1.信號分解及完備性

設(shè)是X由一組向量所張成，即：

如果線性獨(dú)立，我們則稱它們?yōu)榭臻g中的一組基”。
那么信號x可以離散表示如下：

若是一組兩兩互相正交的向量，展式稱為x的正交展開。分解系數(shù)是在各個基向量上的投影。
設(shè)向量和向量滿足如下雙正交關(guān)系：

那么，我們對原始信號就行投影變換（內(nèi)積）：
看看，我們把最關(guān)心的分解系數(shù)給弄出來了！現(xiàn)在的問題是與原始基雙正交的向量怎么求？

1.1 信號分解、對偶基（倒數(shù)基）、正交基

關(guān)于信號的分解表示，我們可以從連續(xù)時間和離散時間分開分析： 對于連續(xù)時間信號：
對于離散時間信號：
以上兩式稱為信號的變換。“變換”的結(jié)果即是求出一組系數(shù)。?
稱為的“對偶基”，或“倒數(shù)基”。
雙正交關(guān)系指的是兩組基之間各對應(yīng)向量之間具有正交性，但每一組向量之間并不一定具有正交關(guān)系。
N 維空間中的正交基：
如果一組基向量的對偶向量即是其自身，也那么這一組基向量構(gòu)成了N 維空間中的正交基。

1.2 完備性/標(biāo)架

若X空間中的任一元素x都可由一組向量作式 :
的分解，那么我們稱這一組向量是“完備（complete）”的。 如果是完備的，且是線性相關(guān)的，那么，由表示x必然會存在信息的冗余，并且其對偶向量將 不會是唯一的。這時，我們稱構(gòu)成空間的一個“標(biāo)架（frame）”。

若是完備的，且是線性無關(guān)的，則是X中的一組基向量，這時，存在且唯一，即存在
的雙正交關(guān)系。則對偶及存在，且是唯一的。
對于正交關(guān)系，那么他的對偶基就是自己本身。

1.3 詳細(xì)證明

將對偶基向量，用基向量表示：
將基向量與對偶基進(jìn)行內(nèi)積計(jì)算：

令： ? ??
這樣，我們可以得到如下公式：

這樣我們就可以通過基向量，求得他的對偶基向量。

2.思考

2.1為什么信號分解系數(shù)線性相關(guān)情況下，對偶基不唯一？

基向量現(xiàn)象相關(guān)，導(dǎo)致B矩陣是奇異矩陣，那么得到的“對偶基向量”必定不唯一。

2.2為什么信號分解系數(shù)雙正交情況下，對偶基唯一？

單位陣I，那么此時的B是固定的唯一的，就是基向量的逆。

2.3為什么信號分解系數(shù)正交情況下，對偶基就是本身？

正交情況下，矩陣的逆就是矩陣的轉(zhuǎn)置，那么就是自己本身，如此簡單的運(yùn)算，也正是正交變換在硬件領(lǐng)域很受歡迎的原因。因?yàn)閷仃嚽筠D(zhuǎn)置的復(fù)雜度要遠(yuǎn)遠(yuǎn)低于逆運(yùn)算。

2.4分解系數(shù)可以通過對偶基向量和原始信號的內(nèi)積求得，這有什么物理意義？

通過上面公式，我們可以通過物理角度進(jìn)行思考。所謂的投影運(yùn)算也可以看成是相似性衡量問題。如果對偶基向量與原始信號越相似，分解系數(shù)應(yīng)該越大！

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的信号分解：双正交、完备性、对偶向量的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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