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關于曲線繪圖與運動控制問題的研究姓名:張碩朱聰聰禹雪珂學號:201722060220172106102017210609專業:研究生組題目:關于曲線繪圖與運動控制問題的研究摘要隨著計算機的廣泛應用,計算機輔助繪圖在當今社會已成為計算機輔助設計的基礎。本文的建模題目就是利用數學建模的方法來研究計算機繪圖以及運動控制的原理。針對問題一,首先根據題意建立了滿足條件的三階貝塞爾曲線模型,讓屏幕上的4點在一條光滑又簡單的曲線上。然后根據模型計算出由以下4點構成的參數方程,運用matlab編程,繪出了相應的曲線。針對問題二的第一步,先把所給的參數方程的參數作4等分,即,然后用matlab編程繪圖,驗證出了當參數作4等分時,這些點對應的曲線弧長并不是4等分的。對于弧長n等分的問題,隨后利用微積分的原理建立了求弧長的公式模型。在弧長公式的基礎上,進行弧長等分。利用這個模型,求出每段弧長對應的參數t,結合所給的參數方程,最后利用編程繪制出了曲線的弧長4等分和10等分圖像。關鍵詞:貝塞爾曲線;微積分;MATLAB繪圖問題重述目前計算機輔助繪圖已成為計算機輔助設計的基礎,本文的問題就是利用數學建模的方法來研究計算機繪圖以及運動控制的基本原理。問題1:繪圖在計算機屏幕上隨機地畫出和,利用這4個點的信息繪制出一條曲線,其中讓為曲線的起點,為曲線的終點,和為控制點。曲線在起點處,以方向為切線方向,在終點處,以方向為切線方向。使用參數方程來描述這條曲線,但滿足上述條件的曲線有無窮條,請增加一些條件,使它表示一條曲線,并且具有形式簡單(如多項式)、曲線光滑(如連續可微)和美觀等特點。根據建立的模型寫出由以下4點構成曲線的參數方程,并繪出這條曲線(同時在圖上標注這4個點,和相應的切線)。問題2:運動控制計算機輔助設計在一些情況下,需要對沿著指定的運動途徑的空間位置進行精確的控制,而參數方程給出的曲線一般是達不到這一效果。也就是說,若將參數作等分,而對應的曲線弧長并不是等分的。例如:需要控制的曲線由下列參數方程表示(1-1)若將參數作4等分,即,而這些點對應的曲線弧長并不是4等分的,本題需要繪圖驗證這一點,并給出將弧長作等分的數學模型或計算公式。根據建立的數學模型,將參數方程(1-1)所繪出曲線的弧長4等分和10等分。繪出參數方程(1-1)的控制曲線,并標注出弧長4等分和10等分的等分點。二.問題分析對于問題一,是讓我們對計算機屏幕上的隨機4點滿足的參數方程添加一些條件,使得繪出的曲線只有一條,且具有一定的特點。根據搜集的信息,首先我們建立了三階貝塞爾曲線方程的模型,這個模型是多項式,繪出的曲線具有形式簡單,曲線光滑和美觀等特點。然后根據模型求出了4點滿足的曲線的參數方程,并用matlab軟件繪制出了相應的曲線。對于問題二,要求我們在參數等分的情況下,給出將弧長等分的數學模型。根據題意我們已經知道了需要控制的曲線的參數方程,利用微積分的方法,給出了求曲線弧長的計算公式,在此基礎上對弧長進行等分。根據建立的模型,利用matlab軟件繪制出將參數方程(1-1)所繪出曲線的弧長4等分和10等分的圖像。三.模型假設1.假設計算機屏幕上的隨機4點沒有重合。2.假設計算機正常運行。3.假設用matlab運行的誤差忽略不計。四.符號說明參數t定點控制點幕上的任意四點參數方程的系數總弧長每段的弧長五.模型的建立與求解5.1理論準備5.1.1貝塞爾曲線簡介貝塞爾曲線,又稱貝茲曲線或貝濟埃曲線,是應用于二維圖形應用程序的數學曲線。一般的矢量圖形軟件通過它來精確畫出曲線,貝茲曲線由線段與節點組成,節點是可拖動的支點,線段像可伸縮的皮筋,它是計算機圖形學中相當重要的參數曲線。貝塞爾曲線是根據4個位置任意的點坐標繪制出的一條光滑曲線,我們把這4個點設為和,貝塞爾曲線必定通過首尾兩個端點,中間的兩個點雖然未必要通過,但卻起著牽制曲線形狀路徑的作用,稱為控制點。通過調整控制點,貝塞爾曲線的形狀會發生變化beisaier.gif。5.1.2貝塞爾曲線的參數表示當控制點不同時,貝塞爾曲線的方程就不同。在這里,可以簡單的分為一階、二階、三階、和高階貝塞爾曲線。下面對其參數方程進行簡單的介紹。一階貝塞爾曲線給定點P0、P1,線性貝茲曲線只是一條兩點之間的直線。這條線由下式給出:且其等同于線性插值。B.二階貝塞爾曲線二次方貝茲曲線的路徑由給定點P0、P1、P2的函數B(t)追蹤:TrueType字型就運用了以貝茲樣條組成的二次貝茲曲線。C.三階貝塞爾曲線P0、P1、P2、P3四個點在平面或在三維空間中定義了三次方貝茲曲線。曲線起始于P0走向P1,并從P2的方向來到P3。一般不會經過P1或P2;這兩個點只是在那里提供方向資訊。P0和P1之間的間距,決定了曲線在轉而趨進P3之前,走向P2方向的“長度有多長

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總結

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