題面

題目分析

\[ \begin{split} \sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{j=1}^mgcd(i,j)^k&=\sum\limits_{d=1}^nd^k\sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{j=1}^m[gcd(i,j)==d]\\ \end{split} \]

設\(f(x)\)表示\(gcd(i,j)=x\)，\(g(x)\)表示\(gcd(i,j)==kx,k\in Z\)。
\[ \begin{split} g(x)&=\sum\limits_{x|d}^nf(d)\\ &=\sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{j=1}^m[x|gcd(i,j)]\\ &=\sum\limits_{i=1}^{\lfloor\frac n x\rfloor}\sum\limits_{j=1}^{\lfloor\frac m x\rfloor}\lfloor\frac n x\rfloor\lfloor\frac m x\rfloor\\ f(x)&=\sum\limits_{x|d}^n\mu(\frac dx)g(d)=\sum\limits_{x|d}^n\mu(\frac dx)\lfloor\frac n d\rfloor\lfloor\frac m d\rfloor \end{split} \]

\[ \begin{split} ans&=\sum\limits_{d=1}^nd^k\cdot f(d)\\ &=\sum\limits_{d=1}^nd^k\sum\limits_{d|T}^n\mu(\frac Td)\lfloor\frac n T\rfloor\lfloor\frac m T\rfloor\\ &=\sum\limits_{T=1}^n\lfloor\frac n T\rfloor\lfloor\frac m T\rfloor\sum\limits_{d|T}\mu(\frac Td)d^k \end{split} \]

由于\(\mu\)和\(d^k\)均為積性函數，所以\(\sum\limits_{d|T}\mu(\frac Td)d^k\)也為積性函數，可以在線性篩中\(O(n\log n)\)預處理。

前面部分用整除分塊加速。

代碼實現

#include<iostream> #include<cstring> #include<cmath> #include<algorithm> #include<cstdio> #include<iomanip> #include<cstdlib> #define MAXN 0x7fffffff typedef long long LL; const int N=5000005,mod=1e9+7; using namespace std; inline int Getint(){register int x=0,f=1;register char ch=getchar();while(!isdigit(ch)){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}while(isdigit(ch)){x=x*10+ch-'0';ch=getchar();}return x*f;} int g[N],mu[N],prime[N]; bool vis[N]; LL ksm(LL x,LL k){LL ret=1;while(k){if(k&1)ret=ret*x%mod;x=x*x%mod;k>>=1;}return ret; } int low[N]; int main(){int T=Getint(),K=Getint();mu[1]=g[1]=1;for(int i=2;i<=5e6;i++){if(!vis[i]){prime[++prime[0]]=i,mu[i]=-1;low[i]=i,g[i]=ksm(i,K)-1;}for(int j=1;j<=prime[0]&&1ll*prime[j]*i<=5e6;j++){vis[i*prime[j]]=1;if(i%prime[j]==0){low[i*prime[j]]=low[i]*prime[j];if(low[i*prime[j]]==i*prime[j])g[i*prime[j]]=g[i]*ksm(prime[j],K)%mod;else g[i*prime[j]]=(1ll*g[low[i*prime[j]]]*g[i*prime[j]/low[i*prime[j]]])%mod;break;}low[i*prime[j]]=prime[j];g[i*prime[j]]=(1ll*g[i]*g[prime[j]])%mod;mu[i*prime[j]]=-mu[i];}}for(int i=1;i<=5e6;i++)g[i]=(g[i]+g[i-1])%mod;while(T--){int n=Getint(),m=Getint();if(n>m)swap(n,m);int ans=0;for(int l=1,r;l<=n;l=r+1){r=min(n/(n/l),m/(m/l));ans=(ans+1ll*(n/l)*(m/l)%mod*(g[r]-g[l-1])%mod+mod)%mod; }cout<<ans<<'\n';}return 0; }

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總結

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