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前言背景

堆(heap)又被為優(yōu)先隊(duì)列(priority queue)。盡管名為優(yōu)先隊(duì)列，但堆并不是隊(duì)列。

因?yàn)殛?duì)列中允許的操作是先進(jìn)先出（FIFO），在隊(duì)尾插入元素，在隊(duì)頭取出元素。

而堆雖然在堆底插入元素，在堆頂取出元素，但是堆中元素的排列不是按照到來(lái)的先后順序，而是按照一定的優(yōu)先順序排列的。

堆的實(shí)現(xiàn)

????堆的一個(gè)經(jīng)典的實(shí)現(xiàn)是完全二叉樹(shù)(complete binary tree)，這樣實(shí)現(xiàn)的堆稱為二叉堆(binary heap)。

????這里來(lái)說(shuō)明一下滿二叉樹(shù)的概念與完全二叉樹(shù)的概念以及完滿二叉樹(shù)概念。

• 滿二叉樹(shù)（又稱完美二叉樹(shù)）一個(gè)深度為k(>=-1)且有2^(k+1) - 1個(gè)結(jié)點(diǎn)的二叉樹(shù)。直接上圖理解。
• 完全二叉樹(shù)從根結(jié)點(diǎn)到倒數(shù)第二層滿足完美二叉樹(shù)，最后一層可以不完全填充，其葉子結(jié)點(diǎn)都靠左對(duì)齊。
• 完滿二叉樹(shù)所有非葉子結(jié)點(diǎn)的度都是2。（只要你有孩子，你就必然是有兩個(gè)孩子。）?

????堆的特性：

• 必須是完全二叉樹(shù)

• 任一結(jié)點(diǎn)的值是其子樹(shù)所有結(jié)點(diǎn)的最大值或最小值

• 最大值時(shí)，稱為“最大堆”，也稱大頂堆；

• 最小值時(shí)，稱為“最小堆”，也稱小頂堆。

????

堆的基礎(chǔ)實(shí)現(xiàn)

????只要謹(jǐn)記堆的定義特性，實(shí)現(xiàn)起來(lái)其實(shí)是很容易的。

• 特性1. ?維持完全二叉樹(shù) ?

• 特性2. ?子類(lèi)數(shù)字總是大于父類(lèi)數(shù)字 ?

1public class MinHeap <E extends Comparable<E>> {2 private Array<E> data;34 public MinHeap(int capacity){5 data = new Array<>(capacity);6 }78 public MinHeap(){9 data = new Array<>(); 10 } 11 12 // 返回堆中的元素個(gè)數(shù) 13 public int size(){ 14 return data.getSize(); 15 } 16 17 // 返回一個(gè)布爾值, 表示堆中是否為空 18 public boolean isEmpty(){ 19 return data.isEmpty(); 20 } 21 22 // 返回完全二叉樹(shù)的數(shù)組表示中，一個(gè)索引所表示的元素的父親節(jié)點(diǎn)的索引 23 private int parent(int index){ 24 return (index - 1) / 2; 25 } 26 27 // 返回完全二叉樹(shù)的數(shù)組表示中，一個(gè)索引所表示的元素的左孩子節(jié)點(diǎn)的索引 28 private int leftChild(int index){ 29 return index * 2 + 1; 30 } 31 32 // 返回完全二叉樹(shù)的數(shù)組表示中，一個(gè)索引所表示的元素的右孩子節(jié)點(diǎn)的索引 33 private int rightChild(int index){ 34 return index * 2 + 2; 35 } 36}

????????最小堆的插入（ADD）

????????

????????假設(shè)現(xiàn)有元素 5 需要插入，為了維持完全二叉樹(shù)的特性，新插入的元素一定是放在結(jié)點(diǎn) 6 的右子樹(shù)；同時(shí)為了滿足任一結(jié)點(diǎn)的值要小于左右子樹(shù)的值這?一特性，新插入的元素要和其父結(jié)點(diǎn)作比較，如果比父結(jié)點(diǎn)小，就要把父結(jié)點(diǎn)拉下來(lái)頂替當(dāng)前結(jié)點(diǎn)的位置，自己則依次不斷向上尋找，找到比自己大的父結(jié)點(diǎn)就拉下來(lái)，直到?jīng)]有符合條件的值為止。

????動(dòng)畫(huà)講解

在這里先將元素 5 插入到末尾，即放在結(jié)點(diǎn) 6 的右子樹(shù)。

然后與父類(lèi)比較， 6 > 5 ，父類(lèi)數(shù)字大于子類(lèi)數(shù)字，子類(lèi)與父類(lèi)交換。

重復(fù)此操作，直到不發(fā)生替換。

????Show me the code：

????添加一個(gè)輔助函數(shù)，用來(lái)交換傳入的索引兩個(gè)位置的元素值

1/**2 * 交換傳入的索引兩個(gè)位置的元素值3 *4 * @param i5 * @param j6 */7 public void swap(int i, int j) {8 if (i < 0 || i >= size || j < 0 || j >= size)9 throw new IllegalArgumentException("Index is illegal."); 10 11 E temp = data[i]; 12 data[i] = data[j]; 13 data[j] = temp; 14 }

????數(shù)組中添加交換兩元素位置的方法，注意下面代碼中注釋的描述特性位置。?

