文章目錄

特殊矩陣

矩陣的基本概念

求解線性方程組

直接求解

判定求解

特殊矩陣

零矩陣、1矩陣及單位矩陣

生成nxn方陣：

A=zeros(n), B=ones(n), C=eye(n)

生成mxn矩陣：

A=zeros(m,n), B=ones(m,n), C=eye(m,n)

生成和矩陣B同樣位數(shù)的矩陣：

A=zeros(size(B))**

生成nxm階標(biāo)準(zhǔn)均勻分布偽隨機(jī)數(shù)矩陣(0-1)：

A=rand(n,m)

生成nxn階標(biāo)準(zhǔn)均勻分布偽隨機(jī)數(shù)方陣：

A=rand(n)

對(duì)角元素矩陣

已知向量生成對(duì)角矩陣：

A=diag(V)

已知矩陣提取對(duì)角元素列向量：

V＝diag(A)

生成主對(duì)角線上第k條對(duì)角線為V的矩陣：

A=diag(V,k)

生成n階的Hilbert矩陣：

A=hilb(n)

求取逆Hilbert矩陣：

B=invhilb(n)

Hankel(漢克 ) 矩陣

其中：第一列的各個(gè)元素定義為C向量，最后一行各個(gè)元素定義為R。H為對(duì)稱陣。

H1=hankel(C,R)

Vandermonde(范德蒙)矩陣

V = vander(C)

伴隨矩陣

B = compan(P)

P(s)為首項(xiàng)系數(shù)為1的多項(xiàng)式

符號(hào)矩陣的輸入,數(shù)值矩陣A轉(zhuǎn)換成符號(hào)矩陣：

B=sym(A)

A =

1.0000 0.5000 0.3333

0.5000 0.3333 0.2500

0.3333 0.2500 0.2000

B=sym(A)

B =

[ 1, 1/2, 1/3]

[ 1/2, 1/3, 1/4]

[ 1/3, 1/4, 1/5]

矩陣的基本概念

求行列式

d=det(A)

矩陣的跡

t=trace(A)

矩陣的秩

r=rank(A) ％用默認(rèn)的精度求數(shù)值秩

r=rank(A，a ) ％給定精度下求數(shù)值秩

如果 矩陣的秩為r，小于矩陣的階次n，故為**非滿秩矩陣**

矩陣范數(shù)

(p = 2, 2范數(shù)，向量的范數(shù)，各分量平方和開(kāi)根號(hào))

N=norm(A) ％求解默認(rèn)的2范數(shù)

N=norm(A，選項(xiàng)) ％選項(xiàng)可為1,2,inf等

特征多項(xiàng)式

C=poly(A)

例：>> A=[16 2 3 13; 5 11 10 8; 9 7 6 12; 4 14 15 1];

poly(A) ％直接求取

ans =

1.0e+03 *

0.0010 -0.0340 -0.0800 2.7200 0.0000

A=sym(A); charpoly(A) ％運(yùn)用符號(hào)工具箱

ans =

[ 1, -34, -80, 2720, 0]

矩陣的逆矩陣

C=inv(A)

hilb的逆矩陣

計(jì)算誤差范數(shù)：

norm(H*inv(H)-eye(size(H))

對(duì)接近于奇異矩陣，高階一般不建議用inv( )，可用符號(hào)工具箱

奇異矩陣不存在一個(gè)相應(yīng)的逆矩陣，用符號(hào)工具箱的函數(shù)也不行

奇異矩陣與非奇異矩陣

矩陣的相似變換與正交矩陣

其中：A為一方陣，B矩陣非奇異。

相似變換后，X矩陣的秩、跡、行列式與特征值等均不發(fā)生變化，其值與A矩陣完全一致。

對(duì)于一類(lèi)特殊的相似變換滿足如下條件，稱為正交矩陣。

正交基矩陣

Q = orth(A)

特征值

eig(A)

求解線性方程組

直接求解

A*X = B

左除：X= A\ B

% 反斜杠\反斜杠計(jì)算方法速度更快，

而且殘差減少了幾個(gè)數(shù)量級(jí)。err_inv 和 err_bs 均為 1e-6 的階數(shù)。

X*A = B

右除：X= B/ A

判定求解

判定矩陣為C;

判定定理：

當(dāng)m = n, rank (A)= rank ( C ) = n ,有唯一解。X = inv(A)*B

當(dāng)rank (A)= rank ( C ) =r < n ,有無(wú)窮多解。

求取A矩陣的化零矩陣：

Z=null(A)

特解

x0=pinv(A)*B % 得出一個(gè)特解

通解：

syms a1 a2;

x=a1*Z(:,1)+a2*Z(:,2)+x0 %這里是r = 2, a1, a2 是隨機(jī)數(shù)(數(shù)值解)，或者符號(hào)(解析解)

3.當(dāng)rank (A)<= rank ( C ) ,只能用摩爾－彭羅斯廣義逆求解出的方程最小二乘解不滿足原始代數(shù)方程。

x = pinv(A)*B

后面會(huì)更新更高級(jí)的解法！

子曰：溫故而知新

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的MATLAB求线性代数的参数范围,MATLAB科学计算04（线性代数问题求解一）的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問(wèn)題。

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