矩陣是線性代數的知識。。。后悔沒好好學了。。。

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第一部分：矩陣的基礎知識

1.結合性?（AB)C=A(BC）．

2.對加法的分配性?（A+B)C=AC+BC，C(A+B）=CA+CB?．

3.對數乘的結合性?k(AB）=（kA)B?=A(kB）．

4.關于轉置?(AB)'=B'A'．

一個矩陣就是一個二維數組，為了方便聲明多個矩陣，我們一般會將矩陣封裝一個類或定義一個矩陣的結構體，我采用的是后者。

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第二部分：矩陣相乘

若A為n×k矩陣，B為k×m矩陣，則它們的乘積AB(有時記做A·B)將是一個n×m矩陣。

其乘積矩陣AB的第i行第j列的元素為：

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舉例：A、B均為3*3的矩陣：C=A*B，下面的代碼會涉及到兩種運算順序，第一種就是直接一步到位求，第二種就是每次求一列，比如第一次，C00+=a00*b00,C01+=a00*b01……第二次C00+=a00*b10，C01+=a01*b11……以此類推。。。

C00 = a00*b00 + a01*b10 + a02*b20

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C01 =?a00*b01 + a01*b11 + a02*b21?

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C02 =?a00*b02 + a01*b12 + a02*b22

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C10 =?a10*b00 + a11*b10 + a12*b20

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C11 =?a10*b00 + a11*b11 + a12*b21

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C12 =?a10*b02 + a11*b12 + a12*b22

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C20 =?a20*b00 + a21*b10 + a22*b20

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C21 =?a20*b01 + a21*b11 + a22*b21

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C22 =?a20*b02 + a21*b12 + a22*b22

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C00 = a00*b00 + a01*b10 + a02*b20

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C01 =?a00*b01 + a01*b11 + a02*b21?
C02 =?a00*b02 + a01*b12 + a02*b22

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具體該怎么實現兩個矩陣相乘呢?

一般會用O(n^3)的方法。。。配合剪枝【添條件，設門檻。。。】，如下：其實主要就是函數 MATRIX mat_multiply (MATRIX a , MATRIX b , int n);

const int MOD=10000; struct mat { int a[2][2];//這里數據范圍就用小的示范 }; mat mat_mul(mat x,mat y)//實現兩個矩陣相乘，返回的還是一個矩陣。 { mat res;//用來表示得到的新的矩陣； memset(res.a,0,sizeof(res.a)); for(int i=0;i<2;i++) for(int j=0;j<2;j++) for(int k=0;k<2;k++) { res.a[i][j]+=x.a[i][k]*y.a[k][j]; res.a[i][j]%=MOD;//這一步看題目具體需要了 } return res; }

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學了現代的話這個是很好理解的（個人認為）。

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第三部分：矩陣快速冪 ? //其實和普通快速冪類似，只不過這里需要得到的是一個矩陣

神馬是冪？【很多時候會被高大上的名字嚇到。。。導致學習效率降低。。。其實沒辣么可怕，很簡單！！！】

冪又稱乘方。表示一個數字乘若干次的形式,如n個a相乘的冪為a^n ，或稱a^n為a的n次冪。a稱為冪的底數，n稱為冪的指數。——引自.度娘百科

這類題，指數都是很大很大很大很大很大很大很大的。。。霸王硬上弓的話，很容易超時的 T_T 。。。所以得快速冪→_→

學過之后發現，其實矩陣快速冪 的核心思想跟 以前學過的快速冪取模非常非常相似，只是矩陣乘法需要另外寫個函數，就是上面那個代碼。。。

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快速冪的思路就是：

設A為矩陣，求A的N次方，N很大，1000000左右吧。。。

先看小一點的，A的9次方

A^9

= A*A*A*A*A*A*A*A*A ?【一個一個乘，要乘9次】

= A*(A*A)*(A*A)*(A*A)*(A*A)【保持格式的上下統一，所以加上這句】

?= A*(A^2)^4?【A平方后，再四次方，還要乘上剩下的一個A，要乘6次】

= A*((A^2)^2)^2【A平方后，再平方，再平方，還要乘上剩下的一個A，要乘4次】

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也算是一種二分思想的應用吧，1000000次冪，暴力要乘1000000次，快速冪就只要（log2底1000000的對數） 次，大約20次。。。這。。。我沒錯吧。。。

