Floyd算法及其应用
Part I-Introduction
Floyd算法是一種求圖上多源最短路徑的算法，適用于中小規(guī)模的圖，思維簡(jiǎn)單易懂。
Floyd算法的實(shí)質(zhì)是（區(qū)間）動(dòng)態(tài)規(guī)劃，在這里做一個(gè)簡(jiǎn)單的概述。
對(duì)于一個(gè)有\(n\)個(gè)結(jié)點(diǎn)的圖，
令\(dis[i][j]\)為結(jié)點(diǎn)\(i\)到結(jié)點(diǎn)\(j\)的最短路徑長(zhǎng)度。
首先，將所有現(xiàn)成的邊都存入\(dis\)，其余的令其值\(=\infty\)，并使\(dis[i][i]=0\)。
接著，枚舉中轉(zhuǎn)點(diǎn)（\(k\)），那么：
\[dis[i][j]=\min\{dis[i][k]+dis[k][j]\text{ | }k\in[1,n],k\ne i,k\ne j\}\]
代碼實(shí)現(xiàn)：
void Floyd() {memset(dis,0x3f3f3f3f,sizeof(dis));for(int i=1;i<=n;i++)for(int j=1;j<=n;j++)if(a[i][j]!=0x3f3f3f3f)邊(i,j)存在。dis[i][j]=a[i][j];//a為現(xiàn)存的邊。for(int i=1;i<=n;i++) dis[i][i]=0;for(int k=1;k<=n;k++)//枚舉中轉(zhuǎn)點(diǎn)。for(int i=1;i<=n;i++)for(int j=1;j<=n;j++){if(i==j||j==k||k==i) continue;dis[i][j]=min(dis[i][j],dis[i][k]+dis[k][j]);} }Attention：循環(huán)時(shí)\(k\)必須放在第一層。若將\(i\)置于第一層，就會(huì)導(dǎo)致i->k->j的距離過(guò)早的確定下來(lái)，可能會(huì)導(dǎo)致答案錯(cuò)誤。
注：其實(shí)最原始的Floyd中\(dis\)的定義是：\(dis[i][j][k]\)表示結(jié)點(diǎn)\(i\)到結(jié)點(diǎn)\(j\)只經(jīng)過(guò)結(jié)點(diǎn)\(i-k\)的最短路徑。 則有：\(dis[i][j][k]=min(dis[i][j][k-1],dis[i][k][k-1]+dis[k][j][k-1])\)，降維得到現(xiàn)在的方程。
時(shí)間復(fù)雜度：\(O(n^3)\)。
Part II-Sevral Simple Problems
Floyd算法可以解決許多看似無(wú)法處理的問(wèn)題。
Problem[1]:[USACO09JAN] Best Spot
鏈接：https://www.luogu.org/problemnew/show/P2935
題面：
此題較為簡(jiǎn)單，算法流程：
用Floyd處理出各個(gè)點(diǎn)間的最短路徑。
計(jì)算出每個(gè)點(diǎn)到各個(gè)Favorites的總距離。
選出總距離最小的點(diǎn)輸出即可。
Problem[2]:[JSOI2007]重要的城市
鏈接：https://www.luogu.org/problemnew/show/P1841
題面：
這一題比上一題略難，如何記錄中轉(zhuǎn)點(diǎn)？
Of course，在Floyd的時(shí)候。
令\(c[i][j]\)為結(jié)點(diǎn)\(i,j\)之間的最短路的中轉(zhuǎn)點(diǎn)，若無(wú)則為0；
在進(jìn)行對(duì)\(dis[i][j]\)的更新之時(shí)，我們不直接取min，而是先判斷以避免覆蓋。
因?yàn)槲覀冞€要進(jìn)行一個(gè)更重要的操作，that is，更新\(c[i][j]\)！
分情況討論：
1.\(dis[i][j]>dis[i][k]+dis[k][j]\)（需要更新）：此時(shí)結(jié)點(diǎn)\(i,j\)之間的最短路的中轉(zhuǎn)點(diǎn)就要發(fā)生改變，即\(c[i][j]=k\)，并更新\(dis[i][j]\)的值。
2.\(dis[i][j]=dis[i][k]+dis[k][j]\) ：這不僅說(shuō)明原先的\(c[i][j]\)已經(jīng)失效，而且意味著此時(shí)已經(jīng)不存在\(c[i][j]\)了（并不需要中轉(zhuǎn)點(diǎn)就有最短路了）。因此令\(c[i][j]=0\)。
3.\(dis[i][j]<dis[i][k]+dis[k][j]\)：此時(shí)的中轉(zhuǎn)點(diǎn)無(wú)法得到更優(yōu)的解，忽略。
這樣我們就處理好了\(c\)。對(duì)于結(jié)果的處理，可以利用桶排序的思想，令\(res[c[i][j]]=1\)。（res[N]:bool）
最后遍歷\(res\)，輸出答案（別忘了無(wú)解的處理！！！）。
#include<cstdio> #include<bitset> #include<cstring> using namespace std;const int N=205; int c[N][N]; int f[N][N]; int n,m;void Solve() {for(int i=1;i<=n;i++) f[i][i]=0;for(int k=1;k<=n;k++)for(int i=1;i<=n;i++)for(int j=1;j<=n;j++){if(i==j||j==k||i==k) continue;if(f[i][j]>f[i][k]+f[k][j])f[i][j]=f[i][k]+f[k][j],c[i][j]=k;else if(f[i][j]==f[i][k]+f[k][j])c[i][j]=0;} }bool res[N],flag=0; signed main() {memset(f,0x3f3f3f3f,sizeof(f));memset(c,0,sizeof(c));scanf("%d%d",&n,&m);for(int u,v,w,i=1;i<=m;i++){scanf("%d%d%d",&u,&v,&w);f[u][v]=f[v][u]=w;//f:=dis}Solve();for(int i=1;i<=n;i++)for(int j=1;j<=n;j++)res[c[i][j]]=1;for(int i=1;i<=n;i++)if(res[i]) printf("%d ",i),flag=1;if(!flag) puts("No important cities.");return 0; }Problem[3]:[NOI2007]社交網(wǎng)絡(luò)
