題目：一個(gè)整數(shù)，它加上100后是一個(gè)完全平方數(shù)，加上168又是一個(gè)完全平方數(shù)，請(qǐng)問該數(shù)是多少？

程序分析：在10萬以內(nèi)判斷，先將該數(shù)加上100后再開方，再將該數(shù)加上268后再開方，如果開方后的結(jié)果滿足如下條件，即是結(jié)果。請(qǐng)看具體分析：

程序設(shè)計(jì)：

public class test {

public static void main (String[]args){

long k=0;

for(k=1;k<=100000l;k++)

if(Math.floor(Math.sqrt(k+100))==Math.sqrt(k+100) && Math.floor(Math.sqrt(k+168))==Math.sqrt(k+168))

System.out.println(k);

}

}

性質(zhì)1：完全平方數(shù)的末位數(shù)只能是0,1,4,5,6,9。

性質(zhì)2：奇數(shù)的平方的個(gè)位數(shù)字為奇數(shù)，十位數(shù)字為偶數(shù)。

證明 奇數(shù)必為下列五種形式之一：

10a+1, 10a+3, 10a+5, 10a+7, 10a+9

分別平方后，得

(10a+1)^2=100+20a+1=20a(5a+1)+1

(10a+3)^2=100+60a+9=20a(5a+3)+9

(10a+5)^2=100+100a+25=20 (5a+5a+1)+5

(10a+7)^2=100+140a+49=20 (5a+7a+2)+9

(10a+9)^2=100+180a+81=20 (5a+9a+4)+1

綜上各種情形可知：奇數(shù)的平方，個(gè)位數(shù)字為奇數(shù)1,5,9；十位數(shù)字為偶數(shù)。

性質(zhì)3：如果完全平方數(shù)的十位數(shù)字是奇數(shù)，則它的個(gè)位數(shù)字一定是6；反之，如果完全平方數(shù)的個(gè)位數(shù)字是6，則它的十位數(shù)字一定是奇數(shù)。

證明 已知=10k+6，證明k為奇數(shù)。因?yàn)榈膫€(gè)位數(shù)為6，所以m的個(gè)位數(shù)為4或6，于是可設(shè)m=10n+4或10n+6。則

10k+6=(10n+4)=100+(8n+1)x10+6

或 10k+6=(10n+6)=100+(12n+3)x10+6

即 k=10+8n+1=2(5+4n)+1

或 k=10+12n+3=2(5+6n)+3

∴ k為奇數(shù)。

推論1：如果一個(gè)數(shù)的十位數(shù)字是奇數(shù)，而個(gè)位數(shù)字不是6，那么這個(gè)數(shù)一定不是完全平方數(shù)。

推論2：如果一個(gè)完全平方數(shù)的個(gè)位數(shù)字不是6，則它的十位數(shù)字是偶數(shù)。

性質(zhì)4：偶數(shù)的平方是4的倍數(shù)；奇數(shù)的平方是4的倍數(shù)加1。

這是因?yàn)?(2k+1)=4k(k+1)+1

(2k)=4

性質(zhì)5：奇數(shù)的平方是8n+1型；偶數(shù)的平方為8n或8n+4型。

在性質(zhì)4的證明中，由k(k+1)一定為偶數(shù)可得到(2k+1)是8n+1型的數(shù)；由為奇數(shù)或偶數(shù)可得(2k)為8n型或8n+4型的數(shù)。

性質(zhì)6：平方數(shù)的形式必為下列兩種之一：3k,3k+1。

因?yàn)樽匀粩?shù)被3除按余數(shù)的不同可以分為三類：3m,3m+1, 3m+2。平方后，分別得

(3m)=9=3k

(3m+1)=9+6m+1=3k+1

(3m+2)=9+12m+4=3k+1

同理可以得到：

性質(zhì)7：不能被5整除的數(shù)的平方為5k±1型，能被5整除的數(shù)的平方為5k型。

性質(zhì)8：平方數(shù)的形式具有下列形式之一：16m,16m+1, 16m+4,16m+9。

除了上面關(guān)于個(gè)位數(shù)，十位數(shù)和余數(shù)的性質(zhì)之外，還可研究完全平方數(shù)各位數(shù)字之和。例如，256它的各位數(shù)字相加為2+5+6=13，13叫做256的各位數(shù)字和。如果再把13的各位數(shù)字相加：1+3=4，4也可以叫做256的各位數(shù)字的和。下面我們提到的一個(gè)數(shù)的各位數(shù)字之和是指把它的各位數(shù)字相加，如果得到的數(shù)字之和不是一位數(shù)，就把所得的數(shù)字再相加，直到成為一位數(shù)為止。我們可以得到下面的命題：

一個(gè)數(shù)的數(shù)字和等于這個(gè)數(shù)被9除的余數(shù)。

下面以四位數(shù)為例來說明這個(gè)命題。

設(shè)四位數(shù)為，則

= 1000a+100b+10c+d

= 999a+99b+9c+(a+b+c+d)

= 9(111a+11b+c)+(a+b+c+d)

顯然，a+b+c+d是四位數(shù)被9除的余數(shù)。

對(duì)於n位數(shù)，也可以仿此法予以證明。

關(guān)於完全平方數(shù)的數(shù)字和有下面的性質(zhì)：

性質(zhì)9：完全平方數(shù)的數(shù)字之和只能是0,1,4,7,9。

證明 因?yàn)橐粋€(gè)整數(shù)被9除只能是9k,9k±1, 9k±2, 9k±3, 9k±4這幾種形式，而

(9k)=9(9)+0

(9k±1)=9(9±2k)+1

(9k±2)=9(9±4k)+4

(9k±3)=9(9±6k)+9

(9k±4)=9(9±8k+1)+7

除了以上幾條性質(zhì)以外，還有下列重要性質(zhì)：

性質(zhì)10：為完全平方數(shù)的充要條件是b為完全平方數(shù)。

證明 充分性：設(shè)b為平方數(shù)，則

==(ac)

必要性：若為完全平方數(shù)，=，則

性質(zhì)11：如果質(zhì)數(shù)p能整除a，但p的平方不能整除a，則a不是完全平方數(shù)。

證明 由題設(shè)可知，a有質(zhì)因數(shù)p，但無因數(shù)，可知a分解成標(biāo)準(zhǔn)式時(shí)，p的次方為1，而完全平方數(shù)分解成標(biāo)準(zhǔn)式時(shí)，各質(zhì)因數(shù)的次方均為偶數(shù)，可見a不是完全平方數(shù)。

性質(zhì)12：在兩個(gè)相鄰的整數(shù)的平方數(shù)之間的所有整數(shù)都不是完全平方數(shù)，即若

n^2 < k^2 < (n+1)^2

則k一定不是完全平方數(shù)。

性質(zhì)13：一個(gè)正整數(shù)n是完全平方數(shù)的充分必要條件是n有奇數(shù)個(gè)因數(shù)(包括1和n本身)。

總結(jié)

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