一. 機器數和真值

在學習原碼, 反碼和補碼之前, 需要先了解機器數和真值的概念.
1、機器數

一個數在計算機中的二進制表示形式,??叫做這個數的機器數。機器數是帶符號的，在計算機用一個數的最高位存放符號, 正數為0, 負數為1.

比如，十進制中的數 +3 ，計算機字長為8位，轉換成二進制就是00000011。如果是 -3 ，就是 10000011 。

那么，這里的 00000011 和 10000011 就是機器數。
2、真值

? ? 因為第一位是符號位，所以機器數的形式值就不等于真正的數值。例如上面的有符號數 10000011，其最高位1代表負，其真正數值是 -3 而不是形式值131（10000011轉換成十進制等于131）。所以，為區別起見，將帶符號位的機器數對應的真正數值稱為機器數的真值。

例：0000 0001的真值 = +000 0001 = +1，1000 0001的真值 = –000 0001 = –1


二. 原碼, 反碼, 補碼的基礎概念和計算方法.

在探求為何機器要使用補碼之前, 讓我們先了解原碼, 反碼和補碼的概念.對于一個數, 計算機要使用一定的編碼方式進行存儲. 原碼, 反碼, 補碼是機器存儲一個具體數字的編碼方式.
1. 原碼

原碼就是符號位加上真值的絕對值, 即用第一位表示符號, 其余位表示值. 比如如果是8位二進制:

? ? [+1]原 = 0000 0001

? ? [-1]原 = 1000 0001

第一位是符號位. 因為第一位是符號位, 所以8位二進制數的取值范圍就是:

? ? [1111 1111 , 0111 1111]

即

? ? [-127 , 127]

原碼是人腦最容易理解和計算的表示方式.
2. 反碼

反碼的表示方法是:

正數的反碼是其本身

負數的反碼是在其原碼的基礎上, 符號位不變，其余各個位取反.

? ? [+1] = [00000001]原 = [00000001]反

? ? [-1] = [10000001]原 = [11111110]反

可見如果一個反碼表示的是負數, 人腦無法直觀的看出來它的數值. 通常要將其轉換成原碼再計算.
3. 補碼

補碼的表示方法是:

正數的補碼就是其本身

負數的補碼是在其原碼的基礎上, 符號位不變, 其余各位取反, 最后+1. (即在反碼的基礎上+1)

? ? [+1] = [00000001]原 = [00000001]反 = [00000001]補

? ? [-1] = [10000001]原 = [11111110]反 = [11111111]補

對于負數, 補碼表示方式也是人腦無法直觀看出其數值的. 通常也需要轉換成原碼在計算其數值.


三. 為何要使用原碼, 反碼和補碼

在開始深入學習前, 我的學習建議是先"死記硬背"上面的原碼, 反碼和補碼的表示方式以及計算方法.

現在我們知道了計算機可以有三種編碼方式表示一個數. 對于正數因為三種編碼方式的結果都相同:

? ? [+1] = [00000001]原 = [00000001]反 = [00000001]補

所以不需要過多解釋. 但是對于負數:

? ? [-1] = [10000001]原 = [11111110]反 = [11111111]補

可見原碼, 反碼和補碼是完全不同的. 既然原碼才是被人腦直接識別并用于計算表示方式, 為何還會有反碼和補碼呢?

首先, 因為人腦可以知道第一位是符號位, 在計算的時候我們會根據符號位, 選擇對真值區域的加減. (真值的概念在本文最開頭). 但是對于計算機, 加減乘數已經是最基礎的運算, 要設計的盡量簡單. 計算機辨別"符號位"顯然會讓計算機的基礎電路設計變得十分復雜! 于是人們想出了將符號位也參與運算的方法. 我們知道, 根據運算法則減去一個正數等于加上一個負數, 即: 1-1 = 1 + (-1) = 0 , 所以機器可以只有加法而沒有減法, 這樣計算機運算的設計就更簡單了.

