昨天考試由于不會fwt而爆炸,所以今天搞了一下fwt……話說這玩意的普及程度已經(jīng)很高了.
fwt,快速沃爾什變換,可以用于位運算卷積的優(yōu)化,是一種線性變換,所以就會有許多好的性質(zhì)(eg:可以直接模,可以修改運算等). & | ^ 的變換定義與方法是基礎(chǔ),在此基礎(chǔ)上的擴展與運用是重要的地方.
HZOI #1572.宇宙序列
　　notes:

這就是造成我考試爆炸的考試題,見Contest Record

UOJ #310.【UNR #2】黎明前的巧克力
　　notes:

感覺比較靈活的一道題.首先寫出裸dp,之后會發(fā)現(xiàn)答案就是許多數(shù)組連續(xù)進(jìn)行fwt,這個時候經(jīng)過觀察會發(fā)現(xiàn),每個數(shù)組變換后每個位置上不是-1就是3這個時候我們可以對于每一位進(jìn)行單獨考慮,去算與這一位&之后有奇數(shù)位的數(shù)的個數(shù),以及與這一位&之后有偶數(shù)位的數(shù)的個數(shù),我們可以用fwt計算這個,然后計算每一位的最后答案,最后再ifwt回去.
思想:
　　I.感覺在fwt里利用對應(yīng)位相乘所導(dǎo)致的每一位互相獨立是許多fwt題目中解題的關(guān)鍵.
　　II.在這個題目中觀察性質(zhì)從而改變問題的思路很巧妙啊.

UOJ #267.【清華集訓(xùn)2016】魔法小程序
　　notes:

就是對于|運算fwt的擴展,看懂題意之后其實就是個加工板子的過程.不過,感覺那個數(shù)據(jù)范圍給的好迷啊,為什么int就可以呢……不會證明……

UOJ #300.【CTSC2017】吉夫特
　　notes:

題目比較傻逼,首先可以寫出n^2裸dp來,然后用Lucas定理可以證明出,一個組合數(shù)為奇數(shù)的充要條件,然后就可以枚舉子集來dp了,是O(3^18).
實際上這題可以做得更加優(yōu)秀.
首先這題可以進(jìn)行序列上的分塊,做到O(2^27).
然后這道題還可以用二進(jìn)制分塊來動態(tài)維護(hù)&運算fwt數(shù)組,從而做到O(6^9).
思想:用Lucas定理來進(jìn)行組合數(shù)相關(guān)的證明(我反正是沒想到這玩意)、分塊思想(序列分塊、二進(jìn)制分塊).
技巧:枚舉子集是i=(i-1)&x,枚舉父集是i=(i+1)|x.

UOJ #348.【W(wǎng)C2018】州區(qū)劃分
　　notes:

先寫出O(3^n)的傻逼dp,然后開始優(yōu)化.
發(fā)現(xiàn)轉(zhuǎn)移是子集卷積的形式,于是考慮進(jìn)行子集卷積,然后這題就完事了.
子集卷積:
　　f(i)=sigma [j|k=i,j&k=0] g(j)*h(k);
　　轉(zhuǎn)化為f(c,i)=sigma [j|k=i,|j|+|k|=c] g(j)*h(k)
　　這個時候我們原來的子集卷積,就變?yōu)榱硕S卷積(也就是加法卷積套|運算卷積),顯然第一維卷積可以直接計算,第二維卷積fwt就可以了,于是子集卷積的復(fù)雜度從O(3^n)優(yōu)化到了O(n^2*2^n).

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轉(zhuǎn)載于:https://www.cnblogs.com/TSHugh/p/8897926.html

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的Notes of fwt的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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