1.閑話放在前面扯

什么是頻域？從我們出生，我們看到的世界都以時間貫穿，股票的走勢、人的身高、汽車的軌跡都會隨著時間發生改變。這種以時間作為參照來觀察動態世界的方法我們稱其為時域分析。而我們也想當然的認為，世間萬物都在隨著時間不停的改變，并且永遠不會靜止下來。但如果我告訴你，用另一種方法來觀察世界的話，你會發現世界是永恒不變的，你會不會覺得我瘋了？我沒有瘋，這個靜止的世界就叫做頻域。

在時域，我們觀察到鋼琴的琴弦一會上一會下的擺動，就如同一支股票的走勢；而在頻域，只有那一個永恒的音符。所以我們眼中看似落葉紛飛變化無常的世界，實際只是躺在上帝懷中一份早已譜好的樂章。

2.嚴密的數學推導

我們知道，在離散傅里葉級數（DFS）中，離散時間周期序列在時域是離散的n ，其頻譜是離散頻率周期序列，在頻域也是離散的k，理論上解決了時域離散和頻域離散的對應關系問題。但由于其在時域和頻域都是周期序列，所以都是無限長序列。無限長序列在計算機運算仍然是無法實現。為此必須取有限長序列來建立其時域離散和頻域離散的對應關系。
DFS的主值序列： 我們知道，離散時間周期序列是一個無限長序列，其傅立葉級數展開式為

可以看出時間點序號n 是以N為周期的，如果只取其一個周期，稱之為的主值序列：

主值序列x（n）就是一個長度為N的有限長離散時間序列。同理，的DFS也是一個無限長序列，即傅立葉系數：

也可以看出頻率點序號k 也是以N為周期的，如果只取其一個周期，稱之為的主值序列：

主值序列X（k）是一個長度為N的有限長離散頻率序列。可見，離散時間周期序列在時域和頻域的主值序列，均為有限長離散序列。且主值序列的長度均為N（即n，k＝0，1，2，…，N－1）。

離散傅里葉變換：

在離散傅立葉級數（DFS）中，取其時域和頻域的主值序列，變換仍然成立。這就是離散傅里葉變換（DFT），即：

和其逆變換（IDFT）：

可見離散傅里葉變換（DFT）只不過是特殊的離散傅立葉級數（DFS），就是對其時域和頻域都僅取主值序列。

離散傅立葉級數（DFS）中的無限長序列和都是以N為周期的周期序列，所以在計算離散時間周期序列及其頻譜時，可以利用DFS的周期性，只需要在時域和頻域各取一個主值序列，用計算機各計算一個周期中的N個樣值，最后將所得的主值序列x（n）和X（k）進行周期延拓，即可得到原來的無限長序列和。

由DFT的導入過程可以發現，DFT不僅可以解決無限長周期序列的計算機運算問題，而且更可以解決有限長序列的計算機運算問題。事實上，對于有限長離散序列，總可以把時域和頻域的變換區間（序列長度）均取為N（包括適當數量的補0點），通常把N稱之為等間隔采樣點數，我們可以把這個N點的變換區間視為某個周期序列的一個主值序列，直接利用DFT的定義計算其N點變換。

3.代表性的實例

1.單純的從計算角度出發。

假設有一個序列長度N=4，具體的x(n)={1，2，-1，3}，n=0，1，2，3。

首先，由N=4得到 ：

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于是有：

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反變換：

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2.補零，增加有限長序列的長度是否能夠提高物理分辨率？ 有效長度N1＝4的單位矩形序列:
如下圖所示：

如果變換區間等間隔采樣點數N＝16（注意：可以補零延伸為序列有效長度N1的整數倍），則其16點的DFT頻譜為

其16點DFT的幅度頻譜圖如下：

?

當然，如果取變換區間N＝32，即在有限長離散時間序列尾部補零更多位，則32點的DFT譜線更密。這是因為增長觀察時間，可提高頻率分辨率。但DFT頻譜的包絡，始終與非周期序列的離散時間傅立葉變換DTFT的連續頻譜曲線一致。這又表明DFT是DTFT連續頻譜的離散化。

總結

以上是生活随笔為你收集整理的我所理解的离散傅里叶变换_DFT的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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