斯特林公式（Stirling's approximation）是一條用來取n的階乘的近似值的數學公式。一般來說，當n很大的時候，n階乘的計算量十分大，所以斯特林公式十分好用，而且，即使在n很小的時候，斯特林公式的取值已經十分準確。

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公式為：? ?

?從圖中看出，對于足夠大的整數n，這兩個數互為近似值。更加精確地：? ?

?? ? ?? ? ? ?或者?? ? ? ?

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?這個公式，以及誤差的估計，可以推導如下。我們不直接估計n!，而是考慮它的自然對數：

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按一般方法計算N的階乘，其時間復雜度為O（N）：?? ?N！= 1 * 2 * 3 * 4 * 5 * ............ * N；

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如果要計算N后得到的數字為幾位數，則我們可以知道其位數等于lgN！+1；

則:?

但是當N很大的時候，我們可以通過斯特林公式進行優化：（即Stirling公式）

（e = 2.718）

斯特林公式可以用來估算某數的大小，結合lg可以估算某數的位數，或者可以估算某數的階乘是另一個數的倍數。

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例題：??http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1018

題目給出的N的范圍是: 1<= N <=?107 ?

用普通方法肯定算不出N的階乘后的出的數字位數，但運用斯特林公式則很好解決.

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Stirling 公式

即：

? ? Stirling公式的意義在于：當n足夠大時，n!計算起來十分困難，雖然有很多關于n!的等式，但并不能很好地對階乘結果進行估計，尤其是n很大之后，誤差將會非常大。但利用Stirling公式可以將階乘轉化成冪函數，使得階乘的結果得以更好的估計。而且n越大，估計得越準確。

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利用Stirling公式求解n!的位數：易知整數n的位數為[lgn]+1。利用Stirling公式計算n!結果的位數時，可以兩邊取對數，得:

故n!的位數為：

再添加一道例題：

#include <bits/stdc++.h> using namespace std; #define e exp(1) #define pi acos(-1) double log8(double x) {return log(x)/log(8);//loga(b)=logc(b)/logc(a) } double strling(double n) {return log8(2*pi*n)/2.0+n*(log8(n/e)); } int main() {int pp;scanf("%d",&pp);while (pp--) {int n;scanf("%d",&n);if (n==0) {puts("1");continue;}long long ans=(long long )strling(double(n));printf("%lld\n",ans+1);}return 0; }

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總結

以上是生活随笔為你收集整理的斯特林公式（Stirling's approximation）的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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