這一節借助漢諾塔問題引入了"Reccurent Problems"。

(Reccurence, 在這里解釋為“the solution to each problem depends on the solutions to smaller instances of the same problem”. 即由相同的規模更小的問題的到原問題的解)

Hanoi問題描述：

　　"given a tower of eight disks, initially stacked in decreasing size on peg A.

　　Our task: transfer the entire tower to tower C, moving only one disk at a time and never mobing a larger one onto a smaller.

　　Question: How many moves are necessary and sufficient to perform the task?"

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作者按照如下步驟分析求出n層漢諾塔的最少移動次數的通項公式：

1. generalize：最初是法國數學家Edouard Lucas提出的8層漢諾塔玩具，后來Lucas又創造了一個64層漢諾塔的故事。這里我們把漢諾塔的層數泛化為n

2. introduce appropriate notation, name and conquer：引入記號Tn表示n層的漢諾塔問題的最少移動次數

3. look at small cases：易知T1=1, T2=3, T3 = 7

4. find and prove a reccurence relation：找到并證明遞推關系

(1) find a sufficient solution: 找到一個充分（可行）的解；

　　具體地，將求解small cases的方法推廣，把除最底層以外的前n-1層看成一個整體，得到一個可行的方案Tn-1 + 1 + Tn-1，由此可得Tn <= 2*Tn-1 + 1

(2) prove it necessary: 證明它的必要性；

　　具體地，分析移動過程，移動最底層盤子之前，至少已花費Tn-1步將前n-1層移至輔助樁；最底層盤子就位后，同樣至少要花費Tn-1將前n-1層從輔助樁移到目標樁，由此可得Tn >= 2*Tn-1 + 1

(3) yeild recurrence relation:v由(1)(2)得到等式，加上對平凡(trivial)情況的約定，構成如下遞推關系

　　T0 = 0　　

　　Tn = 2*Tn-1 + 1

注：遞推關系給出的是"indirect, local information"，已知局部的一個值可以方便地求出鄰近的值，好比鏈表

5. find and prove a closed form expression: 找到并證明通項式

(1) 方法一：列出small cases觀察 -> 猜一個式子 -> 用數學歸納法(mathematical induction)驗證

(2) 方法二：直接從遞推式推導：

1) add 1 to both sides of the equations:把右側化成和左側類似的形式

　　 T0 + 1= 1

　　 Tn + 1= 2*Tn-1 + 2 = 2*(Tn-1 + 1)

2) let Un = Tn + 1, we have 引入另一個記號，換元

　　U0 = 1

　　Un = 2*Un

由此構造出等比數列Un, 首項為1，公比為2，所以通項Un = U0*2^n = 2^n

3) 帶回T, 得到通項公式Tn = Un - 1 = 2^n - 1

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作者說這本書主要關注討論的就是類似第5步方法二的方法，通過推導，而不是“猜測+驗證”的方式來由遞推式得到通項式

"to explain how a person can solve recurrences without being clairvoyant."

總結

以上是生活随笔為你收集整理的【具体数学--读书笔记】1.1 The Power of Hanoi的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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