來自：http://blog.csdn.net/l04205613/article/details/6278394

node ?1：最小路徑覆蓋

在一個ＰＸＰ的有向圖中，路徑覆蓋就是在圖中找一些路經，使之覆蓋了圖中的 所有頂點，且任何一個頂點有且只有一條路徑與之關聯；（如果把這些路徑中的每條路徑從它的起始點走到它的終點，那么恰好可以經過圖中的每個頂點一次且僅一 次）；如果不考慮圖中存在回路，那么每條路徑就是一個弱連通子集．
由上面可以得出：
１.一個單獨的頂點是一條路徑；
２．如果存在一路徑p1,p2,......pk，其中p1 為起點，pk為終點，那么在覆蓋圖中，頂點p1,p2,......pk不再與其它的頂點之間存在有向邊．
最小路徑覆蓋就是找出最小的路徑條數，使之成為Ｐ的一個路徑覆蓋．
路徑覆蓋與二分圖匹配的關系：
最小路徑覆蓋＝｜Ｐ｜－最大匹配數；
其中最大匹配數的求法是把Ｐ中的每個頂點pi分成兩個頂點pi'與pi''，如果在p中存在一條pi到pj的邊，那么在二分圖Ｐ＇中就有一條連接pi'與pj''的無向邊；這里pi' 就是p中pi的出邊，pj''就是p中pj 的一條入邊；

對于公式：最小路徑覆蓋＝｜Ｐ｜－最大匹配數；

可以這么來理解：

如果匹配數為零，那么Ｐ中不存在有向邊，于是顯然有：

最小路徑覆蓋＝｜Ｐ｜－最大匹配數＝｜Ｐ｜－０＝｜Ｐ｜；

即Ｐ的最小路徑覆蓋數為｜Ｐ｜；

Ｐ＇中不在于匹配邊時，路徑覆蓋數為｜Ｐ｜；

如果在Ｐ＇中增加一條匹配邊pi'－－＞pj''，那么在圖P的路徑覆蓋中就存在一條由pi連接pj的邊，也就是說pi與pj 在一條路徑上，于是路徑覆蓋數就可以減少一個；

如此繼續增加匹配邊，每增加一條，路徑覆蓋數就減少一條；直到匹配邊不能繼續增加時，路 徑覆蓋數也不能再減少了，此時就有了前面的公式；但是這里只是說話了每條匹配邊對應于路徑覆蓋中的一條路徑上的一條連接兩個點之間的有向邊；下面來說明一 個路徑覆蓋中的每條連接兩個頂點之間的有向邊對應于一條匹配邊；

與前面類似，對于路徑覆蓋中的每條連接兩個頂點之間的每條有向邊 pi--->pj，我們可以在匹配圖中對應做一條連接pi'與pj''的邊，顯然這樣做出來圖的是一個匹配圖（這一點用反證法很容易證明，如果得到 的圖不是一個匹配圖，那么這個圖中必定存在這樣兩條邊??pi'---pj'' 及 pi' ----pk''，（j!=k），那么在路徑覆蓋圖中就存在了兩條邊pi-->pj, pi--->pk ，那邊從pi出發的路徑就不止一條了，這與路徑覆蓋圖是矛盾的；還有另外一種情況就是存在pi'---pj'',pk'---pj''，這種情況也類似可證）；

至此，就說明了匹配邊與路徑覆蓋圖中連接兩頂點之間邊的一一對應關系，那么也就說明了前面的公式成立！

（摘自：http://www.cppblog.com/SHFACM/archive/2009/02/05/73050.html）

下面的幾道題都是這類題目，可以練練手：

zoj 1364 || poj 1325?

zoj 1525 || poj 1422

node ?2：最小點覆蓋

二分圖中，選取最少的點數，使這些點和所有的邊都有關聯（把所有的邊的覆蓋），叫做最小點覆蓋。
最小點覆蓋數 = 最大匹配數

證明：http://hi.baidu.com/keeponac/blog/item/1764bec86f820f8dc91768b7.html

node ?3：最大獨立點集

?

在一個二分圖中,選擇一些頂點,使得所選擇的點集中任意兩個頂點之間沒有邊相連 可以證明，最大獨立頂點集 = 總頂點數 - 最大匹配數 摘自：http://my.opera.com/IloveLunamaria/blog/show.dml/810972
PS：由上面結論可得，最小覆蓋點集和最大獨立點集互補，即 最小點覆蓋 + 最大獨立點集 = 總頂點數
類似的，在帶點權的二分圖中，最小點權覆蓋集 + 最大點權獨立集 = 總權和

轉載于:https://www.cnblogs.com/gongxijun/p/3928021.html

總結

以上是生活随笔為你收集整理的最小路径覆盖，最小点覆盖，最大独立点集（转）的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

如果覺得生活随笔網站內容還不錯，歡迎將生活随笔推薦給好友。