1. 設 $f\in C^2(\bbR)$, $f''(x)\geq 0$, $f(0)=0$. 對 $0<a<b$, 試比較 $f(a+b)$ 與 $f(a)+f(b)$ 的大小.

?

解答: 設 $F(x)=f(x+a)-f(x)-f(a)$, 則 $F(0)=0$, $F'(x)=f'(x+a)-f'(x)=f''(\xi_x)a\geq 0$. 故 $F(b)>0$, $f(a+b)\geq f(a)+f(b)$.

??

2. 設當 $x>-1$ 時, 可微函數 $f(x)$ 滿足條件 $$\bex f'(x)+f(x)-\cfrac{1}{x+1}\int_0^x f(t)\rd t=0, \eex$$ 且 $f(0)=1$. 試求 $f'(x)$.

?

解答: $$\beex \bea &\quad f'(x)+f(x)-\cfrac{1}{x+1}\int_0^x f(t)\rd t=0\\ &\ra f'(x)+f(0)+\int_0^x f'(s)\rd s -\cfrac{1}{x+1}\int_0^x \sez{f(0)+\int_0^t f'(s)\rd s}\rd t=0\\ &\ra f'(x)+1+\int_0^x f'(s)\rd s -\cfrac{x}{x+1}-\cfrac{1}{x+1}\int_0^x (x-s)f'(s)\rd s=0\\ &\ra f'(x)+\cfrac{1}{x+1}+\cfrac{1}{x+1}\int_0^x (s+1)f'(s)\rd s=0\\ &\ra (x+1)f'(x)+1+\int_0^x(s+1)f'(s)\rd s=0\\ &\ra F'(x)+1+F(x)=0\quad \sex{F(x)=\int_0^x (s+1)f'(s)\rd s}\\ &\ra [e^xF(x)]'=-e^x\\ &\ra e^xF(x)=1-e^x\\ &\ra F(x)=e^{-x}-1\\ &\ra (x+1)f'(x)=-e^{-x}\\ &\ra f'(x)=-\cfrac{e^{-x}}{x+1}. \eea \eeex$$

總結

以上是生活随笔為你收集整理的[数分提高]2014-2015-2第7教学周第1次课 (2015-04-14)的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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