1 /**2 * 堆中添加元素方法。3 *4 * @param e5 */6 public void add(E e) {7 //特性1：新插入的元素首先放在數(shù)組最后，保持完全二叉樹(shù)的特性8 data.addLast(e);9 siftUp(data.getSize() - 1); 10 } 11 12 /** 13 * index 為i位置元素上浮。 14 * 15 * @param i 16 */ 17 private void siftUp(int i) { 18 //特性2：比較插入值和其父結(jié)點(diǎn)的大小關(guān)系，小于父結(jié)點(diǎn)則用父結(jié)點(diǎn)替換當(dāng)前值，index位置上升為父結(jié)點(diǎn) 19 // 當(dāng)上浮元素大于父親，繼續(xù)上浮。并且不能上浮到0之上 20 // 直到i 等于 0 或 比 父親節(jié)點(diǎn)小了。 21 while (i > 0 && data.get(i).compareTo(data.get(parent(i))) > 0) { 22 // 數(shù)組Array中添加方法swap 23 data.swap(i, parent(i)); 24 i = parent(i); // 這句話讓i來(lái)到新的位置，使得循環(huán)可以查看新的位置是否還要大。 25 } 26 }

????最小堆的刪除（DELETE）

????

????

????核心點(diǎn)：將最后一個(gè)元素填充到堆頂，然后不斷的下沉這個(gè)元素。

?????假設(shè)要從節(jié)點(diǎn) 1 ，也可以稱為取出節(jié)點(diǎn) 1 ，為了維持完全二叉樹(shù)的特性 ，我們將最后一個(gè)元素 6 去替代這個(gè) 1 ；然后比較 1 和其子樹(shù)的大小關(guān)系，如果比左右子樹(shù)大（如果存在的話），就要從左右子樹(shù)中找一個(gè)較小的值替換它，而它能自己就要跑到對(duì)應(yīng)子樹(shù)的位置，再次循環(huán)這種操作，直到?jīng)]有子樹(shù)比它小。

????通過(guò)這樣的操作，堆依然是堆，總結(jié)一下：

• 找到要?jiǎng)h除的節(jié)點(diǎn)（取出的節(jié)點(diǎn)）在數(shù)組中的位置

• 用數(shù)組中最后一個(gè)元素替代這個(gè)位置的元素

• 當(dāng)前位置和其左右子樹(shù)比較，保證符合最小堆的節(jié)點(diǎn)間規(guī)則

• 刪除最后一個(gè)元素

????Show me the code：

1 public E findMin() {2 return data.get(0);3 }45 public E extractMin() {67 E ret = findMin();89 data.swap(0, data.getSize() - 1); // 0位置元素和最后一個(gè)元素互換。 10 data.removeLast(); // 刪除此時(shí)的最后一個(gè)元素(最小值) 11 siftDown(0); // 對(duì)于0處進(jìn)行siftDown操作 12 13 return ret; 14 } 15 16 /** 17 * k位置元素下移 18 * 19 * @param k 20 */ 21 private void siftDown(int k) { 22 23 while(leftChild(k) < data.getSize()){ 24 int j = leftChild(k); // 在此輪循環(huán)中,data[k]和data[j]交換位置 25 if( j + 1 < data.getSize() && 26 data.get(j + 1).compareTo(data.get(j)) < 0 ) 27 j ++; 28 // data[j] 是 leftChild 和 rightChild 中的最小值 29 30 if(data.get(k).compareTo(data.get(j)) >= 0 ) 31 break; 32 33 data.swap(k, j); 34 k = j; 35 } 36 }

時(shí)間復(fù)雜度?

對(duì)于有 n 個(gè)節(jié)點(diǎn)的堆來(lái)說(shuō)，其高度?d = log2n + 1。 根為第 0 層，則第 i 層結(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)為 2i，
考慮一個(gè)元素在堆中向下移動(dòng)的距離。

• 大約一半的結(jié)點(diǎn)深度為 d-1 ，不移動(dòng)(葉)。

• 四分之一的結(jié)點(diǎn)深度為 d-2 ，而它們至多能向下移動(dòng)一層。

• 樹(shù)中每向上一層，結(jié)點(diǎn)的數(shù)目為前一層的一半，而子樹(shù)高度加一

堆有l(wèi)ogn層深，所以插入刪除的平均時(shí)間和最差時(shí)間都是O(logN)

優(yōu)先隊(duì)列（priority_queue）

普通隊(duì)列是一種先進(jìn)先出的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)，先放進(jìn)隊(duì)列的元素取值時(shí)優(yōu)先被取出來(lái)。而優(yōu)先隊(duì)列是一種具有最高優(yōu)先級(jí)元素先出的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)，比如每次取值都取最大的元素。

優(yōu)先隊(duì)列支持下面的操作：

• a. 找出優(yōu)先級(jí)最高的元素(最大或最小元素)；

• b. 刪除一個(gè)具有最高優(yōu)先級(jí)的元素；

• c. 添加一個(gè)元素到集合中。

代碼實(shí)現(xiàn)

1public class PriorityQueue<E extends Comparable<E>> implements Queue<E> {23 private MaxHeap<E> maxHeap;45 public PriorityQueue(){6 maxHeap = new MaxHeap<>();7 }89 @Override 10 public int getSize(){ 11 return maxHeap.size(); 12 } 13 14 @Override 15 public boolean isEmpty(){ 16 return maxHeap.isEmpty(); 17 } 18 19 @Override 20 public E getFront(){ 21 return maxHeap.findMax(); 22 } 23 24 @Override 25 public void enqueue(E e){ 26 maxHeap.add(e); 27 } 28 29 @Override 30 public E dequeue(){ 31 return maxHeap.extractMax(); 32 } 33}

堆排序?

理解了優(yōu)先隊(duì)列，堆排序的邏輯十分簡(jiǎn)單。

• 第一步：讓數(shù)組形成堆有序狀態(tài)；
• 第二步：把堆頂?shù)脑胤诺綌?shù)組最末尾，末尾的放到堆頂，在剩下的元素中下沉到正確位置，重復(fù)操作即可。

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轉(zhuǎn)載于:https://my.oschina.net/u/3492343/blog/2998772

總結(jié)

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