1.前言

一個信號，通常用一個時間的函數來表示，這樣簡單直觀，因為它的函數圖像可以看做信號的波形，比如聲波和水波等等。很多時候，對信號的處理是很特殊的，比如說線性電路會將輸入的正弦信號處理后，輸出仍然是正弦信號，只是幅度和相位有一個變化（實際上從數學上看是因為指數函數是線性微分方程的特征函數，就好像矩陣的特征向量一樣，而這個復幅度對應特征值）。因此，如果我們將信號全部分解成正弦信號的線性組合（傅里葉變換?），那么就可以用一個傳遞函數??來描述這個線性系統。倘若這個信號很特殊，例如?（很明顯他的傅里葉級數是不收斂的），傅里葉變換在數學上不存在，這個時候就引入拉普拉斯變換??來解決這個問題。這樣一個線性系統都可以用一個傳遞函數?來表示。所以，從這里可以看到將信號分解為正弦函數（傅里葉變換）或者 復指數函數（拉普拉斯變換）對分析線性系統至關重要。

2.Fourier Laplace Z之間的聯系

如果只關心信號本身，不關心系統，這幾個變換的關系可以通過這樣一個過程聯系起來。
首先需要明確一個觀點，不管使用時域還是頻域（或s域）來表示一個信號，他們表示的都是同一個信號！關于這一點，我們可以從線性空間的角度理解。同一個信號，如果采用不同的坐標框架（或者說基向量），那么他們的坐標就不同。例如，采用作為坐標，那么信號就可以表示為，而采用則表示為傅里葉變換的形式。線性代數知識：兩個不同坐標框架下，同一個向量的坐標可以通過一個線性變換聯系起來，如果是有限維的空間，則可以表示為一個矩陣，在這里是無限維，這個線性變換就是傅里葉變換。

如果我們將拉普拉斯的域畫出來，他是一個復平面，拉普拉斯變換X(s)是這個復平面上的一個復變函數。而這個函數沿虛軸jw的值X(jw)就是傅里葉變換。到現在，對信號的形式還沒有多少假定，如果信號是帶寬受限信號，也就是說X(jw)只在一個小范圍內（如-B<w<B）不為0。根據采樣定理，可以對時域采樣，只要采樣的頻率足夠高，就可以無失真地將信號還原出來。那么采樣對信號的影響是什么呢？從Laplace平面來看，時域的采樣將沿虛軸方向作周期延拓！這個性質從數學上可以很容易驗證。
z變換可以看做拉普拉斯變換的一種特殊形式，即做了一個代換，T是采樣的周期。這個變換將信號從s域變換到z域。請記住前面說的那個觀點，s域和z域表示的是同一個信號，即采樣完了之后的信號。只有采樣才會改變信號本身！從復平面上來看，這個變換將與軸平行的條帶變換到z平面的一個單葉分支。我們會看到前面采樣導致的周期延拓產生的條帶重疊在一起了！！！因為具有周期性，所以z域不同的分支的函數值是相同的。換句話說，如果沒有采樣，直接進行z變換，將會得到一個多值的復變函數！所以一般只對采樣完了后的信號做z變換！

這里講了時域的采樣，時域采樣后，信號只有間的頻譜，即最高頻率只有采樣頻率一半，但是要記錄這樣一個信號，仍然需要無限大的存儲空間，可以進一步對頻域進行采樣。如果時間有限（這與頻率受限互相矛盾）的信號，那么通過頻域采樣（時域做周期擴展）可以不失真地從采樣的信號中恢復原始信號。并且信號長度是有限的，這就是離散傅里葉變換(DFT)，它有著名的快速算法快速傅里葉變換(FFT)。為什么要說DFT呢，因為計算機要有效地對一般的信號做傅里葉變換，都是用DFT來實現的。除非信號具有簡單的解析表達式！
總結起來說，就是對于一個線性系統，輸入輸出是線性關系的，不論是線性電路還是光路，只要可以用一個線性方程或線性微分方程（如拉普拉斯方程、泊松方程等）來描述的系統，都可以通過傅里葉分析從頻域來分析這個系統的特性，比單純從時域分析要強大得多！兩個著名的應用例子就是線性電路和傅里葉光學（信息光學）。甚至非線性系統，也在很多情況里面使用線性系統的東西！所以傅里葉變換才這么重要！傅里葉變換最早也是為了求解熱傳導方程（那里其實也可以看做一個線性系統）！

最后，從純數學的角度說一下傅里葉變化到底是什么。還記得線性代數中的代數方程嗎？如果A是對稱方陣，可以找到矩陣A的所有互相正交的特征向量和特征值，然后將向量x和b表示成特征向量的組合。由于特征向量的正交關系，矩陣的代數方程可以化為n個標量代數方程，是不是很神奇！！你會問這跟傅里葉變換有毛關系啊？別急，再看非齊次線性常微分方程，可以驗證指數函數是他的特征函數，如果把方程改寫為算子表示，那么有，這是不是和線性方程的特征向量特征值很像。把y 和z都表示為指數函數的線性組合，那么經過這種變換之后，常微分方程變為標量代數方程了！！而將y和z表示成指數函數的線性組合的過程就是傅里葉變換（或拉普拉斯變換）。在偏微分方程如波動方程中也有類似結論！歸納起來，就是說傅里葉變換就是線性空間中的一個特殊的正交變換！他之所以特殊是因為指數函數是微分算子的特征函數！

3.小結

3.1 ?為什么要進行著三種變換？

三種變換均是是將原先的時域信號變換到頻域進行表示，在頻域分析信號的特征。當信號變換到頻域后，就會出現很多時域中無法直接觀察到的現象。比如F域中的頻譜響應！L域中的系統穩定性判斷！Z域濾波器設計。

3.2 三種變換的關系

上面說的三種變換都是講原先在時域中表示的信號：

傅里葉變換只能對能量有限的信號進行變換（也就是可以收斂的信號），無法對能量無限的信號進行變換（無法收斂的信號）進行變換！

因此，拉氏變換由此誕生，他就是在傅里葉變換公式中乘以一個雙肩因子，使得能量無限的信號也能進行時頻變換！

Z變換就是離散化的拉氏變換！

4.致謝

向Universit?t Stuttgart ?Heinrich致敬！！

總結

以上是生活随笔為你收集整理的深入探讨傅立叶变换、拉普拉斯变换、Z变换的联系与应用的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

如果覺得生活随笔網站內容還不錯，歡迎將生活随笔推薦給好友。