平衡二叉樹

?　　平衡二叉搜索樹，又被稱為AVL樹，且具有以下性質：它是一棵空樹或它的左右兩個子樹的高度差的絕對值不超過1，并且左右兩個子樹都是一棵平衡二叉樹。?—-來自百度百科

?　　由于普通的二叉查找樹會容易失去”平衡“，極端情況下，二叉查找樹會退化成線性的鏈表，導致插入和查找的復雜度下降到 O(n) ，所以，這也是平衡二叉樹設計的初衷。那么平衡二叉樹如何保持”平衡“呢？根據定義，有兩個重點，一是左右兩子樹的高度差的絕對值不能超過1，二是左右兩子樹也是一顆平衡二叉樹。

　　如下圖所示，左圖是一棵平衡二叉樹，根節點10，左右兩子樹的高度差是1，而右圖，雖然根節點左右兩子樹高度差是0，但是右子樹15的左右子樹高度差為2，不符合定義，所以右圖不是一棵平衡二叉樹。

?　　由此可以看出平衡二叉樹是一棵高度平衡的二叉查找樹。所以，要構建跟維系一棵平衡二叉樹就比普通的二叉樹要復雜的多。在構建一棵平衡二叉樹的過程中，當有新的節點要插入時，檢查是否因插入后而破壞了樹的平衡，如果是，則需要做旋轉去改變樹的結構。

　　關于旋轉，這東西不拿動態圖將還真很難講明白。所以我就借一下?最容易懂得紅黑樹?這篇文章中左旋右旋的圖來講。

??左旋：

?

??右旋：

　　不同于順時針跟逆時針變換這種方式去記憶，上面兩個動態圖特別方便記憶跟理解：

　　左旋就是將節點的右支往左拉，右子節點變成父節點，并把晉升之后多余的左子節點出讓給降級節點的右子節點；

　　而右旋就是反過來，將節點的左支往右拉，左子節點變成了父節點，并把晉升之后多余的右子節點出讓給降級節點的左子節點。

　　即左旋就是往左變換，右旋就是往右變換。不管是左旋還是右旋，旋轉的目的都是將節點多的一支出讓節點給另一個節點少的一支。

?　　舉個例子，像上圖是否平衡二叉樹的圖里面，左圖在沒插入前”19“節點前，該樹還是平衡二叉樹，但是在插入”19“后，導致了”15“的左右子樹失去了”平衡“，所以此時可以將”15“節點進行左旋，讓”15“自身把節點出讓給”17“作為”17“的左樹，使得”17“節點左右子樹平衡，而”15“節點沒有子樹，左右也平衡了。如下圖，

　　由于在構建平衡二叉樹的時候，當有新節點插入時，都會判斷插入后時候平衡，這說明了插入新節點前，都是平衡的，也即高度差絕對值不會超過1。當新節點插入后，有可能會有導致樹不平衡，這時候就需要進行調整，而可能出現的情況就有4種，分別稱作左左，左右，右左，右右。

左左：

　　左左即為在原來平衡的二叉樹上，在節點的左子樹的左子樹下，有新節點插入，導致節點的左右子樹的高度差為2，如上即為”10“節點的左子樹”7“，的左子樹”4“，插入了節點”5“或”3“導致失衡。

?　　左左調整其實比較簡單，只需要對節點進行右旋即可，如下圖，對節點”10“進行右旋，

　　注意：如果對左右旋變換還不是很懂或不是很熟練的，可以對照著前面的那兩個動圖去想象，自己動手變換幾次，就明白了。

左右：

　　左右即為在原來平衡的二叉樹上，在節點的左子樹的右子樹下，有新節點插入，導致節點的左右子樹的高度差為2，如上即為”11“節點的左子樹”7“，的右子樹”9“，插入了節點”10“或”8“導致失衡。

　　左右的調整就不能像左左一樣，進行一次旋轉就完成調整。我們不妨先試著讓左右像左左一樣對”11“節點進行右旋，結果圖如下，右圖的二叉樹依然不平衡，而右圖就是接下來要講的右左，即左右跟右左互為鏡像，左左跟右右也互為鏡像。

　　右右跟左左一樣，只需要旋轉一次就能把樹調整平衡，而左右跟右左也一樣，都要進行旋轉兩次才能把樹調整平衡，所以，首先上圖的這種調整是錯誤的，正確的調整方式是，將左右進行第一次旋轉，將左右先調整成左左，然后再對左左進行調整，從而使得二叉樹平衡。

?　　即先對上圖的節點”7“進行左旋，使得二叉樹變成了左左，之后再對”11“節點進行右旋，此時二叉樹就調整完成，如下圖，

右左：

?　　右左即為在原來平衡的二叉樹上，在節點的右子樹的左子樹下，有新節點插入，導致節點的左右子樹的高度差為2，如上即為”11“節點的右子樹”15“，的左子樹”13“，插入了節點”12“或”14“導致失衡。

?　　前面也說了，右左跟左右其實互為鏡像，所以調整過程就反過來，先對節點”15“進行右旋，使得二叉樹變成右右，之后再對”11“節點進行左旋，此時二叉樹就調整完成，如下圖，

右右：

　　右右即為在原來平衡的二叉樹上，在節點的右子樹的右子樹下，有新節點插入，導致節點的左右子樹的高度差為2，如上即為”11“節點的右子樹”13“，的左子樹”15“，插入了節點”14“或”19“導致失衡。

　　右右只需對節點進行一次左旋即可調整平衡，如下圖，對”11“節點進行左旋。

總結

以上是生活随笔為你收集整理的数据结构：平衡二叉树概念、旋转的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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