循環小數與費馬小定理
17/05/29 22:30:51 | Snakes
背景
　　題目出自之前亮燈問題、楊輝三角與Sierpinski三角形提及的生日題中的第三、四、五題。

題目
　　第三題　證明：對于任意非\(2, 5\)倍數正整數\(n\)且滿足\(n>1\)，均存在正整數\(k, i\)滿足\(kn=10^i-1\)。
　　第四題　證明：在\(k\)進制下\((k>1)\)，任何形如\(a/b\)（\(a, b\)均為正整數）的數均為有限小數或無限循環小數。
　　第五題　證明：在上一問條件下，若\(b\)與\(k\)互質則\(a/b\)為無限循環小數，若\(a\)的質因子為\(k\)的質因子的子集則\(a/b\)為有限小數。

答案
　　既然是證明題，那么就沒有標準答案。以下提供一種可行的思路并且再探討另一個問題：\(k\)進制下\(b/a\)若循環，那么它的循環節長度\(len\)是多少？

　　接下來，我們將要分節討論了。

無限循環小數
　　在\(k\)進制下，若有數\(x\)滿足其為\(0<x<1\)的純循環小數（即其循環節從小數點后第\(1\)位開始｜思考：若為混循環小數或大于\(1\)的純循環小數，有什么辦法將其轉化求解呢？）且其循環節長度為\(len\)，循環節中數字為\(y\)，則我們可得\(x\cdot k^{len}-x=y\)。\(x\cdot k^{len}\)相當于將第一個循環節移動到小數點左側，與\(x\)相減就得到循環節中的數字\(y\)。整理可得\(y/(k^{len}-1)=x\)。

　　所以，我們可得結論：數\(x=a/b\)為無限循環小數的條件為存在整數\(len, i\)滿足\(bi=k^{len}-1\)。這個式子中，\(k\)取\(10\)的情形即第三題的提問。

　　思考題答案：若為大于\(1\)的純循環小數，可表示成一個整數與一個\(0\)與\(1\)之間純循環小數的和，因為整數一定能表示成任意整數作分母的分數形式，對小數部分討論之后將整數部分加上去即可。對于混循環小數，可以乘以\(k\)的次冪，將小數點移動到循環節前，按照大于\(1\)的純循環小數處理，最后乘以\(k\)的次冪的倒數即可。

費馬小定理
　　對于質數\(p\)，與\(p\)互質的整數\(a\)，有下式成立：

\[a^{p-1}\equiv 1 \pmod p\]

　　這是接下來將要用到的定理。如何證明？

　　引理\(1\)：對于整數\(a, b, c\)與正整數\(p\)，若\(c, p\)互質，\(ac\equiv bc \pmod p\)，則有\(a\equiv b \pmod p\)。

　　證明：
　　移項得：

\[\begin{align}ac-bc&\equiv 0 \pmod p\\ (a-b)c&\equiv 0 \pmod p\end{align}\]

　　因為\(c, p\)互質，所以有：

\[\begin{align}a-b&\equiv 0\pmod p\\ a&\equiv b\pmod p\end{align}\]

　　引理\(2\)：對于整數\(p\)滿足\(p>1\)，與\(p\)互質的整數\(b\)以及模\(p\)的完全剩余系\(a_1, a_2, .. ,a_m\)，有\(ba_1, ba_2, .. ,ba_m\)構成模\(p\)的完全剩余系。

　　證明：
　　若其不構成模\(p\)的完全剩余系，則有\(ba_i\equiv ba_j \pmod p\)成立，由引理\(1\)得，有\(a_i \equiv a_j \pmod p\)成立，與條件不符，因此\(ba_i\equiv ba_j \pmod p\)不成立，則\(ba_1, ba_2, .. ,ba_m\)構成模\(p\)的完全剩余系。

　　費馬小定理：

　　構造模\(p\)下的完全剩余系\({0, 1, 2, .. , p-1}\)，由引理\(2\)得\({0, a , 2a, .. , (p-1)a}\)也為模\(p\)下的完全剩余系。可得\(1\times 2\times ..\times (p-1)\equiv a\times 2a\times ..\times (p-1)a \pmod p\)成立。則有\((p-1)!\equiv a^{p-1}(p-1)! \pmod p\)成立。因為\(p\)為質數，所以\((p-1)!\)與\(p\)互質，根據引理\(1\)得\(1\equiv a^{p-1}\pmod p\)成立。

