数学建模及其算法概述
一、數學模型的分類
1. 按模型的數學方法分：
幾何模型、圖論模型、微分方程模型、概率模型、最優控制模型、規劃論模型、馬氏鏈模型等。
2. 按模型的特征分：
靜態模型和動態模型，確定性模型和隨機模型，離散模型和連續性模型，線性模型和非線性模型等。
3. 按模型的應用領域分：
人口模型、交通模型、經濟模型、生態模型、資源模型、環境模型等。
4. 按建模的目的分：?
預測模型、優化模型、決策模型、控制模型等。一般研究數學建模論文的時候，是按照建模的目的去分類的，并且是算法往往也和建模的目的對應。
5. 按對模型結構的了解程度分：?
有白箱模型、灰箱模型、黑箱模型等。比賽盡量避免使用，黑箱模型、灰箱模型，以及一些主觀性模型。
6. 按比賽命題方向分：
國賽一般是離散模型和連續模型各一個，2016 美賽六個題目（離散、連續、運籌學/復雜網絡、大數據、環境科學、政策）
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二、數學建模十大算法
1、蒙特卡羅算法
該算法又稱隨機性模擬算法，是通過計算機仿真來解決問題的算法，同時可以通過模擬可以來檢驗自己模型的正確性，比較好用的算法。
2、數據擬合、參數估計、插值等數據處理算法
比賽中通常會遇到大量的數據需要處理，而處理數據的關鍵就在于這些算法，通常使用 Matlab 作為工具。
3、線性規劃、整數規劃、多元規劃、二次規劃等規劃類問題
建模競賽大多數問題屬于最優化問題，很多時候這些問題可以用數學規劃算法來描述，通常使用 Lindo、Lingo 軟件實現
4、圖論算法
這類算法可以分為很多種，包括最短路、網絡流、二分圖等算法，涉及到圖論的問題可以用這些方法解決。
5、動態規劃、回溯搜索、分治算法、分支定界等計算機算法
這些算法是算法設計中比較常用的方法，很多場合可以用到競賽中。
6 、最優化理論的三大非經典算法：模擬退火法、神經網絡、遺傳算法
這些問題是用來解決一些較困難的最優化問題的算法，對于有些問題非常有幫助，算法的實現有一定困難。
7 、網格算法和窮舉法
當重點討論模型本身而輕視算法的時候，可以使用這種暴力方案，最好使用一些高級語言作為編程工具。
8 、一些連續離散化方法
很多問題都是從實際來的，數據可以是連續的，而經典計算機架構只認的是離散的數據，因此將其離散化后進行差分代替微分、求和代替積分等思想是非常重要的。
9 、數值分析算法
如果在比賽中采用高級語言進行編程的話，那一些數值分析中常用的算法。比如方程組求解、矩陣運算、函數積分等算法就需要額外編寫庫函數進行調用
10 、圖象處理算法
賽題中有一類問題與圖形有關，即使與圖形無關，論文中也應該要不乏圖片的。這些圖形如何展示，以及如何處理就是需要解決的問題，通常使用 Matlab 進行處理
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三、算法簡介
1 、灰色預測模型 （ 一般 ）
解決預測類型題目。由于屬于灰箱模型，一般比賽期間不優先使用。滿足兩個條件可用：
①數據樣本點個數 6 個以上
②數據呈現指數或曲線的形式，數據波動不大
2 、微分方程模型 （ 一般 ）
微分方程模型是方程類模型中最常見的一種算法。近幾年比賽都有體現，但其中的要求，不言而喻，學習過程中無法直接找到原始數據之間的關系，但可以找到原始數據變化速度之間的關系，通過公式推導轉化為原始數據的關系。
3 、回歸分析預測 （ 一般 ）
求一個因變量與若干自變量之間的關系，若自變量變化后，求因變量如何變化； 樣本點的個數有要求：
①自變量之間協方差比較小，最好趨近于 0，自變量間的相關性小；
②樣本點的個數 n＞3k+1，k 為預測個數；
4、馬爾科夫預測 （ 較好 ）
一個序列之間沒有信息的傳遞，前后沒聯系，數據與數據之間隨機性強，相互不影響；今天的溫度與昨天、后天沒有直接聯系，預測后天溫度高、中、低的概率，只能得到概率，其算法本身也主要針對的是概率預測。
5、時間序列預測
預測的是數據總體的變化趨勢，有一、二、三次指數平滑法（簡單），ARMA（較好）。
6、小波分析預測（高大上）
數據無規律，海量數據，將波進行分離，分離出周期數據、規律性數據；其預測主要依靠小波基函數，不同的數據需要不同的小波基函數。網上有個通用的預測波動數據的函數。
7、 神經網絡 （ 較好?）
大量的數據，不需要模型，只需要輸入和輸出，黑箱處理，建議作為檢驗的辦法，不過可以和其他方法進行組合或改進，可以拿來做評價和分類。
8、 混沌序列預測（高大上）
適用于大數據預測，其難點在于時延和維數的計算。
9、 插值與擬合 （ 一般 ）
