昨天考試由于不會fwt而爆炸,所以今天搞了一下fwt……話說這玩意的普及程度已經很高了.
fwt,快速沃爾什變換,可以用于位運算卷積的優化,是一種線性變換,所以就會有許多好的性質(eg:可以直接模,可以修改運算等). & | ^ 的變換定義與方法是基礎,在此基礎上的擴展與運用是重要的地方.
HZOI #1572.宇宙序列
　　notes:

這就是造成我考試爆炸的考試題,見Contest Record

UOJ #310.【UNR #2】黎明前的巧克力
　　notes:

感覺比較靈活的一道題.首先寫出裸dp,之后會發現答案就是許多數組連續進行fwt,這個時候經過觀察會發現,每個數組變換后每個位置上不是-1就是3這個時候我們可以對于每一位進行單獨考慮,去算與這一位&之后有奇數位的數的個數,以及與這一位&之后有偶數位的數的個數,我們可以用fwt計算這個,然后計算每一位的最后答案,最后再ifwt回去.
思想:
　　I.感覺在fwt里利用對應位相乘所導致的每一位互相獨立是許多fwt題目中解題的關鍵.
　　II.在這個題目中觀察性質從而改變問題的思路很巧妙啊.

UOJ #267.【清華集訓2016】魔法小程序
　　notes:

就是對于|運算fwt的擴展,看懂題意之后其實就是個加工板子的過程.不過,感覺那個數據范圍給的好迷啊,為什么int就可以呢……不會證明……

UOJ #300.【CTSC2017】吉夫特
　　notes:

題目比較傻逼,首先可以寫出n^2裸dp來,然后用Lucas定理可以證明出,一個組合數為奇數的充要條件,然后就可以枚舉子集來dp了,是O(3^18).
實際上這題可以做得更加優秀.
首先這題可以進行序列上的分塊,做到O(2^27).
然后這道題還可以用二進制分塊來動態維護&運算fwt數組,從而做到O(6^9).
思想:用Lucas定理來進行組合數相關的證明(我反正是沒想到這玩意)、分塊思想(序列分塊、二進制分塊).
技巧:枚舉子集是i=(i-1)&x,枚舉父集是i=(i+1)|x.

UOJ #348.【WC2018】州區劃分
　　notes:

先寫出O(3^n)的傻逼dp,然后開始優化.
發現轉移是子集卷積的形式,于是考慮進行子集卷積,然后這題就完事了.
子集卷積:
　　f(i)=sigma [j|k=i,j&k=0] g(j)*h(k);
　　轉化為f(c,i)=sigma [j|k=i,|j|+|k|=c] g(j)*h(k)
　　這個時候我們原來的子集卷積,就變為了二維卷積(也就是加法卷積套|運算卷積),顯然第一維卷積可以直接計算,第二維卷積fwt就可以了,于是子集卷積的復雜度從O(3^n)優化到了O(n^2*2^n).

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轉載于:https://www.cnblogs.com/TSHugh/p/8897926.html

總結

以上是生活随笔為你收集整理的Notes of fwt的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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