于是人們開始探索 將符號位參與運算, 并且只保留加法的方法. 首先來看原碼:

計算十進制的表達式: 1-1=0

? ? 1 - 1 = 1 + (-1) = [00000001]原 + [10000001]原 = [10000010]原 = -2

如果用原碼表示, 讓符號位也參與計算, 顯然對于減法來說, 結果是不正確的.這也就是為何計算機內部不使用原碼表示一個數.

為了解決原碼做減法的問題, 出現了反碼:

計算十進制的表達式: 1-1=0

? ? 1 - 1 = 1 + (-1) = [0000 0001]原 + [1000 0001]原= [0000 0001]反 + [1111 1110]反 = [1111 1111]反 = [1000 0000]原 = -0

發現用反碼計算減法, 結果的真值部分是正確的. 而唯一的問題其實就出現在"0"這個特殊的數值上. 雖然人們理解上+0和-0是一樣的, 但是0帶符號是沒有任何意義的. 而且會有[0000 0000]原和[1000 0000]原兩個編碼表示0.

于是補碼的出現, 解決了0的符號以及兩個編碼的問題:

? ? 1-1 = 1 + (-1) = [0000 0001]原 + [1000 0001]原 = [0000 0001]補 + [1111 1111]補 = [0000 0000]補=[0000 0000]原

這樣0用[0000 0000]表示, 而以前出現問題的-0則不存在了.而且可以用[1000 0000]表示-128:

? ? (-1) + (-127) = [1000 0001]原 + [1111 1111]原 = [1111 1111]補 + [1000 0001]補 = [1000 0000]補

-1-127的結果應該是-128, 在用補碼運算的結果中, [1000 0000]補 就是-128. 但是注意因為實際上是使用以前的-0的補碼來表示-128, 所以-128并沒有原碼和反碼表示.(對-128的補碼表示[1000 0000]補算出來的原碼是[0000 0000]原, 這是不正確的)

使用補碼, 不僅僅修復了0的符號以及存在兩個編碼的問題, 而且還能夠多表示一個最低數. 這就是為什么8位二進制, 使用原碼或反碼表示的范圍為[-127, +127], 而使用補碼表示的范圍為[-128, 127].

因為機器使用補碼, 所以對于編程中常用到的32位int類型, 可以表示范圍是: [-231, 231-1] 因為第一位表示的是符號位.而使用補碼表示時又可以多保存一個最小值.


四 原碼, 反碼, 補碼 再深入

計算機巧妙地把符號位參與運算, 并且將減法變成了加法, 背后蘊含了怎樣的數學原理呢?

將鐘表想象成是一個1位的12進制數. 如果當前時間是6點, 我希望將時間設置成4點, 需要怎么做呢?我們可以:

? ? 1. 往回撥2個小時: 6 - 2 = 4

? ? 2. 往前撥10個小時: (6 + 10) mod 12 = 4

? ? 3. 往前撥10+12=22個小時: (6+22) mod 12 =4

2,3方法中的mod是指取模操作, 16 mod 12 =4 即用16除以12后的余數是4.

所以鐘表往回撥(減法)的結果可以用往前撥(加法)替代!

現在的焦點就落在了如何用一個正數, 來替代一個負數. 上面的例子我們能感覺出來一些端倪, 發現一些規律. 但是數學是嚴謹的. 不能靠感覺.

首先介紹一個數學中相關的概念: 同余


同余的概念

兩個整數a，b，若它們除以整數m所得的余數相等，則稱a，b對于模m同余

記作 a ≡ b (mod m)

讀作 a 與 b 關于模 m 同余。

舉例說明:

? ? 4 mod 12 = 4

? ? 16 mod 12 = 4

? ? 28 mod 12 = 4

所以4, 16, 28關于模 12 同余.


負數取模

正數進行mod運算是很簡單的. 但是負數呢?

