最小生成樹

最小生成樹（minimum spanning tree）是由n個頂點，n-1條邊，將一個連通圖連接起來，且使權值最小的結構。
最小生成樹可以用Prim（普里姆）算法或kruskal（克魯斯卡爾）算法求出。

我們將以下面的帶權連通圖為例講解這兩種算法的實現：

注：由于測試輸入數據較多，程序可以采用文件輸入

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Prim（普里姆）算法
時間復雜度：O（N^2）（N為頂點數）
prim算法又稱“加點法”，用于邊數較多的帶權無向連通圖
方法：每次找與之連線權值最小的頂點，將該點加入最小生成樹集合中
注意：相同權值任選其中一個即可，但是不允許出現閉合回路的情況。

代碼部分通過以下步驟可以得到最小生成樹：

1.初始化：
lowcost[i]:表示以i為終點的邊的最小權值,當lowcost[i]=0表示i點加入了MST。
mst[i]:表示對應lowcost[i]的起點，當mst[i]=0表示起點i加入MST。
由于我們規定最開始的頂點是1，所以lowcost[1]=0，MST[1]=0。即只需要對2~n進行初始化即可。

#define MAX 100 #define MAXCOST 0x7fffffff int graph[MAX][MAX]; void prim(int graph[][MAX], int n) { int lowcost[MAX]; int mst[MAX]; int i, j, min, minid, sum = 0; for (i = 2; i <= n; i++) { lowcost[i] = graph[1][i];//lowcost存放頂點1可達點的路徑長度 mst[i] = 1;//初始化以1位起始點 } mst[1] = 0;

2.查找最小權值及路徑更新
定義一個最小權值min和一個最小頂點ID minid，通過循環查找出min和minid，另外由于規定了某一頂點如果被連入，則lowcost[i]=0，所以不需要擔心重復點問題。所以找出的終點minid在MST[i]中可以找到對應起點，min為權值，直接輸出即可。
我們連入了一個新的頂點，自然需要對這一點可達的路徑及權值進行更新，所以循環中還應該包括路徑更新的代碼。

for (i = 2; i <= n; i++) { min = MAXCOST; minid = 0; for (j = 2; j <= n; j++) { if (lowcost[j] < min && lowcost[j] != 0) { min = lowcost[j];//找出權值最短的路徑長度 minid = j; //找出最小的ID } } printf("V%d-V%d=%d\n",mst[minid],minid,min); sum += min;//求和 lowcost[minid] = 0;//該處最短路徑置為0 for (j = 2; j <= n; j++){ if (graph[minid][j] < lowcost[j])//對這一點直達的頂點進行路徑更新 { lowcost[j] = graph[minid][j]; mst[j] = minid;} } } printf("最小權值之和=%d\n",sum); }

具體代碼如下：

#include<stdio.h> #define MAX 100 #define MAXCOST 0x7fffffff int graph[MAX][MAX]; void prim(int graph[][MAX], int n) { int lowcost[MAX]; int mst[MAX]; int i, j, min, minid, sum = 0; for (i = 2; i <= n; i++) { lowcost[i] = graph[1][i];//lowcost存放頂點1可達點的路徑長度 mst[i] = 1;//初始化以1位起始點 } mst[1] = 0; for (i = 2; i <= n; i++) { min = MAXCOST; minid = 0; for (j = 2; j <= n; j++) { if (lowcost[j] < min && lowcost[j] != 0) { min = lowcost[j];//找出權值最短的路徑長度 minid = j; //找出最小的ID } } printf("V%d-V%d=%d\n",mst[minid],minid,min); sum += min;//求和 lowcost[minid] = 0;//該處最短路徑置為0 for (j = 2; j <= n; j++){ if (graph[minid][j] < lowcost[j])//對這一點直達的頂點進行路徑更新 { lowcost[j] = graph[minid][j]; mst[j] = minid;} } } printf("最小權值之和=%d\n",sum); } int main() { int i, j, k, m, n; int x, y, cost; //freopen("1.txt","r",stdin);//文件輸入 scanf("%d%d",&m,&n);//m=頂點的個數，n=邊的個數 for (i = 1; i <= m; i++)//初始化圖 { for (j = 1; j <= m; j++) { graph[i][j] = MAXCOST; } } for (k = 1; k <= n; k++) { scanf("%d%d%d",&i,&j,&cost);graph[i][j] = cost; graph[j][i] = cost; } prim(graph, m); return 0; }

