斐波納契數(shù)列（Fibonacci Sequence），又稱黃金分割數(shù)列。

指的是這樣一個(gè)數(shù)列：1、1、2、3、5、8、13、21、……這個(gè)數(shù)列從第三項(xiàng)開始，每一項(xiàng)都等于前兩項(xiàng)之和。

在數(shù)學(xué)上，斐波納契數(shù)列以如下被以遞歸的方法定義：F0=0，F1=1，Fn=F(n-1)+F(n-2)（n>=2，n∈N*）在現(xiàn)代物理、準(zhǔn)晶體結(jié)構(gòu)、化學(xué)等領(lǐng)域，斐波納契數(shù)列都有直接的應(yīng)用。

斐波那契數(shù)列的發(fā)明者，是意大利數(shù)學(xué)家列昂納多·斐波那契（Leonardo Fibonacci）。

與黃金分割的關(guān)系

有趣的是：這樣一個(gè)完全是自然數(shù)的數(shù)列，通項(xiàng)公式卻是用無理數(shù)來表達(dá)的。而且當(dāng)n趨向于無窮大時(shí)，后一項(xiàng)與前一項(xiàng)的比值的小數(shù)部分越來越逼近黃金分割0.618. 1÷1=1，2÷1=2，3÷2=1.5，5÷3=1.666...，8÷5=1.6，…………，89÷55=1.6181818…，…………233÷144=1.618055…75025÷46368=1.6180339889…...

越到后面，這些比值越接近黃金比。

證明：

a[n+2]=a[n+1]+a[n]。

兩邊同時(shí)除以a[n+1]得到：

a[n+2]/a[n+1]=1+a[n]/a[n+1]。

若a[n+1]/a[n]的極限存在，設(shè)其極限為x，

則lim[n->；∞](a[n+2]/a[n+1])=lim[n->；∞](a[n+1]/a[n])=x。

所以x=1+1/x。

即x²=x+1。

所以極限是黃金分割比..

如果你看到有這樣一個(gè)題目：

某人把一個(gè)8*8的方格切成四塊，拼成一個(gè)5*13的長(zhǎng)方形，故作驚訝地問你：為什么64=65？

其實(shí)就是利用了斐波那契數(shù)列的這個(gè)性質(zhì)：5、8、13正是數(shù)列中相鄰的三項(xiàng)，事實(shí)上前后兩塊的面積確實(shí)差1，只不過后面那個(gè)圖中有一條細(xì)長(zhǎng)的狹縫，一般人不容易注意到。

在楊輝三角中隱藏著斐波那契數(shù)列

斐波那契數(shù)列的整除性與素?cái)?shù)生成性

每3個(gè)數(shù)有且只有一個(gè)被2整除，

每4個(gè)數(shù)有且只有一個(gè)被3整除，

每5個(gè)數(shù)有且只有一個(gè)被5整除，

每6個(gè)數(shù)有且只有一個(gè)被8整除，

每7個(gè)數(shù)有且只有一個(gè)被13整除，

每8個(gè)數(shù)有且只有一個(gè)被21整除，

每9個(gè)數(shù)有且只有一個(gè)被34整除，　

.......

我們看到第5、7、11、13、17、23位分別是素?cái)?shù)：5，13，89，233，1597，28657（第19位不是）

斐波那契數(shù)列的素?cái)?shù)無限多嗎？

斐波那契數(shù)列的個(gè)位數(shù)：一個(gè)60步的循環(huán)

11235,83145,94370,77415,61785.38190,99875,27965,16730,33695,49325,72910…

斐波那契數(shù)列中是否存在無窮多個(gè)素?cái)?shù)？[維基百科]

在斐波那契數(shù)列中，有素?cái)?shù)：

2,3,5,13,89,233,1597,28657,514229,433494437,2971215073,99194853094755497,1066340417491710595814572169,19134702400093278081449423917……

目前已知最大素?cái)?shù)是第81839個(gè)斐波那契數(shù)，一共有17103位數(shù)。

相關(guān)的數(shù)學(xué)問題

1.排列組合

有一段樓梯有10級(jí)臺(tái)階，規(guī)定每一步只能跨一級(jí)或兩級(jí)，要登上第10級(jí)臺(tái)階有幾種不同的走法?

這就是一個(gè)斐波那契數(shù)列：

登上第一級(jí)臺(tái)階有一種登法；登上兩級(jí)臺(tái)階，有兩種登法；登上三級(jí)臺(tái)階，有三種登法；登上四級(jí)臺(tái)階，有五種登法……

1，2，3，5，8，13……所以，登上十級(jí)，有89種走法。

類似的，一枚均勻的硬幣擲10次，問不連續(xù)出現(xiàn)正面的可能情形有多少種？

答案是（1/√5)*{[(1+√5)/2]^（10+2） - [(1-√5)/2]^（10+2）}=144種。

2.數(shù)列中相鄰兩項(xiàng)的前項(xiàng)比后項(xiàng)的極限

當(dāng)n趨于無窮大時(shí)，F(n)/F(n+1）的極限是多少？

這個(gè)可由它的通項(xiàng)公式直接得到，極限是（-1+√5)/2，這個(gè)就是黃金分割的數(shù)值，也是代表大自然的和諧的一個(gè)數(shù)字。

3.求遞推數(shù)列a(1)=1，a(n+1)=1+1/a(n）的通項(xiàng)公式

由數(shù)學(xué)歸納法可以得到：a(n)=F(n+1)/F(n），將斐波那契數(shù)列的通項(xiàng)式代入，化簡(jiǎn)就得結(jié)果。

