向量運算

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5.1 線性代數與幾何

數學中專門研究向量的分支稱作線性代數。

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5.2 符號約定

變量是代表未知量的占位符。本書用不同的字體來區分不同的變量：

• 標量，用斜體的小謝羅馬或者希臘字母表示，如a、b、θ。
• 向量，用小寫黑粗體字母表示，如a、b、u。
• 矩陣，用大寫黑粗體字母表示，如A、B、R。

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5.3 零向量

任何集合，都存在加性單位元x，對集合中任意元素y，滿足y+x=y。

n維向量集合的加性單位元就是n維“零向量”。(如[0 0 0 0 ···· 0])

零向量是唯一一個沒有方向的向量。

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5.4 負向量

對于任意集合，元素x的加性逆元為-x，其與x相加等于加性單位元。簡單的說就是x+(-x) = 0。

公式：

幾何解釋：向量變負，將得到一個和原向量大小相等，方向相反的向量。(向量的大小和方向才是最重要的)

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5.5 向量大小(長度或模)

向量的大小常被稱作向量的長度或模。

公式：

幾何解釋：對于任意直角三角形，斜邊長度的平方等于直角邊長度的平方和。

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5.6 標量與向量的乘法

公式：

幾何解釋：

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5.7 標準化向量

單位向量就是大小為1的向量，單位向量經常被稱作標準化向量或更簡單地稱為“法線”。

公式：

幾何解釋：下圖的圓是一個單位圓。

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5.8 向量的加法和減法

公式(注意：向量不能與標量或維度不同的向量相加減，并且加法滿足交換律，但是減法不滿足交換律。永遠有a+b=b+a，但a-b=-(b-a)，僅當a=b時，a-b=b-a)：

幾何解釋(三角形法則)：

一個點到另一個點的向量，相減和三角形法則(箭頭指向被減向量)：

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5.9 距離公式

距離公式，該公式用來計算兩點之間的距離。

在3D情況中的公式：

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5.10 向量點乘

運算法則：

幾何解釋：

具體公式：

如果不需要θ的確切值而只需要a和b夾角的類型：

書上的一開始沒看懂，后來搜索了一下——向量的平行分量的投影

最后，垂直方向的分量 = 向量v-向量u’。

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5.11 向量叉乘

向量的叉乘，表示第3點沒看明白，二維向量的H為何如此？還請大神不膩賜教！！

叉乘的應用：創建垂直于平面、三角形或多邊形的向量。

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5.12 線性代數公式

abs表示絕對值，mod表示模，sqrt表示開根號。

公式解釋

a+b=b+a	向量加法的交換律
a-b=a+(-b)	向量減法的定義
(a+b)+c	a+(b+c)
s(ta)=(st)a	標量乘法的結合律
k(a+b)=ka+kb	標量乘法對向量加法的分配律
mod(ka)=abs(k)*mod(a)	向量乘以標量相當于標量的絕對值為因子縮放向量
mod(a)>=0	向量的大小非負
mod(a)^2+mod(b)^2=mod(a+b)^2	勾股定理
mod(a)+mod(b)>=mod(a+b)	向量加法的三角形法則(三角形兩邊之和大于或等于第三邊)
a·b=b·a	點乘的交換律
mod(a)=sqrt(a*a)	用點乘定義向量大小
k(a·b)=(ka)·b=a·(kb)	標量乘法對點乘的結合律
a·(b+c)=a·b+a·c	點乘對向量加減法的分配律
axa=0	任意向量與自身的叉乘等于零向量
axb=-(bxa)	叉乘逆交換律
axb=(-a)x(-b)	叉乘的操作數同時變負得到相同的結果
k(axb)=(ka)xb=ax(kb)	標量乘法對叉乘的結合律
ax(b+c)=axb+axc	叉乘對向量加法的分配律
a·(axb)=0	向量與另一個向量叉乘再點乘該向量本身等于零

總結

以上是生活随笔為你收集整理的3D数学基础:图形与游戏开发---随笔五的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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