连续函数注记
這是我在兩年前寫的一點東西,現(xiàn)在稍微整理一下，刪去了錯誤的內(nèi)容，貼到這里.
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一個函數(shù)在某一點處連續(xù)的定義是：
$$\lim_{x\to a}f(x)=f(a)$$.
這條式子說的是：對于任意給定的$\varepsilon >0$,都存在$ \delta >0$,使得$|x-a|<\delta$時都有$|f(x)-f(a)|<\varepsilon $.函數(shù)在某一點處連續(xù)，從這個表達式可以看出，首先，要求函數(shù)在該點有定義。其次，在該點的左極限要等于右極限。當(dāng)一個函數(shù)在區(qū)間I內(nèi)每一點都連續(xù)，我們說函數(shù)在區(qū)間I連續(xù).
閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的零點定理:$f(x)$在閉區(qū)間$[a,b]$上連續(xù),$f(a)$$<$0,$f(b)$$>$0.則$f(x)$在$[a,b]$內(nèi)有零點.
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證明采用高中生熟悉的二分法：如果在二分法過程中，恰好有$x$值使得$f(x)=0$,則命題已經(jīng)成立；如果沒有這種情況，我們會得到一個閉區(qū)間套(注意這里隱含地用到了選擇公理)，恰有一個點屬于這個閉區(qū)間套.如果這個點對應(yīng)的函數(shù)值不是零，比如是正的，那么離這個點“很近的”左邊的那個點所對應(yīng)的函數(shù)值也是正的（根據(jù)函數(shù)的連續(xù)性），但是，由二分法的操作表明，左邊的那個點對應(yīng)的函數(shù)值是負的，矛盾。同樣，如果這個屬于所有閉區(qū)間的點對應(yīng)的函數(shù)值是負的，也會推出矛盾.因此，這個點對應(yīng)的函數(shù)值只能為零,這就是零點呀.證畢.
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由零點定理很容易推導(dǎo)出介值定理.
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下面談?wù)勔恢逻B續(xù)與連續(xù)：我們知道，一個函數(shù)在一個區(qū)間上連續(xù)意味著該函數(shù)在這個區(qū)間上的每一點連續(xù)，也即，對于這個區(qū)間上的任意一個點A，只要點B與點A距離的足夠近，那么點B的函數(shù)值和點A的函數(shù)值的差異就可以達到你所要求的那個精度，不論你要求的精度是多少. 那么什么是一致連續(xù)呢？“一致連續(xù)”這個名字取的很好。在某個區(qū)間一致連續(xù)的函數(shù)擁有這個特性：我們只要讓這個區(qū)間里任意兩個點的距離小到一定程度，這兩個點對應(yīng)的函數(shù)值的差別就能達到你所希望的任意精度. 一致連續(xù)和連續(xù)的唯一區(qū)別在于：一致連續(xù)里的兩個點的選取是任意的，也就是在這個區(qū)間里“放之四海而皆準(zhǔn)”的，而連續(xù)函數(shù)就只是死死的守住某個點.如果還不明白的話就這樣想，雖然這樣想有點搞笑：拿著一把梳子梳
頭發(fā)，如果你的頭發(fā)是連續(xù)的，當(dāng)你梳卡住了以后，你可以通過調(diào)整梳子的那些小棒棒的間距使你梳頭發(fā)的時候不卡住.每卡住一次，你就調(diào)整小棒棒的間距一次。而如果你的頭發(fā)是一致連續(xù)的話你根本不用這么麻煩，你只用調(diào)整梳子小棒棒一次，達到合理精度以后，就能很順暢的一梳到底！
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總結(jié)
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