矩陣翻硬幣

問(wèn)題描述

小明先把硬幣擺成了一個(gè) n 行 m 列的矩陣。隨后，小明對(duì)每一個(gè)硬幣分別進(jìn)行一次 Q 操作。對(duì)第x行第y列的硬幣進(jìn)行 Q 操作的定義：將所有第 i*x 行，第 j*y 列的硬幣進(jìn)行翻轉(zhuǎn)。其中i和j為任意使操作可行的正整數(shù)，行號(hào)和列號(hào)都是從1開始。當(dāng)小明對(duì)所有硬幣都進(jìn)行了一次 Q 操作后，他發(fā)現(xiàn)了一個(gè)奇跡——所有硬幣均為正面朝上。小明想知道最開始有多少枚硬幣是反面朝上的。于是，他向他的好朋友小M尋求幫助。

聰明的小M告訴小明，只需要對(duì)所有硬幣再進(jìn)行一次Q操作，即可恢復(fù)到最開始的狀態(tài)。然而小明很懶，不愿意照做。于是小明希望你給出他更好的方法。幫他計(jì)算出答案。

輸入格式
　　輸入數(shù)據(jù)包含一行，兩個(gè)正整數(shù) n m，含義見(jiàn)題目描述。
輸出格式
　　輸出一個(gè)正整數(shù)，表示最開始有多少枚硬幣是反面朝上的。
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數(shù)據(jù)規(guī)模和約定
　　對(duì)于10%的數(shù)據(jù)，n、m <= 10^3；
　　對(duì)于20%的數(shù)據(jù)，n、m <= 10^7；
　　對(duì)于40%的數(shù)據(jù)，n、m <= 10^15；

　　對(duì)于10%的數(shù)據(jù)，n、m <= 10^1000（10的1000次方）

思路分析：小M的思路確實(shí)能夠解決這個(gè)問(wèn)題，但是我們看看下面的數(shù)據(jù)規(guī)模就可以發(fā)現(xiàn)，這種方法是不能解決100%的問(wèn)題的。數(shù)據(jù)量太龐大了，暴力的方式必然出不來(lái)結(jié)果。

如果一個(gè)硬幣反轉(zhuǎn)了n次后正面朝上，且初始狀態(tài)為反面朝上，那么n一定是個(gè)奇數(shù)。根據(jù)題意“?對(duì)第x行第y列的硬幣進(jìn)行 Q 操作的定義：將所有第 i*x 行，第 j*y 列的硬幣進(jìn)行翻轉(zhuǎn)”。我們逆向的理解這個(gè)意思，對(duì)與一個(gè)橫坐標(biāo)為x的硬幣而言，我們反轉(zhuǎn)那些硬幣時(shí)會(huì)需要翻轉(zhuǎn)它呢？答案是橫坐標(biāo)的x的約數(shù)。例如x=9時(shí)，翻轉(zhuǎn)橫坐標(biāo)為1,3,9的時(shí)候會(huì)影響它的翻轉(zhuǎn)，縱坐標(biāo)同理。

那么這個(gè)題目我們就可以通過(guò)求解擁有奇數(shù)個(gè)約數(shù)的數(shù)來(lái)實(shí)現(xiàn)，在數(shù)學(xué)上這種數(shù)字又叫做完全平方數(shù)。即1,4,9,16,25......（2^n）

我們知道矩陣的行號(hào)和列號(hào)是從1開始的，橫坐標(biāo)1-n，縱坐標(biāo)1-m，那么我們需要解決的就是區(qū)間的完全平方數(shù)的個(gè)數(shù)問(wèn)題，最后相乘即可得到（相乘是因?yàn)闄M坐標(biāo)的翻轉(zhuǎn)會(huì)影響縱坐標(biāo)，縱坐標(biāo)的翻轉(zhuǎn)也會(huì)影響橫坐標(biāo)）。

注意：這里會(huì)涉及到大數(shù)開方的問(wèn)題，不理解的讀者可以參考JAVA應(yīng)試技巧----大數(shù)開方，還要注意在存儲(chǔ)數(shù)據(jù)時(shí)采用的變量類型，以及數(shù)據(jù)之間的轉(zhuǎn)換。

import java.math.BigInteger; import java.util.Arrays; import java.util.Scanner;public class Main {public static void main(String[] args) {Scanner in = new Scanner(System.in);String n = in.next();String m = in.next();BigInteger ans = (sqrt(n)).multiply(sqrt(m));System.out.println(ans);}private static BigInteger sqrt(String num) {int length = num.length(); int sqrt_len = 0; // 獲取長(zhǎng)度if(length % 2 == 0) {sqrt_len = length / 2;} else {sqrt_len = length / 2 + 1;}BigInteger beSqrtNum = new BigInteger(num);char[] ch = new char[sqrt_len]; Arrays.fill(ch, '0'); for(int i = 0; i < sqrt_len; i++) { for(char j = '1'; j <= '9'; j++ ) {ch[i] = j;String s = String.valueOf(ch);BigInteger sqrtNum = new BigInteger(s);BigInteger squareNum = sqrtNum.multiply(sqrtNum);if(squareNum.compareTo(beSqrtNum) == 1) {ch[i] -= 1;break;}}}return new BigInteger(String.valueOf(ch));} }

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總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的蓝桥杯历届试题----矩阵翻硬币的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問(wèn)題。

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