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?單位矩陣： n*n的矩陣 mat ( i , i )=1; 任何一個矩陣乘以單位矩陣就是它本身 n*單位矩陣=n， 可以把單位矩陣等價為整數1。（單位矩陣用在矩陣快速冪中）

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例如下圖就是一個7*7的單位矩陣：

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下面來實現一個矩陣快速冪：

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int pow(int n)//還是小范圍數據來說吧,要不然返回值的類型自己定義 { mat c,res; memset(res.a,0,sizeof(res.a)); c.a[0][0]=1;//給矩陣賦初值 c.a[0][1]=1; c.a[1][0]=1; c.a[1][1]=0; for(int i=0;i<n;i++) res.a[i][i]=1;//單位矩陣； while(n) { if(n&1) res=mat_mul(res,c);//這里看就要用到上面的矩陣相乘了； c=mat_mul(c,c); n=n>>1; } return res.a[0][1]; }//時間復雜度log(n)

?? ? 但是矩陣如何與斐波那契聯系在一起呢？？？

找了很多博客，看了第二位大神的博客才理解。

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對于矩陣乘法與遞推式之間的關系：

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如：在斐波那契數列之中

f[i] = 1*f[i-1]+1*f[i-2] ?f[i-1] = 1*f[i-1] + 0*f[i-2];

即

所以

就這兩幅圖完美詮釋了斐波那契數列如何用矩陣來實現。

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? 下面一POJ3070/NYOJ148為例

? 給出了矩陣相乘的定義，要你求出斐波那契的第n項對1e4取余。

1.針對題目給出的矩陣：

所以這里我是直接求解n次冪，答案就是a[0][1];

#include<bits/stdc++.h> using namespace std; typedef long long ll; const int MOD=10000; struct mat { ll a[2][2]; }; mat mat_mul(mat x,mat y) { mat res; memset(res.a,0,sizeof(res.a)); for(int i=0;i<2;i++) for(int j=0;j<2;j++) for(int k=0;k<2;k++) res.a[i][j]=(res.a[i][j]+x.a[i][k]*y.a[k][j])%MOD; return res; } void mat_pow(int n) {mat c,res; c.a[0][0]=c.a[0][1]=c.a[1][0]=1; c.a[1][1]=0; memset(res.a,0,sizeof(res.a)); for(int i=0;i<2;i++) res.a[i][i]=1; while(n) { if(n&1) res=mat_mul(res,c); c=mat_mul(c,c); n=n>>1; } printf("%I64d\n",res.a[0][1]); } int main() {int n; while(~scanf("%d",&n)&&n!=-1) { mat_pow(n); } return 0; }

2.利用遞推式，此時的Fibonacci[0]=0，和題目相對應，所以這里就是n-1次冪

#include<set> #include<map> #include<list> #include<queue> #include<deque> #include<cmath> #include<stack> #include<cstdio> #include<string> #include<bitset> #include<vector> #include<cstring> #include<cstdlib> #include<iostream> #include<algorithm> using namespace std;#define e exp(1) #define pi acos(-1) #define mod 1000000007 #define inf 0x3f3f3f3f #define ll long long #define ull unsigned long long #define mem(a,b) memset(a,b,sizeof(a)) int gcd(int a,int b){return b?gcd(b,a%b):a;}const int MOD=10000; struct mat { ll a[2][2]; }; mat mat_mul(mat x,mat y) { mat res; memset(res.a,0,sizeof(res.a)); for(int i=0;i<2;i++) for(int j=0;j<2;j++) for(int k=0;k<2;k++) res.a[i][j]=(res.a[i][j]+x.a[i][k]*y.a[k][j])%MOD; return res; } void mat_pow(int n) {mat c,res; c.a[0][0]=c.a[0][1]=c.a[1][0]=1; c.a[1][1]=0; memset(res.a,0,sizeof(res.a)); for(int i=0;i<2;i++) res.a[i][i]=1; while(n) { if(n&1) res=mat_mul(res,c); c=mat_mul(c,c); n=n>>1; } printf("%I64d\n",res.a[0][0]); } int main() {int n; while(~scanf("%d",&n)&&n!=-1) {if(n==0)printf("0\n");else mat_pow(n-1);}return 0; }

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總結

以上是生活随笔為你收集整理的矩阵的乘法和快速幂的一些理解（适用初学者）的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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