1.前言

信號(hào)分解或信號(hào)變換的基本思路是將信號(hào)x(t)和一組函數(shù)（或向量）做內(nèi)積，從而得到一組分解系數(shù)an。 分解（或變換）的目的是研究原始信號(hào)中有哪些有喲用的信息，并討論如何抽取這些有用的信息。我能能夠理解，正交基具有很多優(yōu)點(diǎn)（信息不冗余，對(duì)偶基是本身），實(shí)際應(yīng)用中也是最廣泛的，可惜的是，在實(shí)際工作中，發(fā)現(xiàn)并得到一組好的正交基往往是不容易的。 正式正交基，或者更廣泛地說，分解對(duì)研究信號(hào)具有很重要的意義，我們不僅反問自: 1.用于分解的一組函數(shù)如何構(gòu)成拍一組正交基？ 2.用于分解的一組函數(shù)如何構(gòu)成一組基呢？ 3.如果不能構(gòu)成一組基，既是線性相關(guān)的，那么在什么條件下可保證對(duì)信號(hào)的分解是完備的，并且可以穩(wěn)定地實(shí)現(xiàn)信號(hào)的重建？ 標(biāo)價(jià)理論要解決的恰恰是最后一個(gè)問題。

2.基本定義

2.1 標(biāo)架

設(shè)是Hilbert空間H中的一組向量，對(duì)任一信號(hào)x∈H，如果存在常數(shù)A、B，c<A≤B<∞。并使下式成立：
則稱構(gòu)成一個(gè)標(biāo)架。顯然，標(biāo)架是Hilbert空間中的一組向量。

2.2 對(duì)偶標(biāo)架

設(shè)是Hilbert空間中的一個(gè)標(biāo)架，定義標(biāo)架算子S為： ?

下面的結(jié)論可以證明：

• 也是一個(gè)標(biāo)架，標(biāo)架的邊界為 ，它稱為的對(duì)偶標(biāo)架；
  
• Hilbert空間的任一信號(hào)x都可表示為形式：
  

• 如果A＝B，則稱構(gòu)成了一個(gè)“緊（tight）標(biāo)架”。這時(shí)滿足：

2.3 緊標(biāo)架

如果構(gòu)成一緊標(biāo)架，且A＝1，則是一正交基。
根據(jù)基函數(shù)及對(duì)偶函數(shù)關(guān)于原始信號(hào)重建原則，有下式：
這里需要注意的是，雙正交情況下滿足關(guān)系：。 通過上式，即可證明正交變換必為緊標(biāo)架。基向量具備線性相關(guān)時(shí)，標(biāo)架在Hibert空間依然能夠做到信號(hào)分解，并滿足“完備性”，當(dāng)然信息冗余無法避免。

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的信号分解：标架、对偶标架、紧标架的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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