矩陣翻硬幣

問題描述

小明先把硬幣擺成了一個 n 行 m 列的矩陣。隨后，小明對每一個硬幣分別進行一次 Q 操作。對第x行第y列的硬幣進行 Q 操作的定義：將所有第 i*x 行，第 j*y 列的硬幣進行翻轉。其中i和j為任意使操作可行的正整數，行號和列號都是從1開始。當小明對所有硬幣都進行了一次 Q 操作后，他發現了一個奇跡——所有硬幣均為正面朝上。小明想知道最開始有多少枚硬幣是反面朝上的。于是，他向他的好朋友小M尋求幫助。

聰明的小M告訴小明，只需要對所有硬幣再進行一次Q操作，即可恢復到最開始的狀態。然而小明很懶，不愿意照做。于是小明希望你給出他更好的方法。幫他計算出答案。

輸入格式
　　輸入數據包含一行，兩個正整數 n m，含義見題目描述。
輸出格式
　　輸出一個正整數，表示最開始有多少枚硬幣是反面朝上的。
樣例輸入
2 3
樣例輸出
1
數據規模和約定
　　對于10%的數據，n、m <= 10^3；
　　對于20%的數據，n、m <= 10^7；
　　對于40%的數據，n、m <= 10^15；

　　對于10%的數據，n、m <= 10^1000（10的1000次方）

思路分析：小M的思路確實能夠解決這個問題，但是我們看看下面的數據規模就可以發現，這種方法是不能解決100%的問題的。數據量太龐大了，暴力的方式必然出不來結果。

如果一個硬幣反轉了n次后正面朝上，且初始狀態為反面朝上，那么n一定是個奇數。根據題意“?對第x行第y列的硬幣進行 Q 操作的定義：將所有第 i*x 行，第 j*y 列的硬幣進行翻轉”。我們逆向的理解這個意思，對與一個橫坐標為x的硬幣而言，我們反轉那些硬幣時會需要翻轉它呢？答案是橫坐標的x的約數。例如x=9時，翻轉橫坐標為1,3,9的時候會影響它的翻轉，縱坐標同理。

那么這個題目我們就可以通過求解擁有奇數個約數的數來實現，在數學上這種數字又叫做完全平方數。即1,4,9,16,25......（2^n）

我們知道矩陣的行號和列號是從1開始的，橫坐標1-n，縱坐標1-m，那么我們需要解決的就是區間的完全平方數的個數問題，最后相乘即可得到（相乘是因為橫坐標的翻轉會影響縱坐標，縱坐標的翻轉也會影響橫坐標）。

注意：這里會涉及到大數開方的問題，不理解的讀者可以參考JAVA應試技巧----大數開方，還要注意在存儲數據時采用的變量類型，以及數據之間的轉換。

import java.math.BigInteger; import java.util.Arrays; import java.util.Scanner;public class Main {public static void main(String[] args) {Scanner in = new Scanner(System.in);String n = in.next();String m = in.next();BigInteger ans = (sqrt(n)).multiply(sqrt(m));System.out.println(ans);}private static BigInteger sqrt(String num) {int length = num.length(); int sqrt_len = 0; // 獲取長度if(length % 2 == 0) {sqrt_len = length / 2;} else {sqrt_len = length / 2 + 1;}BigInteger beSqrtNum = new BigInteger(num);char[] ch = new char[sqrt_len]; Arrays.fill(ch, '0'); for(int i = 0; i < sqrt_len; i++) { for(char j = '1'; j <= '9'; j++ ) {ch[i] = j;String s = String.valueOf(ch);BigInteger sqrtNum = new BigInteger(s);BigInteger squareNum = sqrtNum.multiply(sqrtNum);if(squareNum.compareTo(beSqrtNum) == 1) {ch[i] -= 1;break;}}}return new BigInteger(String.valueOf(ch));} }

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總結

以上是生活随笔為你收集整理的蓝桥杯历届试题----矩阵翻硬币的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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