4.兔子繁殖問題（關(guān)于斐波那契數(shù)列的別名）

斐波那契數(shù)列又因數(shù)學(xué)家列昂納多·斐波那契以兔子繁殖為例子而引入，故又稱為“兔子數(shù)列”。

一般而言，兔子在出生兩個(gè)月后，就有繁殖能力，一對(duì)兔子每個(gè)月能生出一對(duì)小兔子來。如果所有兔都不死，那么一年以后可以繁殖多少對(duì)兔子？

我們不妨拿新出生的一對(duì)小兔子分析一下：

第一個(gè)月小兔子沒有繁殖能力，所以還是一對(duì)

兩個(gè)月后，生下一對(duì)小兔民數(shù)共有兩對(duì)

三個(gè)月以后，老兔子又生下一對(duì)，因?yàn)樾⊥米舆€沒有繁殖能力，所以一共是三對(duì)

－－－－－－ 依次類推可以列出下表：

經(jīng)過月數(shù)	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
幼仔對(duì)數(shù)	1	0	1	1	2	3	5	8	13	21	34	55	89
成兔對(duì)數(shù)	0	1	1	2	3	5	8	13	21	34	55	89	144
總體對(duì)數(shù)	1	1	2	3	5	8	13	21	34	55	89	144	233

幼仔對(duì)數(shù)=前月成兔對(duì)數(shù)

成兔對(duì)數(shù)=前月成兔對(duì)數(shù)+前月幼仔對(duì)數(shù)

總體對(duì)數(shù)=本月成兔對(duì)數(shù)+本月幼仔對(duì)數(shù)

可以看出幼仔對(duì)數(shù)、成兔對(duì)數(shù)、總體對(duì)數(shù)都構(gòu)成了一個(gè)數(shù)列。這個(gè)數(shù)列有關(guān)十分明顯的特點(diǎn)，那是：前面相鄰兩項(xiàng)之和，構(gòu)成了后一項(xiàng)。

這個(gè)數(shù)列是意大利中世紀(jì)數(shù)學(xué)家斐波那契在<；算盤全書>；中提出的，這個(gè)級(jí)數(shù)的通項(xiàng)公式，除了具有a(n+2)=an+a(n+1）的性質(zhì)外，還可以證明通項(xiàng)公式為：an=（1/√5）*{[(1+√5)/2]^n-[(1-√5)/2]^n}（n=1,2,3.....）`````

可惜本人是文科生，看不懂也不記得那些所謂的數(shù)學(xué)公式了，以前素材只摘選感興趣的部分。

來源于百度：http://baike.baidu.com/view/816.htm

我只感興趣的是后面這幾段代碼的實(shí)現(xiàn)：

package?com.tudou.t1; ?

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import?java.math.BigInteger; ?

import?java.util.Scanner; ?

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?*?斐波那契數(shù)列?1,2,3,5,8,13,21....[] ?

?*? ?

?*?@author?lz ?

?*? ?

?*/?

public?class?Fibonacci?{ ?

????public?static?void?main(String[]?args)?{ ?

????????fib();//常規(guī)算法 ?

????????System.out.println(compute2(5));//計(jì)算第n個(gè)斐波那契數(shù)列的數(shù) ?

????????fibHign();//?Java語言程序（高精度，約一秒鐘計(jì)算第20000個(gè)數(shù)值） ?

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????????System.out.println(x); ?

????????for?(int?i?=?1;?i?<=?5;?i++)?{ ?

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????????????y?=?x?+?y; ?

????????????x?=?y?-?x; ?

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????public?static?BigInteger?compute2(int?n)?{ ?

????????if?(n?==?1?||?n?==?2)?{ ?

????????????return?BigInteger.ONE; ?

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????????BigInteger?num1?=?BigInteger.ONE; ?

????????BigInteger?num2?=?BigInteger.ONE; ?

????????BigInteger?result?=?BigInteger.ZERO; ?

????????for?(int?i?=?2;?i?<?n;?i++)?{ ?

????????????result?=?num1.add(num2); ?

????????????num2?=?num1; ?

????????????num1?=?result; ?

????????} ?

????????return?result; ?

????} ?

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????//?Java語言程序（高精度，約一秒鐘計(jì)算第20000個(gè)數(shù)值） ?

????private?static?void?fibHign()?{ ?

????????Scanner?s?=?new?Scanner(System.in); ?

????????System.out.print("請(qǐng)輸入一個(gè)整數(shù):"); ?

????????int?n?=?s.nextInt(); ?

????????do?{ ?

????????????cul(n); ?

????????????n?=?s.nextInt(); ?

????????}?while?(n?>?0);//?當(dāng)n<=0時(shí)終止 ?

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????????BigIntT?b?=?new?BigIntT(); ?

????????BigIntT?a?=?new?BigIntT(); ?

????????b.formatBigInt("1"); ?

????????a.formatBigInt("2"); ?

????????if?(n?==?1?||?n?==?2)?{ ?

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????????for?(;?i?<=?n;?i++)?{ ?

????????????if?(i?%?2?>?0) ?

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????????BigIntT?t?=?null; ?

????????if?(i?%?2?>?0) ?

????????????t?=?b; ?

????????else?

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????????for?(int?j?=?t.getPos();?j?<?100000;?j++) ?

????????????System.out.print(t.getBase(j)); ?

????????System.out.println(); ?

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????????return?base[index]; ?

????} ?

} ?

控制臺(tái)輸出結(jié)果為：

1 1 2 3 5 8 5

請(qǐng)輸入一個(gè)整數(shù):500

139423224561697880139724382870407283950070256587697307264108962948325571622863290

691557658876222521294125

轉(zhuǎn)載于:https://www.cnblogs.com/orion/archive/2012/04/15/2450298.html

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的Think in Java之斐波那契数列的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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