下面是關于mod運算的數學定義:

clip_image001

上面是截圖, "取下界"符號找不到如何輸入(word中粘貼過來后亂碼). 下面是使用"L"和"J"替換上圖的"取下界"符號:

? ? x mod y = x - y L x / y J

上面公式的意思是:

x mod y等于 x 減去 y 乘上 x與y的商的下界.

以 -3 mod 2 舉例:

? ? -3 mod 2

? ? = -3 - 2xL -3/2 J

? ? = -3 - 2xL-1.5J

? ? = -3 - 2x(-2)

? ? = -3 + 4 = 1

所以:

? ? (-2) mod 12 = 12-2=10

? ? (-4) mod 12 = 12-4 = 8

? ? (-5) mod 12 = 12 - 5 = 7


開始證明

再回到時鐘的問題上:

? ? 回撥2小時 = 前撥10小時

? ? 回撥4小時 = 前撥8小時

? ? 回撥5小時= 前撥7小時

注意, 這里發現的規律!

結合上面學到的同余的概念.實際上:

? ? (-2) mod 12 = 10

? ? 10 mod 12 = 10

-2與10是同余的.

? ? (-4) mod 12 = 8

? ? 8 mod 12 = 8

-4與8是同余的.

距離成功越來越近了. 要實現用正數替代負數, 只需要運用同余數的兩個定理:

反身性:

? ? a ≡ a (mod m)

這個定理是很顯而易見的.

線性運算定理:

? ? 如果a ≡ b (mod m)，c ≡ d (mod m) 那么:

? ? (1)a ± c ≡ b ± d (mod m)

? ? (2)a * c ≡ b * d (mod m)

如果想看這個定理的證明, 請看:http://baike.baidu.com/view/79282.htm

所以:

? ? 7 ≡ 7 (mod 12)

? ? (-2) ≡ 10 (mod 12)

? ? 7 -2 ≡ 7 + 10 (mod 12)

現在我們為一個負數, 找到了它的正數同余數. 但是并不是7-2 = 7+10, 而是 7 -2 ≡ 7 + 10 (mod 12) , 即計算結果的余數相等.

接下來回到二進制的問題上, 看一下: 2-1=1的問題.

? ? 2-1=2+(-1) = [0000 0010]原 + [1000 0001]原= [0000 0010]反 + [1111 1110]反

先到這一步, -1的反碼表示是1111 1110. 如果這里將[1111 1110]認為是原碼, 則[1111 1110]原 = -126, 這里將符號位除去, 即認為是126.

發現有如下規律:

? ? (-1) mod 127 = 126

? ? 126 mod 127 = 126

即:

? ? (-1) ≡ 126 (mod 127)

? ? 2-1 ≡ 2+126 (mod 127)

2-1 與 2+126的余數結果是相同的! 而這個余數, 正式我們的期望的計算結果: 2-1=1

所以說一個數的反碼, 實際上是這個數對于一個膜的同余數. 而這個膜并不是我們的二進制, 而是所能表示的最大值! 這就和鐘表一樣, 轉了一圈后總能找到在可表示范圍內的一個正確的數值!

而2+126很顯然相當于鐘表轉過了一輪, 而因為符號位是參與計算的, 正好和溢出的最高位形成正確的運算結果.

既然反碼可以將減法變成加法, 那么現在計算機使用的補碼呢? 為什么在反碼的基礎上加1, 還能得到正確的結果?

? ? 2-1=2+(-1) = [0000 0010]原 + [1000 0001]原 = [0000 0010]補 + [1111 1111]補

如果把[1111 1111]當成原碼, 去除符號位, 則:

? ? [0111 1111]原 = 127

其實, 在反碼的基礎上+1, 只是相當于增加了膜的值:

? ? (-1) mod 128 = 127

? ? 127 mod 128 = 127

? ? 2-1 ≡ 2+127 (mod 128)

此時, 表盤相當于每128個刻度轉一輪. 所以用補碼表示的運算結果最小值和最大值應該是[-128, 128].

但是由于0的特殊情況, 沒有辦法表示128, 所以補碼的取值范圍是[-128, 127]

總結

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