連通圖的最小生成樹(shù)

生成樹(shù)定義：

無(wú)向連通圖G的極小連通子圖，稱為它的生成樹(shù)。(n個(gè)頂點(diǎn)，n-1條邊)

考慮一下下面這個(gè)圖

上圖是一個(gè)完全圖，它的生成樹(shù)不是唯一的，我們列出最特殊的兩種情況

上面2個(gè)圖都是第一個(gè)完全圖的生成樹(shù)，但是2者是完全不同的。

按照深度優(yōu)先遍歷生成的生成樹(shù)，稱為深度優(yōu)先生成樹(shù)

按照廣度優(yōu)先遍歷生成的生成樹(shù)，稱為廣度優(yōu)先生成樹(shù)

非連通圖的生成森林，概念比較簡(jiǎn)單，無(wú)非就是非連通圖的極大連通子圖和生成樹(shù)的概念疊加

最小生成樹(shù)

圖G是帶權(quán)的無(wú)向連通圖，生成樹(shù)上個(gè)邊權(quán)值之和稱為生成樹(shù)的代價(jià)，代價(jià)最小的生成樹(shù)稱為最小生成樹(shù)。

最小生成樹(shù)的生成算法

Prim算法

現(xiàn)有連通圖G=(V, E)，其最小連通圖TG=(TV, TE)。

初始狀態(tài)下：V = {V0, V1, V2 ... Vn}; TV = {}

從V當(dāng)中任選一頂點(diǎn)，插入TV，V = {V0, V1, V2 ... Vn}; TV = {V0}

找連接TV和V-TV這兩個(gè)集合的權(quán)值最小的邊，插入TE，并把該邊2頂點(diǎn)當(dāng)中原本不屬于TV的頂點(diǎn)加入TV；

重復(fù)上一步驟

知道V = TV

下面是java實(shí)現(xiàn)，首先我們需要修改一下之前的生成圖的代碼，我們生成了一棵7個(gè)頂點(diǎn)的完全圖，每一條邊的權(quán)值是100以內(nèi)的隨機(jī)數(shù)。

Graph graph = new Graph();

String nodeNames[] = {"aaa", "bbb", "ccc", "ddd", "eee", "fff", "ggg"};

for (String s : nodeNames) {

graph.nodes.add(new Node(s));

}

graph.arcs = new int[nodeNames.length][nodeNames.length];

Random ra = new Random();

for (int i = 0; i < graph.nodes.size(); i ++){

for (int j = 0; j < graph.nodes.size(); j ++){

if (i != j){

graph.arcs[i][j] = ra.nextInt(100) + 1;

}

}

}

然后是最小生成樹(shù)的Prim算法實(shí)現(xiàn)，解釋一下，首先創(chuàng)建一個(gè)二維數(shù)組表示邊，把空間都分配好，只等著往里面填數(shù)就行。然后是一個(gè)TreeMap對(duì)象，來(lái)保存頂點(diǎn)，之所以用TreeMap，是為了保證新圖的頂點(diǎn)順序和原圖是一致的。剩下的基本就是跟前面算法描述的差不多，大家對(duì)著看就行，沒(méi)什么太難的地方。

public Graph getMinTree(){

int newArcs[][] = new int[this.nodes.size()][this.nodes.size()];

Map newNodes = new TreeMap();

newNodes.put(0, this.nodes.get(0));

while(newNodes.size() != this.nodes.size()){

int minWeight = 99999;

int minI = -1;

int minJ = -1;

for(int i : newNodes.keySet()){

for (int j = 0; j < this.nodes.size(); j ++){

if (i != j && !newNodes.containsKey(j)){

if (this.arcs[i][j] < minWeight){

minWeight = this.arcs[i][j];

minI = i;

minJ = j;

}

}

}

}

newNodes.put(minJ, this.nodes.get(minJ));

newArcs[minI][minJ] = minWeight;

newArcs[minJ][minI] = minWeight;

}

Graph res = new Graph();

res.arcs = newArcs;

res.nodes.addAll(newNodes.values());

return res;

}

下面有一次測(cè)試的輸出，2個(gè)圖，分別是原圖的所有權(quán)值信息，另一個(gè)是最小生成樹(shù)的權(quán)值信息

然后還可以用連通圖的dfs算法檢查一下。

Kruskal算法

先將所有邊按照權(quán)值，從小到大排序

依次訪問(wèn)各邊，如果生成回路，則舍棄，否則加入生成樹(shù)，同時(shí)將該邊的另一頂點(diǎn)加入生成樹(shù)

直到所有頂點(diǎn)被加入

java實(shí)現(xiàn)，省略。

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的java带权连通图上最小权边,连通图最小生成树的算法及实现的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問(wèn)題。

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