編譯運行結果：

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kruskal（克魯斯卡爾）算法
時間復雜度：O（NlogN）（N為邊數）
kruskal算法又稱“加邊法”，用于邊數較少的稀疏圖
方法：每次找圖中權值最小的邊，將邊連接的兩個頂點加入最小生成樹集合中
注意：相同權值任選其中一個即可，但是不允許出現閉合回路的情況。






代碼部分通過以下步驟可以得到最小生成樹：

1.初始化：
構建邊的結構體，包括起始頂點、終止頂點，邊的權值
借用一個輔助數組vset[i]用來判斷某邊是否加入了最小生成樹集合

#define MAXE 100 #define MAXV 100 typedef struct{int vex1; //邊的起始頂點int vex2; //邊的終止頂點int weight; //邊的權值 }Edge; void kruskal(Edge E[],int n,int e) { int i,j,m1,m2,sn1,sn2,k,sum=0;int vset[n+1];for(i=1;i<=n;i++) //初始化輔助數組vset[i]=i;k=1;//表示當前構造最小生成樹的第k條邊，初值為1j=0;//E中邊的下標，初值為0

2.取邊和輔助集合更新
按照***排好的順序***依次取邊，若不屬于同一集合則將其加入最小生成樹集合，每當加入新的邊，所連接的兩個點即納入最小生成樹集合，為避免重復添加，需要進行輔助集合更新
注：由于kruskal算法需要按照權值大小順序取邊，所以應該事先對圖按權值升序，這里我采用了快速排序算法，具體算法可以參照快速排序（C語言）

while(k<e)//生成的邊數小于e時繼續循環{m1=E[j].vex1;m2=E[j].vex2;//取一條邊的兩個鄰接點sn1=vset[m1];sn2=vset[m2]; //分別得到兩個頂點所屬的集合編號if(sn1!=sn2)//兩頂點分屬于不同的集合，該邊是最小生成樹的一條邊{//防止出現閉合回路 printf("V%d-V%d=%d\n",m1,m2,E[j].weight);sum+=E[j].weight;k++; //生成邊數增加if(k>=n)break;for(i=1;i<=n;i++) //兩個集合統一編號if (vset[i]==sn2) //集合編號為sn2的改為sn1vset[i]=sn1;}j++; //掃描下一條邊}printf("最小權值之和=%d\n",sum); }

具體算法實現：

#include <stdio.h> #define MAXE 100 #define MAXV 100 typedef struct{int vex1; //邊的起始頂點int vex2; //邊的終止頂點int weight; //邊的權值 }Edge; void kruskal(Edge E[],int n,int e) { int i,j,m1,m2,sn1,sn2,k,sum=0;int vset[n+1];for(i=1;i<=n;i++) //初始化輔助數組vset[i]=i;k=1;//表示當前構造最小生成樹的第k條邊，初值為1j=0;//E中邊的下標，初值為0while(k<e)//生成的邊數小于e時繼續循環{m1=E[j].vex1;m2=E[j].vex2;//取一條邊的兩個鄰接點sn1=vset[m1];sn2=vset[m2]; //分別得到兩個頂點所屬的集合編號if(sn1!=sn2)//兩頂點分屬于不同的集合，該邊是最小生成樹的一條邊{//防止出現閉合回路 printf("V%d-V%d=%d\n",m1,m2,E[j].weight);sum+=E[j].weight;k++; //生成邊數增加 if(k>=n)break;for(i=1;i<=n;i++) //兩個集合統一編號if (vset[i]==sn2) //集合編號為sn2的改為sn1vset[i]=sn1;}j++; //掃描下一條邊}printf("最小權值之和=%d\n",sum); } int fun(Edge arr[],int low,int high){int key;Edge lowx;lowx=arr[low];key=arr[low].weight;while(low<high){while(low<high && arr[high].weight>=key)high--;if(low<high)arr[low++]=arr[high];while(low<high && arr[low].weight<=key)low++;if(low<high)arr[high--]=arr[low];}arr[low]=lowx;return low;} void quick_sort(Edge arr[],int start,int end) {int pos;if(start<end){pos=fun(arr,start,end);quick_sort(arr,start,pos-1);quick_sort(arr,pos+1,end);} } int main() {Edge E[MAXE];int nume,numn;//freopen("1.txt","r",stdin);//文件輸入printf("輸入頂數和邊數:\n");scanf("%d%d",&numn,&nume);for(int i=0;i<nume;i++)scanf("%d%d%d",&E[i].vex1,&E[i].vex2,&E[i].weight);quick_sort(E,0,nume-1);kruskal(E,numn,nume); }

編譯運行結果：

總結

以上是生活随笔為你收集整理的最小生成树构造算法--Prim算法，Kruskal算法（C语言）的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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