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前言背景

堆(heap)又被為優先隊列(priority queue)。盡管名為優先隊列，但堆并不是隊列。

因為隊列中允許的操作是先進先出（FIFO），在隊尾插入元素，在隊頭取出元素。

而堆雖然在堆底插入元素，在堆頂取出元素，但是堆中元素的排列不是按照到來的先后順序，而是按照一定的優先順序排列的。

堆的實現

????堆的一個經典的實現是完全二叉樹(complete binary tree)，這樣實現的堆稱為二叉堆(binary heap)。

????這里來說明一下滿二叉樹的概念與完全二叉樹的概念以及完滿二叉樹概念。

• 滿二叉樹（又稱完美二叉樹）一個深度為k(>=-1)且有2^(k+1) - 1個結點的二叉樹。直接上圖理解。
• 完全二叉樹從根結點到倒數第二層滿足完美二叉樹，最后一層可以不完全填充，其葉子結點都靠左對齊。
• 完滿二叉樹所有非葉子結點的度都是2。（只要你有孩子，你就必然是有兩個孩子。）?

????堆的特性：

• 必須是完全二叉樹

• 任一結點的值是其子樹所有結點的最大值或最小值

• 最大值時，稱為“最大堆”，也稱大頂堆；

• 最小值時，稱為“最小堆”，也稱小頂堆。

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堆的基礎實現

????只要謹記堆的定義特性，實現起來其實是很容易的。

• 特性1. ?維持完全二叉樹 ?

• 特性2. ?子類數字總是大于父類數字 ?

1public class MinHeap <E extends Comparable<E>> {2 private Array<E> data;34 public MinHeap(int capacity){5 data = new Array<>(capacity);6 }78 public MinHeap(){9 data = new Array<>(); 10 } 11 12 // 返回堆中的元素個數 13 public int size(){ 14 return data.getSize(); 15 } 16 17 // 返回一個布爾值, 表示堆中是否為空 18 public boolean isEmpty(){ 19 return data.isEmpty(); 20 } 21 22 // 返回完全二叉樹的數組表示中，一個索引所表示的元素的父親節點的索引 23 private int parent(int index){ 24 return (index - 1) / 2; 25 } 26 27 // 返回完全二叉樹的數組表示中，一個索引所表示的元素的左孩子節點的索引 28 private int leftChild(int index){ 29 return index * 2 + 1; 30 } 31 32 // 返回完全二叉樹的數組表示中，一個索引所表示的元素的右孩子節點的索引 33 private int rightChild(int index){ 34 return index * 2 + 2; 35 } 36}

????????最小堆的插入（ADD）

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????????假設現有元素 5 需要插入，為了維持完全二叉樹的特性，新插入的元素一定是放在結點 6 的右子樹；同時為了滿足任一結點的值要小于左右子樹的值這?一特性，新插入的元素要和其父結點作比較，如果比父結點小，就要把父結點拉下來頂替當前結點的位置，自己則依次不斷向上尋找，找到比自己大的父結點就拉下來，直到沒有符合條件的值為止。

????動畫講解

在這里先將元素 5 插入到末尾，即放在結點 6 的右子樹。

然后與父類比較， 6 > 5 ，父類數字大于子類數字，子類與父類交換。

重復此操作，直到不發生替換。

????Show me the code：

????添加一個輔助函數，用來交換傳入的索引兩個位置的元素值

1/**2 * 交換傳入的索引兩個位置的元素值3 *4 * @param i5 * @param j6 */7 public void swap(int i, int j) {8 if (i < 0 || i >= size || j < 0 || j >= size)9 throw new IllegalArgumentException("Index is illegal."); 10 11 E temp = data[i]; 12 data[i] = data[j]; 13 data[j] = temp; 14 }

????數組中添加交換兩元素位置的方法，注意下面代碼中注釋的描述特性位置。?

