC = [len(c) for c in sorted(nx.connected_components(G), key=len, reverse=True)] maxCC = max(nx.connected_components(G), key=len) print('Connected components:{}'.format(listCC)) # 所有連通子圖 # Connected components:[4, 3] print('Largest connected components:{}'.format(maxCC)) # 最大連通子圖 # Largest connected components:{0, 1, 2, 3}

強(qiáng)連通

如果有向圖 G 中的任意兩點(diǎn)間相互連通，則稱 G 是強(qiáng)連通圖。
strongly_connected_components()方法，返回所有強(qiáng)連通子圖的列表。

# 強(qiáng)連通 G = nx.path_graph(4, create_using=nx.DiGraph()) nx.add_path(G, [3, 8, 1]) # 找出所有的強(qiáng)連通子圖 con = nx.strongly_connected_components(G) print(type(con),list(con)) # <class 'generator'> [{8, 1, 2, 3}, {0}]

弱連通

如果一個(gè)有向圖 G 的基圖是連通圖，則有向圖 G 是弱連通圖。
weakly_connected_components()方法，返回所有弱連通子圖的列表。

# 弱連通 G = nx.path_graph(4, create_using=nx.DiGraph()) #默認(rèn)生成節(jié)點(diǎn) 0,1,2,3 和有向邊 0->1,1->2,2->3 nx.add_path(G, [7, 8, 3]) #生成有向邊：7->8->3 con = nx.weakly_connected_components(G) print(type(con),list(con)) # <class 'generator'> [{0, 1, 2, 3, 7, 8}]

【本節(jié)完】

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總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的Python小白的数学建模课-15.图论的基本概念的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問(wèn)題。

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