怎么在計算機中表示負數？
正數在計算機中的表示，我們都比較清楚，轉為二進制，也知道如何表示。那負數在計算機上如何表示呢？
比如，8在計算機中的二進制表示是00001000。
那么比較很容易想到，可以將一個二進制位（bit）專門規定為符號位，它等于0時就表示正數，等于1時就表示負數。比如，在8位機中，規定每個字節的最高位為符號位。那么，+8就是00001000，而-8則是10001000。
但是，隨便找一本《計算機原理》，都會告訴你，實際上，計算機內部采用2的補碼（Two’s Complement）表示負數。
什么是2的補碼呢？
它是一種數值的轉換方法，要分兩步完成：
1、每一個二進制位都要取反，0變成1，1變成0.比如，00001000變成11110111。
2、將上一步得到的值加1，11110111就變成了11111000。
所以，00001000的2的補碼就是11111000，也就是說8的補碼在計算機中用11111000表示。

那么為什么非要用這種取反加一的方式表示負數呢，直接用最高符號位表示不更方便嗎？
現在就來解釋下這樣做的原因。
為什么用2的補碼表示負數？
首先，要明確一點，在計算機內部用什么表示負數，其實是無所謂的，只要你能夠保持一一對應的關系，就可以用任意的方式來表示負數。所以，既然可以任意選擇，那我們就要選擇一種最方便的方式。
2的補碼呢，就是最方便的方式，它的便利體現在，所有的加法運算都可以使用同一種電路來完成。
還是以-8來作為例子。
假定有兩種表示方法，一種就是最高符號位方法，即10001000。一種是2的補碼表示法，即11111000。請問哪一種方法在加法運算中更方便呢？
隨便寫一個計算式，16+（-8）=？
16的二進制表示是00010000，所以用最高符號位方法，加法就要寫成：
　０００１００００
＋１０００１０００
－－－－－－－－－
　１００１１０００
可以看到按照正常的加法規則，得到了10011000的結果，轉成十進制就是-24。顯然，這就是錯誤的答案。也就是說，在這種情況下，正常的加法規則不適用正數與負數的加法，因此必須要制定兩套運算規則，一套用于正數加正數，一種用于正數加負數。從電路上來說，就是必須要為加法運算做兩種電路。這…
現在，再來看2的補碼表示法:
　０００１００００
＋１１１１１０００
－－－－－－－－－
１００００１０００
可以看到按照正常的加法規則，得到100001000的結果。注意一下，這是一個9位的二進制。因為我們已經假設這是一個8位機，因此最高的第9位是一個溢出位，會被自動舍去。所以結果就變成了00001000，轉成十進制就是8，也就是正確答案啦。這就說明2的補碼表示法可以將加法運算規則，擴展到整個數據集，從而一套電路就可以實現全部正數的加法，用一套規則舉行。

2的補碼的本質以及正確性

我們要看先一下模的概念“模”是指一個計量系統的計數范圍。如時鐘等。計算機也可以看成一個計量機器，它也有一個計量范圍，即都存在一個“模”。例如：時鐘的計量范圍是0～11，模=12。表示n位的計算機計量范圍是$0～2^{n?1}$,模就是$2^n$。“模”實質上是計量器產生“溢出”的量，它的值在計量器上表示不出來，計量器上只能表示出模的余數。任何有模的計量器，均可化減法為加法運算。
　　例如： 假設當前時針指向10點，而準確時間是6點，調整時間可有以下兩種撥法：你可以往回撥4個小時，也可以向前撥8個小時（12-10+6，在鐘表系統里模是12）在以12模的系統中，加8和減4效果是一樣的，因此凡是減4運算，都可以用加8來代替。
　　對“模”而言，8和4互為補數。實際上以12模的系統中，11和1，10和2，9和3，7和5，6和6都有這個特性。共同的特點是兩者相加等于模。
　　對于計算機，其概念和方法完全一樣。n位計算機，設n=8， 所能表示的最大數是11111111，若再加1稱為100000000(9位)，但因只有8位，最高位1自然丟失。又回了00000000，所以8位二進制系統的模為2^8。 在這樣的系統中減法問題也可以化成加法問題，只需把減數用相應的補數表示就可以了。
再次重申一下這句話：
在以12模的系統中，加8和減4效果是一樣的，因此凡是減4運算，都可以用加8來代替。

所以對應模為100000000的8位機來說，-b 就等于加上10000 0000-b。
而（10000 0000-b）是什么？恰好就是b的補碼
補碼怎么求，“取反加一” 這口訣怎么來的？
承認了8 - 5 = 8 + （-5的補碼）這個事實后，我們來看-5的補碼怎么求，“取反加一”怎么來的
其實看完了上面的模的問題，該問題的答案基本已經出來了
-5的補碼是 10000 0000 - 5 = 1111 1111 + 1 -5 = （1111 1111 - 5） + 1
1111 1111 - 0000 0101 +1 =1111 1010 +1 =1111 1011
然后，用8+1111 1011，即0000 1000 + 1111 1011 =10000 0011，8位機，即0000 0011，轉為十進制就是3。也就是正確答案。
所以，2的補碼的本質就是模的計算，減去一個數，都可以用加上補數（模減去它）來算的。

總結

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