鏈接：https://www.luogu.org/problemnew/show/P2047
題面：
這題貌似比上一題更復(fù)雜——要進(jìn)行路徑計(jì)數(shù)。
令\(cnt[i][j]\)為結(jié)點(diǎn)\(i,j\)之間的最短路徑條數(shù)。
還是在處理\(dis\)的時(shí)候處理\(cnt\)。
在分類討論之前，你需要知道一件事情：
假設(shè)我們已經(jīng)處理完了\(cnt[i][k]\)和\(cnt[k][j]\)，那么怎么知道\(cnt[i][j]\)的值？ 對(duì)于\(cnt[i][k]\)中的每條路徑，與\(cnt[k][j]\)配對(duì)，有\(cnt[k][j]\)條路徑。 那么\(cnt[i][k]\)條一起配對(duì)就是\(cnt[i][k]\times cnt[k][j]\)條，這就是\(cnt[i][j]\)的值。（說(shuō)白了就是乘法原理）
那么，再開(kāi)始分類討論：
1.\(dis[i][j]=dis[i][k]+dis[k][j]\)：又找到了一坨解，\(cnt[i][j]+=cnt[i][k]*cnt[k][j]\)（注意是+=！）。
2.\(dis[i][j]>dis[i][k]+dis[k][j]\) ：這代表有了新的解，原先的答案不能再用了，\(cnt[i][j]=cnt[i][k]*cnt[k][j]\)（注意是=！）。
3.\(dis[i][j]<dis[i][k]+dis[k][j]\)：此時(shí)的中轉(zhuǎn)點(diǎn)無(wú)法得到更優(yōu)的解，忽略。
處理完\(cnt\)后，那就意味著\(C_{s,t},C_{s,t}(v)\)什么的都出來(lái)了。
P.S.:建議cnt用double。
#include<cstdio> #include<algorithm> #include<cstring> using namespace std;const int N=105; int dis[N][N]; double cnt[N][N]; int n,m;signed main() {memset(dis,0x3f3f3f3f,sizeof(dis));memset(cnt,0,sizeof(cnt));scanf("%d%d",&n,&m);for(int u,v,w,i=1;i<=m;i++){scanf("%d%d%d",&u,&v,&w);dis[u][v]=dis[v][u]=min(w,dis[u][v]);cnt[u][v]=cnt[v][u]=1;}for(int i=1;i<=n;i++)dis[i][i]=0;for(int k=1;k<=n;k++)for(int i=1;i<=n;i++)for(int j=1;j<=n;j++){if(i==j||i==k||j==k) continue;if(dis[i][j]==dis[i][k]+dis[k][j])cnt[i][j]+=cnt[i][k]*cnt[k][j];else if(dis[i][j]>dis[i][k]+dis[k][j]){dis[i][j]=dis[i][k]+dis[k][j];cnt[i][j]=cnt[i][k]*cnt[k][j];}}for(int k=1;k<=n;k++){double ans=0;for(int i=1;i<=n;i++)for(int j=1;j<=n;j++){if(i==j||i==k||j==k) continue;if(dis[i][j]==dis[i][k]+dis[k][j])ans+=cnt[i][k]*cnt[k][j]*1.0/cnt[i][j];}printf("%.3lf\n",ans);} }Part III-EXT:最小環(huán)問(wèn)題
來(lái)看這么一個(gè)問(wèn)題：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1599
題面：
看似無(wú)從下手，但仍然是Floyd！
在更新\(dis\)前，我們已經(jīng)把\(1-(k-1)\)的情況處理好了。那么當(dāng)前的最小環(huán)就是：
\[\min\{a[i][k]+a[k][j]+dis[i][j]\}\]
先貼代碼：
#include<cstdio> #include<algorithm> #include<cstring> using namespace std;const int N=105; int a[N][N]; int dis[N][N]; int n,m;long long solve() {long long min_circle=0x3f3f3f3f;for(int k=1;k<=n;k++){for(int i=1;i<k;i++)for(int j=i+1;j<k;j++)min_circle=min(min_circle,1ll*a[i][k]+a[k][j]+dis[i][j]);for(int i=1;i<=n;i++)for(int j=1;j<=n;j++)dis[i][j]=min(dis[i][j],dis[i][k]+dis[k][j]);}return min_circle; }signed main() {while(scanf("%d%d",&n,&m)!=EOF){memset(a,0x3f3f3f3f,sizeof(a));for(int u,v,w,i=1;i<=m;i++){scanf("%d%d%d",&u,&v,&w);a[u][v]=a[v][u]=min(a[u][v],w);}for(int i=1;i<=n;i++)for(int j=1;j<=n;j++)dis[i][j]=a[i][j];long long res=solve();if(res!=0x3f3f3f3f) printf("%lld\n",res);else puts("It's impossible.");}return 0; }值得注意的是，\(i,j\)的循環(huán)范圍的控制，因?yàn)?span id="ozvdkddzhkzd" class="math inline">\(i,j,k\)不能相同。
至于為什么先處理最小環(huán)在更新路徑，當(dāng)然是為了使\(dis[i][j]\)不經(jīng)過(guò)\(k\)啊。
轉(zhuǎn)載于:https://www.cnblogs.com/-Wallace-/p/11165803.html
總結(jié)
以上是生活随笔為你收集整理的Floyd算法及其应用的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問(wèn)題。
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