擬合以及插值還有逼近是數值分析的三大基礎工具，通俗意義上它們的區別在于：擬合是已知點列，從整體上靠近它們；插值是已知點列并且完全經過點列；逼近是已知曲線，或者點列，通過逼近使得構造的函數無限靠近它們。
10、模糊綜合評判 （ 簡單 ） 不建議 單獨 使用
評價一個對象優、良、中、差等層次評價，評價一個學校等，不能排序
11、層次分析法（AHP）（ 簡單 ） 不建議 單獨 使用
作決策，去哪旅游，通過指標，綜合考慮作決策
12、 數據包絡（DEA ）分析法 （ 較好 ）
優化問題，對各省發展狀況進行評判
13、秩和比綜合評價法和熵權法 （ 較好?）
秩和比綜合評價法是評價各個對象并排序，但要求指標間關聯性不強；熵權法是根據各指標數據變化的相互影響，來進行賦權。兩者在對指標處理的方法類似。
14、優劣解距離法(TOPSIS ?法) （備用）
其基本原理，是通過檢測評價對象與最優解、最劣解的距離來進行排序，若評價對象最靠近最優解同時又最遠離最劣解，則為最好；否則為最差。其中最優解的各指標值都達到各評價指標的最優值。最劣解的各指標值都達到各評價指標的最差值。
15、投影尋蹤綜合評價法 （ 較好?）
可揉和多種算法，比如遺傳算法、模擬退火等，將各指標數據的特征提取出來，用一個特征值來反映總體情況；相當于高維投影之低維，與支持向量機相反。該方法做評價比一般的方法好。
16、方差分析、協方差分析等 （ 必要?）
方差分析：看幾類數據之間有無差異，差異性影響，例如：元素對麥子的產量有無影響，差異量的多少
協方差分析：有幾個因素，我們只考慮一個因素對問題的影響，忽略其他因素，但注意初始數據的量綱及初始情況。
此外還有靈敏度分析，穩定性分析。
17、線性規劃、整數規劃、0-1 ?規劃 （ 一般 ）
模型建立比較簡單，可以用 lingo 解決，但也可以套用智能優化算法來尋最優解。
18、非線性規劃與智能優化算法握（智能算法至少掌握 1-2 ） 個，其他的了解即可）
非線性規劃包括：無約束問題、約束極值問題
智能優化算法包括：模擬退火算法、遺傳算法、改進的遺傳算法、禁忌搜索算法、神經網絡、粒子群等
其他規劃如：多目標規劃和目標規劃及動態規劃等
19、復雜網絡優化 （ 較好?）
離散數學中經典的知識點——圖論。主要是編程。
20、排隊論與計算機仿真?
排隊論研究的內容有 3 個方面：統計推斷，根據資料建立模型；系統的性態，即和排隊有關的數量指標的概率規律性；系統的優化問題。其目的是正確設計和有效運行各個服務系統，使之發揮最佳效益。計算機仿真可通過元胞自動機實現，但元胞自動機對編程能來要求較高，一般需要證明其機理符合實際情況，不能作為單獨使用。
21 、圖像處理 （ 較好?）
MATLAB 圖像處理，針對特定類型的題目，一般和數值分析的算法有聯系。
例如 2013 年國賽 B 題，2014 網絡賽 B 題。
22、支持向量機?
支持向量機實現是通過某種事先選擇的非線性映射（核函數）將輸入向量映射到一個高維特征空間，在這個空間中構造最優分類超平面。主要用于分類。
23、多元分析
1、聚類分析、
2、因子分析
3、主成分分析：主成分分析是因子分析處理過程的一部分，可以通過分析各指標數據的變化情況，然后將數據變化相似的指標用一種具有代表性的來代替，從而達到降維的目的。
4、判別分析
5、典型相關分析
6、對應分析
7、多維標度法（一般）
8、偏最小二乘回歸分析（較好）
24 、分類與判別
主要包括以下幾種方法，
1、距離聚類（系統聚類）（一般）
2、關聯性聚類
3、層次聚類
4、密度聚類
5、其他聚類
6、貝葉斯判別（較好）
7、費舍爾判別（較好）
8、模糊識別
25 、關聯與因果
1、灰色關聯分析方法
2、Sperman 或 kendall 等級相關分析
3、Person 相關（樣本點的個數比較多）
4、Copula 相關（比較難，金融數學，概率密度）
5、典型相關分析（例：因變量組 Y1234，自變量組 X1234，各自變量組相關性比較強，問哪一個因變量與哪一個自變量關系比較緊密？）
6、標準化回歸分析。若干自變量，一個因變量，問哪一個自變量與因變量關系比較緊密
7、生存分析（事件史分析）（較好） 數據里面有缺失的數據，哪些因素對因變量有影響
8、格蘭杰因果檢驗。 計量經濟學，去年的 X 對今年的 Y 有沒影響
9、優勢分析
26、量子優化算法 （ 高大上 ）
量子優化可與很多優化算法相結合，從而使尋優能力大大提高，并且計算速率提升了很多。其主要通過編程實現，要求編程能力較好。
總結
以上是生活随笔為你收集整理的数学建模及其算法概述的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。
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