1 /**2 * 堆中添加元素方法。3 *4 * @param e5 */6 public void add(E e) {7 //特性1：新插入的元素首先放在數組最后，保持完全二叉樹的特性8 data.addLast(e);9 siftUp(data.getSize() - 1); 10 } 11 12 /** 13 * index 為i位置元素上浮。 14 * 15 * @param i 16 */ 17 private void siftUp(int i) { 18 //特性2：比較插入值和其父結點的大小關系，小于父結點則用父結點替換當前值，index位置上升為父結點 19 // 當上浮元素大于父親，繼續上浮。并且不能上浮到0之上 20 // 直到i 等于 0 或 比 父親節點小了。 21 while (i > 0 && data.get(i).compareTo(data.get(parent(i))) > 0) { 22 // 數組Array中添加方法swap 23 data.swap(i, parent(i)); 24 i = parent(i); // 這句話讓i來到新的位置，使得循環可以查看新的位置是否還要大。 25 } 26 }

????最小堆的刪除（DELETE）

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????核心點：將最后一個元素填充到堆頂，然后不斷的下沉這個元素。

?????假設要從節點 1 ，也可以稱為取出節點 1 ，為了維持完全二叉樹的特性 ，我們將最后一個元素 6 去替代這個 1 ；然后比較 1 和其子樹的大小關系，如果比左右子樹大（如果存在的話），就要從左右子樹中找一個較小的值替換它，而它能自己就要跑到對應子樹的位置，再次循環這種操作，直到沒有子樹比它小。

????通過這樣的操作，堆依然是堆，總結一下：

• 找到要刪除的節點（取出的節點）在數組中的位置

• 用數組中最后一個元素替代這個位置的元素

• 當前位置和其左右子樹比較，保證符合最小堆的節點間規則

• 刪除最后一個元素

????Show me the code：

1 public E findMin() {2 return data.get(0);3 }45 public E extractMin() {67 E ret = findMin();89 data.swap(0, data.getSize() - 1); // 0位置元素和最后一個元素互換。 10 data.removeLast(); // 刪除此時的最后一個元素(最小值) 11 siftDown(0); // 對于0處進行siftDown操作 12 13 return ret; 14 } 15 16 /** 17 * k位置元素下移 18 * 19 * @param k 20 */ 21 private void siftDown(int k) { 22 23 while(leftChild(k) < data.getSize()){ 24 int j = leftChild(k); // 在此輪循環中,data[k]和data[j]交換位置 25 if( j + 1 < data.getSize() && 26 data.get(j + 1).compareTo(data.get(j)) < 0 ) 27 j ++; 28 // data[j] 是 leftChild 和 rightChild 中的最小值 29 30 if(data.get(k).compareTo(data.get(j)) >= 0 ) 31 break; 32 33 data.swap(k, j); 34 k = j; 35 } 36 }

時間復雜度?

對于有 n 個節點的堆來說，其高度?d = log2n + 1。 根為第 0 層，則第 i 層結點個數為 2i，
考慮一個元素在堆中向下移動的距離。

• 大約一半的結點深度為 d-1 ，不移動(葉)。

• 四分之一的結點深度為 d-2 ，而它們至多能向下移動一層。

• 樹中每向上一層，結點的數目為前一層的一半，而子樹高度加一

堆有logn層深，所以插入刪除的平均時間和最差時間都是O(logN)

優先隊列（priority_queue）

普通隊列是一種先進先出的數據結構，先放進隊列的元素取值時優先被取出來。而優先隊列是一種具有最高優先級元素先出的數據結構，比如每次取值都取最大的元素。

優先隊列支持下面的操作：

• a. 找出優先級最高的元素(最大或最小元素)；

• b. 刪除一個具有最高優先級的元素；

• c. 添加一個元素到集合中。

代碼實現

1public class PriorityQueue<E extends Comparable<E>> implements Queue<E> {23 private MaxHeap<E> maxHeap;45 public PriorityQueue(){6 maxHeap = new MaxHeap<>();7 }89 @Override 10 public int getSize(){ 11 return maxHeap.size(); 12 } 13 14 @Override 15 public boolean isEmpty(){ 16 return maxHeap.isEmpty(); 17 } 18 19 @Override 20 public E getFront(){ 21 return maxHeap.findMax(); 22 } 23 24 @Override 25 public void enqueue(E e){ 26 maxHeap.add(e); 27 } 28 29 @Override 30 public E dequeue(){ 31 return maxHeap.extractMax(); 32 } 33}

堆排序?

理解了優先隊列，堆排序的邏輯十分簡單。

• 第一步：讓數組形成堆有序狀態；
• 第二步：把堆頂的元素放到數組最末尾，末尾的放到堆頂，在剩下的元素中下沉到正確位置，重復操作即可。

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轉載于:https://my.oschina.net/u/3492343/blog/2998772

總結

以上是生活随笔為你收集整理的【堆内存】动态图+代码五分钟轻松理解学会的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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