兩者之間的關系
　　之前提及，數\(x=a/b\)為無限循環小數的條件為存在整數\(len, i\)滿足\(bi=k^{len}-1\)。而費馬小定理則告訴我們，對于質數\(p\)，與\(p\)互質的整數\(a\)，有\(a^{p-1}\equiv 1 \pmod p\)。當\(b\)為質數，\(a=k\)時顯然有\(k^{b-1}-1\equiv 0 \pmod b\)，也就是說，存在整數\(len, i\)滿足條件。

　　但是當\(b\)不為質數但與\(k\)互質時怎么辦？不妨將\(b\)分解質因數，令\(b=p_1^{q_1}\times p_2^{q_2} \times .. \times p_n^{q_n}\)（此處翻車），根據歐拉定理（在\(b, p\)互質下有\(p^{\varphi(b)}\equiv 1\pmod b\)），則分別有\(k^{\varphi(p_i^{q_i})} \equiv 1 \pmod {p_i^{q_i}}\)成立，其中\(1\leq i \leq n\)。可知有\(k^{c(p_i-1)p_i^{q_i-1}} \equiv 1 \pmod {p_i^{q_i-1}}\)成立。別忘了歐拉函數是積性函數，所以有下式成立：

\[k^{\frac{[(p_1-1)p_1^{q_1-1}][(p_2-1)p_2^{q_2-1}]..[(p_n-1)p_n^{q_n-1}]}{gcd[(p_1-1)p_1^{q_1-1}, (p_2-1)p_2^{q_2-1}, .. , (p_n-1)p_n^{q_n-1}]}}\equiv 1 \pmod b\]

　　即：

\[k^{\frac{\varphi(p_1^{q_1})\varphi(p_2^{q_2}).. \varphi(p_n^{q_n})}{gcd[ \varphi(p_1^{q_1}),\varphi(p_2^{q_2}), .. , \varphi(p_n^{q_n})]}}\equiv 1 \pmod b\]

　　并且由于積性函數，我們有：

\[\varphi(b) \equiv 0 \pmod {\frac{\varphi(p_1^{q_1})\varphi(p_2^{q_2}).. \varphi(p_n^{q_n})}{gcd[ \varphi(p_1^{q_1}),\varphi(p_2^{q_2}), .. , \varphi(p_n^{q_n})]}}\]

　　所以大多數情況下（\(b\)與\(k\)互質）時循環節長度最小值\(len\)能被\(\varphi(b)\)整除。

　　而對于\(b\)與\(k\)不互質的情況，我們要分類討論。若\(b\)的質因數為\(k\)的質因數的子集，那么\(a/b\)乘以\(k\)的次冪一定可以得到一個整數，則\(a/b\)為有限小數。若不為子集，則我們將\(a/b\)乘以\(k\)的次冪，消除交集部分質因數的影響，轉為\(b\)與\(k\)互質的情況繼續討論。這其實與之前思考題的解決方法一致。通過分類討論，我們可以解決第四題與第五題。

　　所以，將\(k=10\)代入，我們可以證得第三題（對于任意非\(2, 5\)倍數正整數\(n\)且滿足\(n>1\)，均存在正整數\(k, i\)滿足\(kn=10^i-1\)。）成立。

結論
　　在\(k\)進制下，形如\(a/b\)（\(a, b\)均為整數）的分數（最簡形式），若\(b\)與\(k\)互質，則\(a/b\)為純循環小數。若\(b\)質因數與\(k\)質因數有交集且\(b\)質因數不為\(k\)質因數子集，則\(a/b\)為混循環小數。否則若\(b\)質因數為\(k\)質因數的子集，\(a/b\)為有限小數。

　　當\(a/b\)為循環小數時，在大多數情況下其循環節長度\(len=\frac{\varphi(b)}{gcd[ \varphi(p_1^{q_1}),\varphi(p_2^{q_2}), .. , \varphi(p_n^{q_n})]}\)。不難發現有\(len\leq (b-1)\)且當\(b\)為質數時\(len\)取到\(b-1\)。

轉載于:https://www.cnblogs.com/Roni-i/p/9158171.html

總結

以上是生活随笔為你收集整理的循环小数与费马小定理的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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